Transcript Reciproka regeln

Reciproka regeln
Sats
Om f är deriverbar i x och f (x) 6= 0, så är 1/f (x) deriverbar i x och följande gäller
0
1
−f 0 (x)
(x) =
f
(f (x))2
(1)
Bevis
Med hjälp av derivatans definition har vi
d
dx
1
f (x)
= lim
1
f (x+h)
−
1
f (x)
h
f (x) − f (x + h)
= lim
h→0 hf (x + h)f (x)
−1
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
f (x + h)f (x)
h
−1
=
f 0 (x)
(f (x))2
h→0
I och med att f är kontinuerlig i x har vi att f (x + h) = f (x) då h → 0.
1
(2)