Transcript Deriveringsregler för summor, differenser och konstanta multiplar

Deriveringsregler för summor, differenser och
konstanta multiplar
Sats
Om f och g är deriverbara i x och C är en konstant, så är funktionerna f + g, f − g och Cf
deriverbara i x, och följande gäller
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
(f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
(Cf )0 (x) = Cf 0 (x)
Bevis
Beviset för summan och differensen är snarlikt så vi studerar summan. Med hjälp av reglerna för
gränsvärden har vi
(f + g)(x + h) − (f + g)(x)
h→0
h
(f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x))
= lim
h→0
h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
+
= lim
h→0
h
h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
= lim
+ lim
h→0
h→0
h
h
0
0
= f (x) + g (x)
(f + g)0 (x) = lim
(1)
För konstanta multiplar har vi
Cf (x + h) − Cf (x)
h
f (x + h) − f (x)
= C lim
= Cf 0 (x)
h→0
h
(Cf )0 (x) = lim
h→0
1
(2)
Deriveringsregler för summor av ett ändligt antal termer
(f1 + f2 + · · · + fn )0 = f10 + f20 + · · · + fn0
(3)
I (1) visar vi att antagandet stämmer för n = 2. Vi ska nu använda induktion för att visa att om
antagandet stämmer för något n = k ≥ 2 så stämmer det även för n = k + 1. Anta att
(f1 + f2 + · · · + fk )0 = f10 + f20 + · · · + fk0
(4)
Vi har då
((f1 + f2 + · · · + fk ) +fk+1 )0 = (f + fk+1 )0
|
{z
}
(5)
Låt detta vara f
0
= f 0 + fk+1
=
Vi har nu visat att (3) gäller för alla n ≥ 2.
2
f10
+
f20
(n = 2)
0
+ · · · + fk0 + fk+1