Transcript TEN2 30 okt 2014

Kurs: HF1903 Matematik 1,
Datum: 30 okt 2014
TENTAMEN
moment TEN2 (analys)
Skrivtid 8:15 – 12:15
Examinator: Armin Halilovic
Rättande lärare: Håkan Strömberg, Jonas Stenholm, Elias Said
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är
godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Skriv klass på omslaget, A, B eller C.
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in
tillsammans med lösningar
=====================================
Uppgift 1.(4p) (Har du klarat KS2 hoppar du över uppgift 1)
x4
x2
− 2 x 3 − + 30 x har ett lokalt maximum i punkten
Det är känt att funktionen f ( x ) =
4
2
x = 3. Bestäm x-koordinaterna för resterande stationära punkter.
Uppgift 2.(4p) Bestäm gränsvärdena
arctan( 4 x )
a) (1p)
lim
x →0
2 x2 + x
2 x5 − 4 x
lim 5
b) (1p)
x →∞ 5x + 2 x
cos x − cos 2 x
c) (2p)
lim
x →0
ex − 1 − x
Var god vänd.
Uppgift 3.(2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då det område som
definieras av 0 ≤ x ≤
π
2
a) x-axeln, b) y-axeln
, 0 ≤ y ≤ sin x roterar kring
Uppgift 4.(4p) Rita kurvan y =
x
så att dess viktigaste drag framträder. Bl. a.
x4 + 1
skall eventuella lokala maxima och minima punkter samt eventuella asymptoter
(vågräta/ lodräta /sneda) bestämmas.
Uppgift 5.(2p)
Beräkna integralen:
∫
ln(ln x)
dx .
x
Uppgift 6.(2p) Beräkna integralen
∫x
2
5 x − 19
dx .
− 8 x + 15
Uppgift 7.(3p) Bestäm samtliga stationära punkter (x,y) och deras typ
(minimipunkt /maximipunkt/sadelpunkt) för följande funktion av variablerna x
och y:
z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 22
Uppgift 8.(3p) Bestäm tyngdpunktskoordinaterna ( xc , yc ) för området D som
definieras av 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 4 x 2 . Formler för tyngdpunktskoordinater finns i
formelbladet.
Lycka till!
FA
ACIT
U
Uppgift 1.(4p
p) (Har du klarat KS2 hoppar du över uppgifft 1)
x4
x2
− 2 x 3 − + 30 x har ett lokalt m
De
et är känt att
a funktione
en f ( x ) =
maximum i punkten
2
4
x = 3. Bestäm
m x-koordin
naterna för rresterande stationära punkter.
p
( ) och får f ′( x ) = x 3 − 6 x 2 − x + 30 . Vi vet aatt f ′(3) = 0 och
Lö
ösning: Vi deriverar f (x
ka
an med hjälp av polyno
omdivision ffå fram de andra
a
två no
ollställena.
0 är x2 = 5 ooch x3 = −2 , som ocksåå är svaret:
Rötterna till x 2 − 3x − 10
onära punktter är x = 3 , x = 5 och x = −2.
Svvar: Funktiionens statio
R
Rättningsmaall: 1 poäng
g för korrekt
kt derivatan f '(x) . 2p för
f korrekt
poolynomdivission.
U
Uppgift 2.(4p
p) Bestäm gränsvärdeena
arctan( 4 x )
a)) (1p)
lim
m
x→0
2 x2 + x
2 x5 − 4 x
lim
m 5
b)) (1p)
x →∞ 5 x + 2 x
cos x − coss 2 x
c) (2p)
lim
m
x→0
ex − 1 − x
Lö
ösning:
4
arctann( 4 x )
1 + (4x )2
⎡ 0⎤
a)) lim
,
l'
Hospi
itals
regel)
=
= 4.
=
(
lim
⎢⎣ 0 ⎥⎦
x →0 2 x 2 + x
x →0 4 x + 1
4
4
(2 − 4 )
x5 ( 2 − 4 )
2 x5 − 4 x
x = lim
x =2
b)) lim 5
= lim
x→∞ 5x + 2 x
x→∞ 5
x→∞
2
2
(5 + 4 ) 5
x (5 + 4 )
x
x
c)
Svvar: a) 4
b) 2/5
c) 3
R
Rättningsmaall: a, b rättt eller fel. c) 1p för korrekt
k
steg 1 (Korrekt användnin
ng av l'
H
Hospitals reggel första gåången)
U
Uppgift 3.(2p
p) Bestäm volymen avv kroppen som uppstår då det omrråde som deefinieras
π
avv 0 ≤ x ≤
s x roterarr kring
, 0 ≤ y ≤ sin
2
a)) x-axeln,
b) y-axeln
Lösning:
a)) Vx = π
π /2
π /2
∫ ( f ( x )) dx = π ∫ sin
2
0
=
π⎡
x−
2 ⎢⎣
2
xddx = π
π /2
∫
0
0
1 − cos 2 x
dx
2
sin 2 x ⎤ π / 2 π
=
v.e.
2 ⎥⎦ 0
4
2
b)) V y = 2π
π /2
π /2
0
0
π /2
∫ xf ( x )dx = 2π ∫ x sin xddx = (part. inntegration) = 2π [− x coos x + sin x]
0
= 2π v.e.
π2
v.e. b) 2π v.e.
4
R
Rättningsmaall: 1 poäng
g för korrekt
kt a-delen, 1 poäng för korrekt b-ddelen
Svvar: a)
U
Uppgift 4.(4p
p) Rita kurvvan y =
x
så attt dess viktig
gaste drag fframträder. Bl. a.
x +1
skkall eventueella lokala maxima
m
och minima punkter samt eventuella asymptoter
(vvågräta/ lod
dräta /snedaa) bestämm
mas.
4
Lö
ösning: Nollställen: Fun
nktionen haar ett nollstäälle vid x = 0 .
A
Asymptoter
oter saknas ddå funktion
nen är definiierad för allla x.
Lodrääta asympto
Vågrääta asympto
oter:
lim f ( x) = lim
x→± ∞
x→± ∞
x
4
x +1
= lim
x→± ∞
x
1
x (1 + 4 )
x
4
x
= lim
x→± ∞
x
1
(1 + 4 )
x
4
=0
Vågrät asymptot: y = 0
Sneda asymptoter saknas.
Stationära punkter:
y=
x
x4 +1
x 4 + 1 − x ⋅ 4x3 ⋅
⇒
y′ =
1
2 x4 +1
( x 4 + 1) 2
=
1− x4
( x 4 + 1) x 4 + 1
=
(1 + x)(1 − x)(1 + x 2 )
( x 4 + 1) x 4 + 1
y ′ = 0 ⇒ 1 − x 4 = 0 ⇒ x = ±1
Stationära punkter vid x = −1 och x = 1
Teckenstudie:
x=
1+ x
1− x
1+ x2
( x 4 + 1) x 4 + 1
y′
y
–
+
+
+
–1
0
+
+
+
–
0
Avtagande
+
+
+
+
1
+
0
+
+
+
–
+
+
+
0
–
Växande
Avtagande
min
max
1
y min = −
2
y max =
Grafen:
Svar: Se ovanstående graf
Rättningsmall:
Rätta asymptoter +1
Rätta stationära punkter och dess typ +2
Rätt graf +1
Rätta asymptoter men ej rätt derivatan ger max 1p.
-
1
2
Uppgift 5.(2p)
Beräkna integralen:
∫
ln(ln x)
dx .
x
Lösning:
Variabelsubstitution: t = ln x ⇒ dt =
1
dx ⇒ dx = xdt
x
ln(ln x )
ln t
1
xdt = ∫ ln t dt = {Partiell integration} = t ln t − ∫ t ⋅ dt = t ln t − t + C
dx = ∫
x
x
t
ln(ln x )
∫ x dx = (ln x ) ⋅ ln(ln x ) − ln x + C
Svar: (ln x ) ⋅ ln(ln x ) − ln x + C
Rättningsmall:
Fel variabelsubstitution 0p
∫
1p för korrekt substitution om man kommer till ∫ ln t dt .
Allt korrekt ger 2p.
Uppgift 6.(2p) Beräkna integralen
∫x
2
5 x − 19
dx .
− 8 x + 15
Lösning:
Betrakta nämnaren: Finns reella nollställen eller inte?
⎧ x1 = 3
⎨
⎩ x2 = 5
Nämnaren har alltså två reella nollställen och kan faktoriseras i reella faktorer. Då
kan den rationella funktionen partialbråksuppdelas:
x 2 − 8 x + 15 = 0 ⇒
x = + 4 ± 4 2 − 15
⇒
5 x − 19
5 x − 19
A
B
A ⋅ ( x − 5) + B ⋅ ( x − 3) ( A + B) ⋅ x + (−5 A − 3B)
=
=
+
=
=
x − 8 x + 15 ( x − 3) ⋅ ( x − 5) x − 3 x − 5
( x − 3) ⋅ ( x − 5)
( x − 3) ⋅ ( x − 5)
2
Identifikation av koefficienter i V.L. med motsvarande koefficienter i H.L. ger:
⎧ A+ B = 5
⎧A = 2
med lösningen:
⎨
⎨
⎩− 5 A − 3B = −19
⎩B = 3
d.v.s.
5 x − 19
2
3
=
+
x − 8 x + 15 x − 3 x − 5
2
Nu kan integralen lätt bestämmas:
5 x − 19
3 ⎞
⎛ 2
∫ x 2 − 8 x + 15 ⋅ dx = ∫ ⎜⎝ x − 3 + x − 5 ⎟⎠ ⋅ dx = 2 ⋅ ln x − 3 + 3 ⋅ ln x − 5 + C
Svar: 2 ln x − 3 + 3 ln x − 5 + C
Rättningsmall: Korrekt partialbråksuppdelning ger 1p.
Uppgift 7.(3p) Bestäm samtliga stationära punkter (x,y) och deras typ
(minimipunkt /maximipunkt/sadelpunkt) för följande funktion av variablerna x
och y:
z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 22
Lösning: Först bestäms de partiella derivatorna för funktionen:
∂f
∂f
= 2 x − 8,
= 2 y − 2,
∂x
∂y
∂2 f
= 2,
∂x 2
∂2 f
= 2,
∂y 2
∂2 f
=0
∂x∂y
De stationära punkternas läge bestäms genom att sätta partiella förstaderivator
=0
⎧x = 4
⎧2x − 8 = 0
⇒ ⎨
⎨
⎩y =1
⎩2 y − 2 = 0
Det finns alltså endast en stationär punkt (4,1).
( Funktionsvärde: zmin = f ( 4,1) = 42 + 12 − 8 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 + 22 = 5 )
Bestämning av typ (min/max/sadelpunkt):
A ⋅ C − B 2 = 2 ⋅ 2 − 02 = 4 > 0
A=2>0
(4,1) är alltså en minimipunkt.
Svar: En stationär punkt (4,1) som är en minimipunkt.
Rättningsmall: Korrekta alla partiella derivator =1p. Stationär punkt bestämd till
(4,1) ger 1p. Allt korrekt=3p.
Uppgift 8.(3p) Bestäm tyngdpunktskoordinaterna ( xc , yc ) för området D som
definieras av 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 4 x 2 . Formler för tyngdpunktskoordinater finns i
formelbladet.
Lösning:
Tyngdpunkten. Vi använder formlerna
=
=
1
( )
1
( )
⎡ 4 x3 ⎤ 1 4
Arean(D) = ∫ 4 x dx = ⎢
⎥ =
⎣ 3 ⎦0 3
0
1
2
=
=
=
=
]4
0
[
2
=
4
=
16
2
Därför
=
1
( )
=
1
3
∙1=
4
4
3
=
18
6
=
45
5
3
och
=
1
( )
Svar: ( xc , yc ) =( 3/4, 6/5)
Rättningsmall: 1p för arean av D, 1p för xc, 1p för yc
=1
= 8/5