Transcript Grafritning GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion

Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
GRAFRITNING
För att skissera (rita) grafen till en funktion y = f (x ) undersöker vi först några viktiga
egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med x och y-axeln, gränsvärdena
lim f ( x ) , lim f ( x ) eventuella asymptoter, stationära punkter och deras typ. Vi kan
x → +∞
x → −∞
dessutom bestämma eventuella inflexionspunkter, (punkter där f ′′( x ) = 0 och dessutom
f ′′(x ) ändrar tecken) . Genom att lösa olikheten f ( x ) > 0 kan vi undersöka för vilka x ligger
grafen ovanför x-axeln. I några fall kan det vara nyttigt att bestämma om funktionen är jämn,
udda eller "varken udda eller jämn".
När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)
eller globalt minimum ( =minsta värde).
1. POLYNOM
Polynom dvs funktion f ( x ) = a n x n + a 2 x 2 + a1 x + a0 har ingen asymptot. Polynom är
definierat, kontinuerligt och deriverbar för alla x. För att skissera polynomets graf undersöker
vi eventuella skärningspunkter med x och y-axeln, stationära (kritiska) punkter f ′( x ) = 0)
(och deras karakter) och eventuella inflexionspunkter ( f ′′( x ) = 0) .
Uppgift1. Låt f ( x ) = x 3 − 3x
a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna .
b) Beräkna lim f ( x ) och lim f ( x ) .
x → +∞
x → −∞
c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.
d) Bestäm eventuella inflexionspunkter
e) Rita grafen till funktionen. ( Tips. Polynom har ingen asymptot)
f) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?
Lösning.
a) Funktionens definitionsmängd:
Funktionen är definierad för alla x.
---------------------------------------------------Skärningspunkter med axlarna
Sida 1 av 20
Gra
afritning
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
y-axelnn : vi beräknnar f (0) occh får f (0) = 0 Grafen
n skär y-axeeln i punkteen (0, 0)
x-axeln:
f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3x = 0 ⇔ x ( x 2 − 3) = 0 .
Tre skärrnings punkkter x1 = − 3 , x 2 = 0 och x 3 = + 3
--------------------------------------------------------------b) Vi un
ndersöker funktionen
n då x → +
+∞ och x → −∞
lim ( ) =
lim
→
lim ( ) =
→
→
lim
→
(1 −
(1 −
3
3
)
)
= +∞
=−
−∞
c) Stationära punk
kter (kritisska punkterr): f ′( x ) = 0
Vi har
′( ) = 3
−3
′( ) = 0 ⇒ 3
′′( ) = 6
−3 =0 ⇒
,
= ±1
Två stattionära punkkter: x1 = −1 och x 2 = 1 .
m f ′′( −1) = −6 < 0 . Maximivärdet är f ( x1 ) = 2
x1 = −1 , maximipunkt eftersom
Motsvarrande punkt på grafen är S1 = ( −1,2) .
x 2 = 1 äär en minimipunkt efterssom f ′′(1) = 6 > 0 . Minnimivärdet ärr f ( x 2 ) = − 2
Motsvarrande punkt på grafen är S 2 = (1,−2) .
d) Infleexionspunk
kter är punk
kter där f ′′( x ) = 0 och dessutom
d
an
ndraderivataan ändrar teecken.
Vi löserr ekvationenn f ′′( x ) = 0 dvs 6 x = 0 ⇔ x = 0 .
Notera aatt f ′′( x ) = 6 x ändrar te
ecken i punktten x = 0
Alltså är x = 0 en infflexionspunkkt. Motsvara nde punkt på kurvan är P=(0,0)
P
e) Funk
ktionens grraf
Sida 2 av 20
0
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
f) Grafen visar att funktionen saknar globalt maximum (dvs största värde). Samma gäller för globalt
minimum (minsta värde).
2. RATIONELLA FUNKTIONER
f ( x) =
P( x )
,
Q( x)
där P(x ) och Q (x ) är två polynom.
TIPS:
a) Funktionen f ( x ) =
P( x )
, där P(x ) och Q (x ) är polynom, är definierad om nämnaren
Q( x)
Q( x) ≠ 0 .
b) Vertikala (lodräta ) asymptoter letar vi bland nämnarens nollställen dvs bland
lösningar till Q ( x ) = 0 . (Nämnarens nollställen är vertikala asymptoter om de inte kan
förkartas bort)
Exempelvis f ( x ) =
x+3
har två vertikala (=lodräta) asymptoter x = 0 och x = −5 .
x 2 + 5x
c) För sneda och horisontella(=vågräta) asymptotter till rationell funktion f ( x ) =
P( x )
Q( x)
gäller följande:
grad ( P( x )) ≤ grad (Q ( x )) ⇔ f ( x ) har en vågrät asymptot
grad ( P( x )) = 1 + grad (Q ( x )) ⇔ f ( x ) har en sned asymptot
grad ( P( x )) > 1 + grad (Q ( x )) ⇔ f ( x ) f har varken sned eller vågrät asymptot
i) Om grad ( P( x )) ≤ grad (Q ( x )) har funktionen en vågrät(=horisontell) asymptot
y = b , (som är både vänster och höger asymptot)
Talet b = lim f ( x ) .
x →+∞
ii) Om grad ( P( x )) = 1 + grad (Q ( x )) har funktionen en sned asymptot y = ax + b
(som är både vänster och höger asymptot).Vi kan bestämma a och b med hjälp av formlerna
Sida 3 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
a = lim
x →+∞
f ( x)
, b = lim [ f ( x ) − ax ]
x → +∞
x
eller (enklare sätt) genom att utföra polynom division
P( x )
R( x )
= ax + b +
Q( x)
Q( x)
iii) Om grad ( P( x )) > 1 + grad (Q ( x )) har funktionen varken sned eller vågrät asymptot
Exempel:
i) f ( x ) =
f ( x) =
x3 + 1
x3 + 1
lim
=1 }
har
en
vågrät
asymptot
{y=1
eftersom
x → +∞ x 3 + 5 x
x 3 + 5x
x+4
x+4
=0 }
har en vågrät asymptot {y=0 eftersom lim 3
3
x → +∞ x + x
x +x
x 3 + 3x 2 + 3x + 3
har en sned asymptot , eftersom grad(täljaren)
x2 + x
=1+grad(nämnaren.
ii) f ( x ) =
Vi kan bestämma asymptoten med hjälp av ovanstående formler eller direkt med polynom
division
f ( x) =
x 3 + 3x 2 + 3x + 3
x+3
= x+2+ 2
.
2
x +x
x +x
Därför är y = x + 2 en sned asymptot ( både vänster och höger)
Förklaring: Vi ser att termen
x+3
går mot 0 om x → ±∞ och därför f ( x ) − ( x + 2) → 0 .
x2 + x
x5 + 1
har varken sned eller vågrät asymptot eftersom
x2 − 4
grad ( P( x )) > 1 + grad (Q ( x )) .
iii) f ( x ) =
Uppgift 2. Låt f ( x ) =
x2 − x + 1
.
x −1
i) Bestäm
a) funktionens definitionsmängd
b) eventuella skärningspunkter med axlarna
c) Beräkna lim f ( x ) och lim f ( x ) .
x → +∞
x → −∞
Sida 4 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
d) asymptoter
e) stationära (kritiska) punkter
f) inflexionspunkter
ii) Rita grafen till funktionen
iii) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?
Lösning:
f ( x) =
x2 − x + 1
1
= x+
x −1
x −1
( polynomdivision)
a) Funktionens definitionsmängd:
Funktionen är definierad om x ≠ 1
b) Skärningspunkter med axlarna
y-axeln: f (0) = −1 . Grafen skär y-axeln i punkten (0, –1)
x-axeln: Ekvationen f ( x ) = 0 ⇔ x 2 − x + 1 = 0 har inga reella lösningar ⇒ ingen skärnings
punkt med x-axeln
)
lim ( ) =
→
lim
→
( )
lim (x +
→
= lim (x +
→
1
)
x−1
=∞+0=∞
1
) = −∞ + 0 = −∞
x−1
d) asymptoter
d1. Funktionen har en lodrät asymptot x=1 eftersom f (x ) → ∞ då x → 1 .
d2. Vågräta asymptoter saknas eftersom
lim
→
( ) =∞
,
lim
→
( ) = −∞
,
( se frågan c)
d3. Sneda asymptoter
Metod1. ( Passar bra för rationella funktioner) Om vi analyserar funktionen på formen
1
1
f ( x) = x +
då ser vi att bråkdelen
går mot 0 då x → ±∞ .
x −1
x −1
Eftersom
Sida 5 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
f ( x ) ≈ x då x → ±∞
d v s f ( x ) − x → 0 då x → ±∞
har funktionen en sned asymptot y = x då x → ±∞ .
Metod2. ( Kan användas för alla funktioner)
Vi beräknar
= lim
→
( )
= lim (1 +
→
1
)
x(x − 1)
= lim ( ( ) −
)=
→
=1
lim (x +
→
1
1
− 1 ) = lim (
)=0
→
x−1
x−1
därför y=x är en höger sned asymptot ( samma resultat gäller för rationella funktioner om
x → −∞
e) Stationära punkter (kritiska punkter): f ′( x ) = 0
Första derivatan: f ′( x ) =
( 2 x − 1)( x − 1) − ( x 2 − x + 1)
x ( x − 2)
=
2
( x − 1)
( x − 1) 2
Andra derivatan: f ′′( x ) =
2
( x − 1) 3
Stationera punkter: f ′( x ) = 0
Två stationära punkter: x1 = 0,
⇒
x ( x − 2)
= 0 ⇒ x1 = 0,
( x − 1) 2
x2 = 2
x2 = 2 .
x1 = 0 är en maximipunkt eftersom f ′′(0) = −2 < 0 . Maximivärdet är f ( 0) = −1
Motsvarande punkt på grafen är S1 = ( −2,−1) .
x 2 = 2 är en minimipunkt eftersom f ′′( 2) = 2 > 0 . Minimivärdet är f ( 2) = 3
Motsvarande punkt på grafen är S1 = ( 2,3) .
f) Inflexionspunkter:
(Inflexionspunkt är en punkt där funktionen växlar mellan att vara konvex och konkav, d.v.s.
där andraderivatan är noll och byter tecken)
′′( ) = 0 ⇒
2
=0 (
( − 1)
Funktionen har ingen inflexionspunkt
g) funktionens graf
Sida 6 av 20
ö
)
Gra
afritning
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
iii) Funkktionen sakknar globaltt maximum//minimum (största/
(
min
nsta värde)
Uppgiftt 3.
x2 + x + 4
x2 + 2x + 5
Bestäm funktionenns definition
nsmängd, evventuella asy
ymptoter, sttationära puunkter (och
deras tyyp) och rita grafen till funktionen.
f
Låt f (xx ) =
Bestäm funktionenns största occh minsta väärde (dvs globalt
g
maxiimum och m
minimum) om
o de
finns?
Lösningg:
1. (Defiinitionsmänngd.) Ekvatiionen x 2 + 2 x + 5 = 0 ⇔ x = −1 ± 1 − 5 saaknar reella
lösningaar (nämnareen har inga reella
r
nollsttällen) . Därrmed är fun
nktionen deffinierad (occh
kontinu
uerlig) för alla
a x.
2. (Asym
mptoter).
2a) (Funnktionen är definierad och kontinuuerlig för alla x) ⇒ (In
ngen vertikaal (=lodrät)
asympttot)
Sida 7 av 20
0
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
+
x +x+4
x
= lim
2b) lim 2
x → +∞ x + 2 x + 5
x → +∞ 2
2
x (1 + +
x
asymptot).
x 2 (1 +
2
4
)
x 2 = 1 . (y = 1 är en höger horisontell (vågrät)
5
)
x2
Samma resultat får vi i detta exempel om x → –∞
1 4
+ 2)
x +x+4
x
x = 1 (y = 1 är en höger horisontell (vågrät) asymptot).
lim
= lim
x → −∞ x 2 + 2 x + 5
x → −∞ 2
2 5
x (1 + + 2 )
x x
x 2 (1 +
2
Alltså har funktionen en horisontell (vågrät) asymptot y = 1.
3. (Stationära punkter)
Inga sneda asymptoter. Vi har
f ′( x ) =
( 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 5) − ( x 2 + x + 4)( 2 x + 2)
=
( x 2 + 2 x + 5) 2
f ′( x ) =
2 x 3 + 4 x 2 + 10 x + x 2 + 2 x + 5 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x 2 − 2 x − 8 x − 8
=
( x 2 + 2 x + 5) 2
f ′( x ) =
x2 + 2x − 3
( x + 3)( x − 1)
= 2
=0 ⇒
2
2
( x + 2 x + 5)
( x + 2 x + 5) 2
f ( −3) =
5
= 1,25 och
4
f (1) =
x = −3, och
x =1
3
= 0,75
4
Derivatans teckentabell: Notera att nämnaren ( x 2 + 2 x + 5) 2 är >0 för alla x och därmed inte
påverkar derivatans tecken. Vi behöver inte inkludera denna term i tabellen.
x+3
x −1
f ′(x)
f (x)
–
–
+
–3
0
–
0
+
–
–
MAX
1
+
0
0
+
+
+
MIN
visar att – 3 är en lokal maximipunkt, funktionens maximivärde är f ( −3) =
Sida 8 av 20
5
,
4
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
medan 1 är en lokal minimipunkt, funktionens minimivärde är f (1) =
5
Motsvarande punkter på grafen är S1 ( −3, ) och
4
3
.
4
3
S 2 (1, ) .
4
4.Funktionens graf.
Funktionen har globalt maximum (största värde) =
Funktionens globalt minimum (minsta värde) =
5
4
3
4
Uppgift 4.
Låt
y = f ( x) =
x3
.
3− x2
a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna.
b) Bestäm eventuella asymptoter
c) Bestäm stationära (kritiska) punkter och deras typ
e) Rita grafen till funktionen.
Lösning.
a) (Definitionsmängd.) Funktionen är definierad om nämnaren 3 − x 2 ≠ 0 dvs om x ≠ ± 3 .
Sida 9 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
f ( x ) = 0 ⇔ x = 0 . Grafen går genom origo.
b) (Asymptoter).
(Funktionen har två vertikala (=lodräta) asymptoter x = 3 och x = − 3 .
x3
x
∞
lim f ( x ) = lim
= −∞ . (ingen höger horisontell (vågrät)
= lim
=
x →+∞
x →+∞ 3 − x 2
x →+∞ 3
0 −1
1
−
x2
asymptot).
x3
x
−∞
lim f ( x ) = lim
= +∞ . (ingen vänster horisontell (vågrät)
= lim
=
x →−∞
x →−∞ 3 − x 2
x →−∞ 3
0
1
−
−1
x2
asymptot).
För att bestämma eventuella sneda asymptoter för en rationell funktion, i vårt fall y =
x3
3 − x2
utför vi först polynomdivision:
y=
x3
3x
= −x −
2
3− x
3 − x2
Vi ser direkt att
(kontrollera själv)
3x
→ 0 om x → ±∞ .
3 − x2
Därför är y = − x en sned asymptot då x → ±∞ .
c) Stationära punkter
f ′( x ) =
3 x 2 ( 3 − x 2 ) − x 3 ( −2 x ) x 2 ( 9 − x 2 )
=
(3 − x 2 ) 2
(3 − x 2 ) 2
f ′( x ) = 0 ger tre stationära punkter x1 = −3 , x 2 = 0 och x3 = +3 . Lägg märke till att endast
utrycket 9 − x 2 ändrar tecken.
x2
(9 − x 2 )
+
–
−3
+
0
(3 − x 2 ) 2
f ′(x )
+
–
+
0
f (x )
↘
MIN
x-värden
+
+
− 3
+
+
+
+
+
0
+
↗
ej def
ej def
+
↗
+
0
0
+
+
0
terrassp
Sida 10 av 20
+
+
3
+
+
+
0
+
↗
ej def
ej def
3
+
+
+
0
+
–
+
+
+
+
–
↗
0
MAX
↘
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Funktionen har (lokalt) minimum f ( −3) =
(lokalt) maximum f (3) = −
9
i punkten x1 = −3 , terrasspunkt i x 2 = 0 och
2
9
i x 3 = +3
2
x3
.
Grafen till f ( x ) =
3 − x2
NÅGRA EXEMPEL MED EXPPONENTIAL- LOGARITM- OCH ANDRA
FUNKTIONER
Uppgift 5. Låt f ( x ) = e − x
2
a) Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna.
b) Bestäm eventuella asymptoter
c) Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.
d) Bestäm eventuella inflexionspunkter
e) Rita grafen till funktionen.
f) Bestäm funktionens värdemängd
Sida 11 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
g) Bestäm funktionens största/minsta värde (dvs globalt maximum/minimum) om de finns?
Lösning.
a) Funktionens definitionsmängd:
Funktionen är definierad för alla x.
Skärningspunkter med axlarna
y-axeln: f (0) = 1 . Grafen skär y-axeln i punkten (0, 1)
2
x-axeln: f ( x ) = 0 ⇔ e − x = 0 , ingen lösning ( e t > 0 för alla t)
Ingen skärning punkt med x-axeln
b) Ingen vertikal asymptot
( f(x) är definierad och kontinuerlig för alla x)
2
2
lim f ( x ) = lim e − x = 0 , lim f ( x ) = lim e − x = 0
x → +∞
x → +∞
x → −∞
x → −∞
Därför har funktionen en vågrät asymptot y=0 ( dvs x-axeln)
c) Stationära punkter (kritiska punkter):
2
2
f ′( x ) = −2 xe − x ,
f ′′( x ) = −2e − x + 4 x 2 e − x
2
2
f ′( x ) = 0 ⇔ −2 xe − x = 0 ⇔ x = 0
En stationär punkt x=0 , maximipunkt eftersom f ′′(0) = −2 < 0 .
Mutsvarande punkt på grafen är S=(0,1)
d) Inflexionspunkter (Inflexionspunkt är en punkt där funktionen växlar mellan att vara
konvex och konkav, d.v.s. där andraderivatan är noll och byter tecken)
2
2
2
f ′′( x ) = 0 ⇔ −2e − x + 4 x 2 e − x = 0 ⇔ e − x ( −2 + 4 x 2 ) = 0 ⇔ x1, 2 = ±
Två inflexionspunkter x1, 2 = ±
=
√
,
/
och
1
. Motsvarande punkter på grafen:
2
=
√
,
/
e) Funktionens graf:
Sida 12 av 20
1
.
2
Gra
afritning
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
Notera aatt funktionnen är jämn eftersom f ( − x ) = f ( x ) och därförr är funktioneens graf sym
metrisk i
y-axeln.
f) Funktionen antar alla
a värden i intervallet 00<y≤ 1. Därfö
ör är funktionens värdem
mängd lika med
m
intervallet Vf= (0, 1]
g) Funkktionen har globalt
g
max
ximum (störrsta värde) =1
Globaltt minimum (minsta värrde) saknas
Uppgiftt 6 Bestäm funktionen
ns definitionnsmängd, ev
ventuella asymptoter, st
stationära pu
unkter
(och derras typ) ochh rita grafen
n till funktioonen
a) f ( x ) = ( x − 2)e x
b) f ( x ) = 5x 2 e x
Svar a) Funktionenn är definierrad för alla x.
f ( x ) = ( x − 2)e x ,
f ′( x ) = ( x − 1)e x , f ′′( x ) = xe x
Funktioonen har minnimum y minn = −1 om xx=1.
y=0 är een vänster våågrät asymptot.
Grafen:
SSida 13 av 20
0
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Svar b) Funktionen är definierad för alla x.
f ( x ) = 5x 2 e x ,
f ′( x ) = 5( x 2 + 2 x )e x , f ′′( x ) = 5( x 2 + 4 x + 2)e x
Funktionen har maximum y max = 20e −2 om x=–2.
Funktionen har minimum y min = −1 om x=1.
y=0 är en vänster vågrät asymptot.
Grafen:
Uppgift 7. Låt y = f ( x ) = x ln x
Bestäm funktionens definitionsmängd och eventuella skärningspunkter med axlarna. Bestäm
eventuella asymptoter, stationära (kritiska) punkter (och deras karakter), inflexionspunkter
och rita grafen till funktionen.
Sida 14 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Lösning.
a) Funktionens definitionsmängd:
Funktionen är definierad för x > 0
b) Skärningspunkter med axlarna
y-axeln: Funktionen skär inte y-axeln eftersom f (0) är inte definierad.
( Vi kan däremot beräkna lim ( ), se frågan c nedan)
→
x-axeln: f ( x ) = 0 ⇔ x ln x = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1
En skärningspunkt, x=1, med x-axeln.
( Anmärkning: x=0 kan inte accepteras som ett nollställe eftersom funktionen är inte
definierad i 0)
c) Vi undersöker funktionen vid definitionsområdets gränspunkter dvs då
då → +∞.
lim ( ) =
→
→
lim
→
[= "0 ∙ (− ∞)" . .
ä
]
Vi skriver om uttrycket och använder l’ Hospitals regel
lim
→
= lim
=[ ′
→
]
lim
→
= lim (− ) = 0
−1
→
Alltså f(x) går mot 0 då x går mot 0 och därför har funktionen ingen lodrät asymptot.
( Funktionen är inte definierad i 0 me grafen ”går” mot punkten (0,0) )
lim
→
( ) = lim
→
=∞
Därför har funktionen ingen vågrät asymptot
Sneda asymptoter saknas eftersom
lim
→
( ) / = lim
→
=∞
Därmed har funktionen ingen sned asymptot.
d) Stationära punkter (kritiska punkter):
′( ) = 1 +
′′( ) =
Sida 15 av 20
1
och
Gra
afritning
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
′(( ) = 0 ⇒ 1 +
En stationär punkt x = 1 / e . f (1 / e) =
=0⇒
=
1 1
1
lln( ) = − . Minimum
m f ′′(1 / e) = e > 0
e e
e
Mutsvarrande punktt på grafen
=(
,−
1 −1
) =( , )
e) Inflexxionspunktter saknas eftersom
e
ekkvationen
′′( ) = 0 har
h ingen löösning
ktionens graaf
f) Funk
Uppgiftt 8.Bestäm funktionen
ns definitionnsmängd, eventuella
e
asymptoter,
a
stationära
10
1 ln( x + 2)
punkterr (och deras typ) och riita grafen tilll funktioneen f ( x ) =
.
x+2
Svar. Funktionenn är definierrad för x > ––2.
x = –2 äär en vertikaal (=lodrät) asymptot,
y=0 är en
n höger vågrrät asymptott.
f ( x) =
10 ln( x + 2)
,
x+2
10(1 − lnn( x + 2))
( x + 2) 2
10
=
om x=e–2.
e
f ′( x) =
Funktioonen har maaximum y maax
Grafen:
SSida 16 av 20
0
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift 9.Bestäm funktionens definitionsmängd, eventuella asymptoter, stationära
punkter (och deras typ) och rita grafen till funktionen
a) f ( x ) =
1
2
x +1
b) f ( x ) =
x
4
x +1
c) f ( x ) = 1 − 3 + 2 x − x 2
Svar:
a) f ( x ) =
1
x 2 +1
Funktionen är definierad för alla x. En vågrät( horisontell) asymptot y=0.
−x
f ′( x ) = 2 3 / 2 ger y max = 1 för x=0
( x +1)
Grafen:
Sida 17 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
Notera att e funktionen f ( x ) =
x 2 +1
är jämn eftersom f ( − x ) = f ( x ) och därför är
funktionens graf symetrisk i y-axeln.
b) f ( x ) =
x
x 4 +1
asymptot y=0.
f ′( x ) =
Funktionen är definierad för alla x. En vågrät( horisontell)
1 − x4
− 2
2
ger y min =
för x = –1 och y max =
för x=1
4
3/ 2
( x +1)
2
2
Grafen:
Notera att funktionen f ( x ) =
x
x 4 +1
är udda eftersom f ( − x ) = − f ( x ) och därför är
funktionens graf symetrisk i origo.
2
c) f ( x ) = 1 − 3 + 2 x − x .
Funktionen är definierad om –1 ≤ x ≤3 ( lös olikheten 3 + 2 x − x 2 ≥ 0 )
f ′( x ) =
x −1
3 + 2x − x2
y min = −1 för x = 1.
Funktionen antar sitt största värde y max = 1 i ändpunkterna x = ±1 .
.
Sida 18 av 20
Grafritning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift 10.. Låt ( ) = 1 + 2
( ) − 4√1 −
Bestäm funktionens definitionsmängd.
Bestäm eventuella asymptoter
Bestäm eventuella stationära (kritiska) punkter och avgör deras karakter.
Rita grafen till funktionen.
a) Funktionens definitionsmängd:
Villkor 1. Funktionen
Villkor 2. Funktionen √1 −
krav som i V1)
Alltså
( ) är definierad om −1 ≤
är definierad om 1 −
≤ 1.
≥0 ⇔
≤1
−1≤
≤ 1 ( samma
= [−1, 1] ( Lägg märke till att funktionen är definierad i ändpunkterna -1 och 1.)
b) Asymptoter:
För funktionens värden i ändpunkterna har vi
lim
→
( ) = (−1) = 1 −
lim ( ) = (+1) = 1 +
→
Alltså saknar funktionen lodräta (vertikala) asymptoter.
Vi kan inte betrakta gränsvärdena → ±∞ eftersom funktionen är definierad endast för
−1 ≤ ≤ 1. Därför saknar funktionen sneda ( och vågräta) asymptoter.
Sida 19 av 20
Gra
afritning
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
c) Statio
onära punkte
er (kritiska punkter):
′( ) =
2
√1 −
′( ) = 0 ⇔
Funktion
nens värde i punkten
(−1/2) = 1 + 2
4
√1 −
2+4
√1 −
=
(−1/2) − 4 3/4 = 1 −
= −1/2
− 2√3
2
= (− , 1−
−1/2 ( avta
ar funktionenn )
−
−1/2
( växer funktionenn )
minimum
m i punkten
= 1−
√1 −
=0⇔
Därmed
d har funktionen
= −1/2,
2+4
= −1/2 är
Alltså haar funktionen en stationä
är punkt
Enligt (**) har vi
′( ) 0 om
och
′( ) 0 om
+
− 2√3
2
SSida 20 av 20
0
− 2√
√3 )
(∗)