Transcript MATTE-LÄXA v. 3

(Cm)
1. En rätvinklig triangel med kateterna 5 cm och 12 cm får rotera kring den
längre katetern varvid en kon alstras. Hur stor är volymen av konen som
bildas?
Volymen av en kon = (π * r² * h)/3
(π * 5² * 12)/3=100π cm³
12
Svar:100π cm³
5
2. En skål har formen av en stympad kon. Bottendiametern är 20 cm och skålens
cirkulära öppning har diametern 30 cm. Skålens höjd är 12 cm. Hur
många liter rymmer skålen?
R=15
radien=diametern/2
Volymen av skålen = (volymen av hela
konen)-(volymen av lilla konen)
M.h.a. Likformighet kan man räkna ut följande:
15/10 = (X+12)/X
15/10=3/2
(X+12)/X= 3/2
(X+12)/X*X= 1,5X
X+12-X=1,5X-X
12=0,5X
X=24
12
r=10
X
Volymen av hel kon - liten kon:
((24+12)*15²*π)/3-(24*10²*π)/3 = (π*8100)/3-(2400*π)/3 = 2700π-800π= 1900π cm³=
1,9π dm³≈5,9 L≈6 L
Svar: Skålen rymmer ≈6 liter
(Cm)
3. Ett timglas består av två kongurenta koner med de genomborrade spetsarna mot
varandra. Då all sand är i den undre konen, är lagrets höjd hälften av konens. Då glaset
vändes om rinner sanden med konstant hastighet på precis en timme ned i den andra
konen. Hur lång tid har förflutit då sanden i den undre nått upp till en fjärdedel av
höjden? Sandytorna kan tänkas vara plana och parallella med bottenytorna.
2X
ρ
r
X
1/2X
R
M.h.a likformighet kommer man fram till följande:
R/r = 2X/1,5X => R = r*3/4 => r = 3/4R
R/ρ = 2X/X => R = ρ*2 => ρ = 1/2R
Volym av hel kon = (π*R²*2X)/3
Volym av liten kon = (π*(R/2)²*X)/3
Volym av mellanstor = (π*(3/4R)*((3/2)X)/3
Förhållandet mellan dessa volymer är den samma som förhållandet mellan tiden det tar att
fylla dess utrymme med sand. Alla volym-formler innehåller R²*π*X. Detta kallar vi hädan
efter för A. Så R²*π*X=A
Volym av hel kon = (π*R²*2X)/3= (2/3)A
Volym av liten kon = (π*(R/2)²*X)/3 = (A/4)/3 = A/12
Volym av mellanstor kon = (π*(3/4R)²*((3/2)X)/3 = (27/96)A
Volymen av hela mängden sand=Volym hel kon-Volym liten kon
Volym av sanden som täcker en 1/4 av konens höjd=Volym stor kon-Volym mellanstor kon
((2/3)A)-A/12 = (8/12)A-A/12 = (7/12)A
((2/3)A)-((27/96)A) = ((64/96)A)-((27/96)A) = (37/96)A
(37/96)/(7/12) = (37/96)*(127) = 444/672 = 0,660714
0,660714*60 ≈ 39,6 ≈ 40 min
Svar: Det tar 40 minuter för sanden att nå 1/4 av timglasets höjd.