Transcript Geometri volym

Tomas Johansson, TJN
Ma/NO profilen
Kyrkerörsskolan, Falköping
Geometri
Tomas Johansson,
Kyrkerörsskolan, Falköping –
www.lektion.se
Rymdgeometrisk kropp
En rymdgeometrisk kropp har en volym
Volym = så mycket som kroppen rymmer
Volymenheter - litersystemet
Används för att beskriva små volymer
Ex.: schampo, dricka m.m.
1 liter = 10 dl = 100 cl = 1000 ml
Volymenheter - kubikmeter
Är det vetenskapligt korrekta systemet för att
ange volymer
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³
meter decimeter centimeter
millieter
längd 1 m
10 dm
100 cm
1000 mm
area
100 dm²
10 000 cm²
1000 000 mm²
1 m²
volym 1 m³
1000 dm³ 1000 000 cm³ 1000 000 000 mm³
Volymenheter
liter
dm³
deciliter
1
5
0,1
centiliter
10
50
1
100
500
10
milliliter
cm³
1000
5000
100
Rätblockets volym
Rätblockets volym räknas ut med formeln:
Volymen = basen · höjden
V=B·h
h
B
Rätblockets volym
Exempel: sidorna i basen är 5 cm och 6 cm och
höjden på rätblocket är 7 cm. Vilken volym har
rätblocket?
B = 5 cm · 6 cm = 30 cm²
V = B · h = 30 cm² · 7 cm = 210 cm³
h
B
Svar: volymen på rätblocket är
210 cm³
Prismats volym
Prismats volym räknas ut med samma formel som
rätblockets dvs. Volymen = basen · höjden
Observera att basen I det här fallet inte är någon
rektangel!
h
B
Exempel:
B = 10 cm²
h = 4 cm
Hur stor är volymen?
V = B · h = 10 cm² · 4 cm = 40 cm³
Svar: volymen på prismat är 40 cm³
Cylinderns volym
Cylinderns volym räknas ut med samma formel som
rätblockets dvs. Volymen = basen · höjden
Observera att basen I det här fallet är en cirkel!
Exempel: En cylinder har radien 3 cm
och höjden 5 cm. Hur stor är
volymen?
B = r² · π = r · r · π =
= 3 · 3 · 3,14 = 28,26 cm²
V = B · h = 28,26 cm² · 5 cm
= 141,3 cm³
Svar: volymen på cylindern är
141,3 cm³
Spetsiga kroppar - Pyramid
Hur räknar vi ut volymen på denna kropp?
Vi börjar med att bestämma basen och höjden
Basen är rektangulär precis som på ett rätblock.
Höjden får vi genom att utgå från toppen och rakt ned till basen
Höjden
Basen
Spetsiga kroppar - Pyramid
Vad får då denna kropp för formel när man skall räkna ut
volymen? Vi börjar med att tänka oss ett rätblock med samma
höjd och bas
”Skär” vi sedan bort de delar som inte tillhör rätblocket kommer
vi få fyra bitar som går att pussla ihop till 2 pyramider med
samma storlek som våran ursprungliga pyramid.
Spetsiga kroppar - Pyramid
Slutsatsen blir således att pyramiden är 1/3 av rätblocket
Rätblocket har formeln V = B · h. Pyramiden var 1/3 av
rätblocket och har formeln:
V 
B h
3
Spetsiga kroppar - Kon
Konen har samma formel för att räkna ut volymen som
B h
pyramiden V 
3
Då basen i konen är en cirkel med arean A  r   kan man skriva
formeln för att räkna ut volymen på en kon
2
r   h
2
V 
3
Begränsningsarea
Begränsningsarean är den sammanlagda arean av en
kropps sidor
Begränsningsarea
Begränsningsarean är den sammanlagda arean av en
kropps sidor
Begränsningsarea
Exempel: Vad är begränsningsarean av detta rätblock?
6 cm
5 cm
5 cm
2 sidor har arean 5 · 5 = 25 cm²
4 sidor har arean 6 · 5 = 30 cm²
Begränsningsarean blir
2 · 25 cm² + 4 · 30 cm² =170 cm²
Svar: Rätblocket har en
begränsningsarea på 170 cm²
Klotets volym
För att räkna ut volymen på ett klot använder man formeln
V 
4   r
3

3
4   r  r  r
3
Exempel: ett klot har radien
3 vad är volymen på klotet?
V 
4   r
3
3

4    3 cm  3 cm  3 cm
3
Svar: klotets volym är 113 cm3
 36 cm    113 cm
3
3
Klotets area
För att räkna ut area på ett klot använder man formeln
V  4   r
2
Exempel: ett klot har radien
5 vad är arean på klotet?
V  4    r  4    5  100 cm    314 cm
2
2
Svar: klotets volym är 314 cm2
2
2
Pythagoras sats med blandade volymer
För att räkna ut rymddiagonalen i ett rätblock behöver man
använda sig utav pythagoras sats två gånger
1) Bestäm diagonalen av
basen i rätblocket
2) Bestäm rymddiagonalen då du nu har
fått en rätvinklig triangel.
Pythagoras sats med blandade volymer
Exempel: Bestäm diagonalen i rätblocket
Beräkna basens diagonal
a b c
2
2
7 5 c
2
2
2
2
3
49  25  74
74  8 , 6
5
7
Beräkna rymddiagonalen
8,6  3  r
2
2
2
74  9  83
83  9 ,1
Svar: rymddiagonalen i rätblocket är 9,1 l.e.