Transcript null

Talområden
A.1. Positiva heltal
OBS: Här: tal = positivt heltal
Peanos axiom:
Axiom 1 Det finns ett tal som betecknas 1
Axiom 2 Till varje tal x finns ett tal σ(x), som kallas efterföljare till x
Axiom 3 För alla x så gäller att σ(x) = 1
Axiom 4 Om σ(x) = σ(y), så är x = y
Axiom 5 Om M är en mängd (av tal) med egenskaperna
1 ∈ M och x ∈ M ⇒ σ(x) ∈ M,
så innehåller M alla tal.
Theorem 6 Om x = y, så är σ(x) = σ(y).
Proof. Följer direkt av axiom 4.
Theorem 7 För alla x gäller att σ(x) = x
Proof. Låt A beteckna mängden av alla tal x sådana att σ(x) = x.
(i) 1 ∈ A enligt axiom 1 och 3.
(ii) Om x ∈ A, så σ(x) = x. Enligt sats 6, så är då σ (σ(x)) = σ (x), varför
σ(x) ∈ A.
(i) och (ii) samt axiom 5, ger att A innehåller alla tal.
Theorem 8 Om x = 1, så finns ett u sådant att σ(u) = x
Proof. Låt A = {1} ∪ { x| ∃u : σ(u) = x}.
(i) 1 ∈ A.
(ii) Om x ∈ A, så σ(x) ∈ A.
(i) och (ii) samt axiom 5, ger att A innehåller alla tal.
1
Addition: Definieras genom
x + 1 = σ(x)
x + σ(y) = σ(x + y)
Räkneregler:
A1. (x + y) + z = x + (y + z) (associativa lagen)
A2. x + y = y + x (kommutativa lagen)
A3. x + z = y + z ⇒ x = y (annulleringslagen)
Multiplikation: Definieras genom
x 1 = x
x σ(y) = x y + x
Räkneregler: (vi skriver x y = xy)
M1. (xy)z = x(yz) (associativa lagen)
M2. xy = yx (kommutativa lagen)
M3. xz = yz ⇒ x = y (strykningslagen)
D. x(y + z) = xy + xz (distributiva lagen)
Ordning: Precis ett av följande alternativ gäller:
x = y
∃u : x = y + u, vilket vi skriver x > y
∃u : y = x + u, vilket vi skriver x < y eller ekvivalent y > x
Ordningslagar:
O1. För varje par av tal x och y gäller precis ett av fallen x < y, x = y och
x>y
O2. x < y ∧ y < z ⇒ x < z (transitiva lagen)
O3. x < y ⇒ x + z < y + z
O4. x < y ⇒ xz < yz
O5. Om x och y är givna, så finns ett tal n, sådant att x < ny (den
archimediska egenskapen)
Subtraktion: (för x < y)
x < y ⇔ ∃z : y = x + z
y = x+z =x+w ⇒z =w
Låt, för x < y, y − x = z, där y = x + z.
2
A.2. Positiva rationella tal
Q mängden av alla ordnade talpar (x, y)
Definition 9 Vi säger att (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) omm x1 y2 = x2 y1 .
Theorem 10 Relationen ∼ är en ekvivalensrelation på Q.
Notera att
(x1 , x2 ) ∼ (ax1 , ax2 ).
Definition 11 En ekvivalensklass i Q med avseende på ∼ kallas för ett positivt
rationellt tal (prt).
Definition 12 Operationen ⊕ på Q definieras genom
(x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 y2 + x2 y1 , x2 y2 ).
Theorem 13 Om (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) och (u1 , u2 ) ∼ (v1 , v2 ), så är (x1 , x2 ) ⊕
(u1 , u2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⊕ (v1 , v2 ).
Definition 14 Om X och Y är två positiva rationella tal, så är X + Y det
positiva rationella tal som innehåller (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ), där (x1 , x2 ) ∈ X och
(y1 , y2 ) ∈ Y .
Räkneregler:
A1. (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) (associativa lagen)
A2. X + Y = Y + X (kommutativa lagen)
A3. X + Z = Y + Z ⇒ X = Y (annulleringslagen)
Definition 15 Operationen ⊙ på Q definieras genom
(x1 , x2 ) ⊙ (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 ).
Theorem 16 Om (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) och (u1 , u2 ) ∼ (v1 , v2 ), så är (x1 , x2 ) ⊙
(u1 , u2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⊙ (v1 , v2 ).
Definition 17 Om X och Y är två positiva rationella tal, så är X Y eller XY
det positiva rationella tal som innehåller (x1 , x2 ) ⊙ (y1 , y2 ), där (x1 , x2 ) ∈ X
och (y1 , y2 ) ∈ Y .
Räkneregler:
M1. (XY )Z = X(Y Z) (associativa lagen)
M2. XY = Y X (kommutativa lagen)
M3. XZ = Y Z ⇒ X = Y (strykningslagen)
D. X(Y + Z) = XY + XZ (distributiva lagen)
3
Definition 18 Relationerna ≺ och ≻ på Q definieras genom
(x1 , x2 ) ≺ (y1 , y2 ) omm x1 y2 < x2 y1 och
(x1 , x2 ) ≻ (y1 , y2 ) omm x1 y2 > x2 y1 .
Theorem 19 Om (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) och (u1 , u2 ) ∼ (v1 , v2 ), så är (x1 , x2 ) ≺
(u1 , u2 ) ekvivalent med (y1 , y2 ) ≺ (v1 , v2 ) och (x1 , x2 ) ≻ (u1 , u2 ) ekvivalent med
(y1 , y2 ) ≻ (v1 , v2 ).
Definition 20 Relationerna < (>) på mängden av alla positiva rationella tal
definieras genom att X < Y (X > Y ) omm (x1 , x2 ) ≺ (y1 , y2 ) ((x1 , x2 ) ≻
(y1 , y2 )), där (x1 , x2 ) ∈ X och (y1 , y2 ) ∈ Y .
Ordningslagar:
O1.
X < Y,
O2.
O3.
O4.
För varje par av rationella tal X och Y gäller precis ett av fallen
X = Y och X > Y
X < Y ∧ Y < Z ⇒ X < Z (transitiva lagen)
X <Y ⇒X +Z <Y +Z
X < Y ⇒ XZ < Y Z
Subtraktion: (för X < Y )
X
Y
< Y ⇔ ∃Z : Y = X + Z
= X +Z =X +W ⇒Z =W
Låt, för X < Y , Y − X = Z, där Y = X + Z.
Theorem 21 Låt X och Y vara två godtyckliga positiva rationella tal. Då finns
precis ett positivt rationellt tal Z, sådant att Y Z = X.
Definition 22 Låt X och Y vara två godtyckliga positiva rationella tal. Det
positiva rationella talet Z, sådant att Y Z = X, kallas för kvoten mellan X och
X
Y . Vi skriver Z =
= X/Y .
Y
Vi kan identifiera heltalen med alla rationella tal som innehåller ett par på
formen (x, 1) (dessa båda mängder är isomorfa), genom att ett givet heltal x
identifieras med det rationella tal x som innehåller (x, 1).
Division av heltal: Låt x och y vara två godtyckliga positiva heltal.
x
=
y
x/y är det rationella tal som innehåller (x, y).
Notera att varje rationellt tal X kan skrivas som kvoten av två positiva
heltal, ty om (x1 , x2 ) ∈ X, så är X = x1 /x2 .
Notera också att för alla rationella tal X så är
1 X = X.
O5. Om X och Y är godtyckliga positiva rationella tal, så finns ett positivt
heltal n, sådant att X < nY (den archimediska egenskapen).
4