Transcript increasingInverse - envariabelanalys

c Mikael Forsberg
24 maj 2012
¨xande och avtagande
Exempel: va
1
¨xande och avtagande
Om va
Definition 1.1. En deriverbar funktion s¨ages vara v¨
axande p˚
a ett intervall I om a < b f¨or tv˚
a
godtyckliga punkter i intervallet medf¨or att f (a) < f (b) och avtagande om a < b medf¨or att
f (a) > f (b).
Adams: kapitel 2 Definition 6 (Ed7 sid
138)
4
3
1.
2
0.5
1
-
5Π
2
-
3Π
2
-
Π
Π
3Π
5Π
2
2
2
2
-0.5
-2
-1
1
2
-1.
x2
(a)
avtagande p˚
a (−∞, 0) och v¨
axande p˚
a
(0, ∞)
(b) sin x ¨
ar v¨
axande p˚
a intervallen
Ik = ((4k − 1)π/2, (4k + 1)π/2), k ∈ Z och avtagande p˚
a de ¨
ovriga.
Figur 1: Tv˚
a funktioner som ¨ar v¨axande p˚
a vissa intervall och avtagande p˚
a andra.
Det kan vara lite b¨
okigt att verifiera att en funktion ¨ar v¨axande eller avtagande p˚
a ett visst intervall.
Tex, hur resonerar vi f¨
or att verifiera att sin x ¨ar v¨axande p˚
a intervallet I0 = (−π/2, π/2)?
Man beh¨
over ju visa att x < y medf¨or att sin x < sin y, och detta kr¨aver att man har en v¨aldigt
bra k¨
annedom om sinusfunktionens egenskaper.
Vi ska nu titta p˚
a en sats som hj¨
alper oss att se om en funktion v¨axer eller avtar. Id´en ¨ar att
v¨axande och avtagande har med funktionens derivata att g¨ora. Vi har f¨oljande sats:
Theorem 1.2. L˚
at f vara en kontinuerligt deriverbar funktion p˚
a intervallet I. D˚
a g¨aller
i.) f 0 (x) > 0 f¨
or alla x ∈ I
⇒
f ¨ar v¨axande p˚
a I.
ii.) f 0 (x) < 0 f¨
or alla x ∈ I
⇒
f ¨ar avtagande p˚
a I.
Exempel 1.3. Vi visar att x2 avtar p˚
a (−∞, 0) och v¨axer p˚
a (0, ∞).
Eftersom x2 har derivatan 2x s˚
a ser vi direkt att derivatan ¨ar negativ om x ¨ar negativ och positiv
om x ¨
ar positiv.
1
Kapitel 2, Thm 12,
(Ed7 sid 139)
c Mikael Forsberg
24 maj 2012
Exempel 1.4. Vi visar att sin x ¨
ar v¨axande p˚
a intervallen Ik
Eftersom derivatan till sinus ¨
ar cosinus s˚
a beh¨over vi unders¨oka f¨or vilka intervall som cos x ¨ar
st¨orre ¨
an noll. Dessa intervall g¨
or s˚
a att sin x v¨axer. Det ¨ar inte sv˚
art att se att cos x > 0 p˚
a
intervallen (−5π, −3π), (−π/2, π/2) och (3π/2, 5π/2). Dessa tre intervall ¨ar intervallen I−1 ,I0 och
I1 , respektive. Cosinusfunktionens periodicitet, dvs att den upprepar sig med perioden 2π g¨or att
cosinus ¨
ar st¨
orre ¨
an noll ¨
aven p˚
a de andra intervallen, dvs f¨or de andra v¨ardena p˚
a k.
1.
0.5
-
5Π
2
-
3Π
2
-
Π
Π
3Π
5Π
2
2
2
2
-0.5
-1.
Figur 2: Grafen till cos x. Det ¨
ar inte sv˚
art att se att denna funktion ¨ar st¨orre ¨an noll p˚
a intervallen
2
¨xande, avtagande och inversen
Va
En ordentlig genomg˚
ang om inverterbarhet kr¨aver att man har koll p˚
a begrepp som injektiv,
surjektiv och bijektiv. Detta brukar k¨annas ganska invecklat, speciellt om man ¨ar ganska ny i
matematiken. I detta avsnitt ska vi hoppa ¨over de invecklade detaljerna och koncentrera oss p˚
a
f¨oljande sats som ger oss ett ganska bra verktyg f¨or att avg¨ora om var deriverbara funktioner kan
ha inverser eller inte ha inverser.
Theorem 2.1. En funktion som ¨
ar v¨axande (eller avtagande) har invers.
Med hj¨
alp av theorem 1.2 s˚
a kan vi formulera detta som
Corollary 2.2. Om en funktion ¨
ar deriverbar med f 0 (x) > 0 eller f 0 (x) < 0 f¨or alla x ∈ (a, b) s˚
a
har funktionen en invers.
a intervallet [0, ∞). Enligt Theorem 2.1
Exempel 2.3. Vi har sett att funktionen x2 ¨ar v¨axande p˚
s˚
a
har
funktionen
en
invers
p˚
a
detta
intervall
och
det
a
r
denna inversfunktion som vi kallar f¨or
¨
√
¨
x. Aven
p˚
a intervallet (−∞, 0] s˚
a har vi en√invers eftersom funktionen ¨ar avtagande p˚
a detta
intervall. Denna inversfunktion kallar vi f¨or − x.
Exempel 2.4. Vi har sett i exempel 1.4 att sin x ¨ar v¨axande p˚
a intervallet (−π/2, π/2). Theorem
2.1 ger nu att sin x har en invers p˚
a detta intervall. Det ¨ar denna invers som vi kallar arcsin x.
Notera att man ¨
aven kan definiera inverser ¨aven p˚
a de andra v¨axande intervallen och ¨aven p˚
a
de intervall d¨
ar funktionen ¨
ar avtagande. Men just arcsin x ¨ar inversen f¨or sin x p˚
a intervallet
(−π/2, π/2).
sin x
Exempel 2.5. Tangens funktionen tan x = cos
ar definierad ¨overallt utom d¨ar n¨amnaren cos x =
x ¨
0 vilket intr¨
affar d˚
a x = (2n+1)π/2. Funktionen tan x kan ses i svagt r¨ott i figur 3(b). Den v¨axande
delen f˚
ar vi f¨
or x ∈ [−π/2, π/2] och denna v¨axande funktion har en invers som vi k¨anner som
arctan x.
2
c Mikael Forsberg
24 maj 2012
1.5
6
1.0
4
0.5
2
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
-10
5
-5
10
-0.5
-2
-1.0
-4
-1.5
(a) sin x i r¨
ott och arcsin x i bl˚
att. Notera
att de ¨
ar spegelbilden av varandra i linjen
y=x
-6
(b) V¨
axande del av tan x i r¨
ott, hela tan x i svagare r¨
ott och
arctan x i bl˚
att.
Figur 3: Tv˚
a exempel p˚
a trigonometriska funktioner vars definitionsm¨angd har begr¨ansats s˚
a att
funktionen ¨
ar v¨
axande och som d¨
arf¨or har invers.
3
Logaritmen och exponentialfunktionen
Definitionen av logaritmen sker som arean under grafen till funktionen 1/t fr˚
an 1 till x. I Adams
kapitel 5 s˚
a inf¨
ors begreppet integral som det s¨att vi har att ber¨akna s˚
adana areor. Med integralbegreppet s˚
a blir definitionen av logaritmen
Z x
dt
ln x =
x>0
t
1
Fr˚
an integralkalkylens fundamentalsats1 har vi
1
d
ln x =
dx
x
vilket betyder att eftersom x > 0 s˚
a a¨r logaritmen en v¨axande funktion och har d¨arf¨or invers enligt
Theorem 2.1. Och det a
r
denna
invers
som vi kallar f¨or exponentialfunktionen.
¨
Figur 4: Exponentialfunktionen (r¨
ott) och logaritmen (bl˚
att). Notera att de ¨ar varandras spegling
i linjen y = x.
1 Eng:
fundamental theorem of calculus, se Theorem 5, kapitel 5.5 (Ed 7 sid 311)
3
c Mikael Forsberg
4
24 maj 2012
¨ r sats 2.1
Bevis fo
I detta avsnitt ska vi titta i detalj p˚
a anledningen till att en v¨axande(avtagande) funktion m˚
aste ha
en invers. Vi antar d¨
arf¨
or att vi har en funktion f (x) som ¨ar v¨axande(avtagande) och kontinuerligt
deriverbar p˚
a ett intervall I. Vi beh¨over nu visa att funktionen ¨ar b˚
ade injektiv och surjektiv p˚
a
detta intervall.
Surjektiviteten: F¨or varje y ∈ F (I) s˚
a beh¨over vi hitta ett x ∈ I s˚
a att y = f (x). Detta a¨r
trivialt eftersom definitionen av F (I) inneb¨ar
F (I) = {y : y = f (x), x ∈ I}
som ger surjektiviteten automatiskt. Funktionen f : A → f (A) a¨r surjektiv per definition.
Injektiviteten: Det a¨r allts˚
a injektiviteten som a¨r viktig. Vi beh¨over visa att f (a) = f (b)
implicerar att a = b f¨
or alla a, b ∈ I Detta a¨r ekvivalent med att visa att a 6= b implicerar att
f (a) 6= f (b) S˚
a om vi antar att a 6= b. Detta betyder att a < b eller att a > b, antag att i
forts¨attningen a < b g¨
aller2 . Nu anv¨ander vi oss av medelv¨ardesatsen (Theorem 11, sidan 136 i
Adams) som ger oss
c ∈ (a, b)
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a),
Medelv¨
ardesatsen garanterar existensen av ett s˚
adant tal c. Eftersom funktionen ¨ar v¨axande p˚
a
I och (a, b) ⊂ I s˚
a har vi att f 0 (c) > 0 (avtagande ger ist¨allet f 0 (c) < 0, dvs f¨or b˚
ade v¨axande och
avtagande s˚
a g¨
aller att f 0 (c) 6= 0 Av detta f¨oljer det nu att
a<b
⇒
b − a 6= 0
⇒
0 6= (b − a)f 0 (c) = f (b) − f (a),
vilket allts˚
a visar injektiviteten och d¨armed bijektiviteten och d¨arf¨or att v¨axande eller avtagande
funktioner har invers.
2 detta kan vi g¨
ora utan att f¨
orlora i allm¨
angiltighet f¨
or om a > b s˚
a kan vi l˚
ata a och b byta namn med varandra
och f˚
a att a < b
4