Transcript Talteoriproblem

Uppv¨
armningsproblem
1. Hur kan man ”se” p˚
a ett heltal om det ¨ar delbart med 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
respektive 11? Varf¨or?
2. (a) T¨ank p˚
a ett tresiffrigt tal abc, a 6= 0. Bilda abcabc genom att skriva
talet tv˚
a g˚
anger efter varandra. Jag p˚
ast˚
ar att det s˚
a bildade talet
blir delbart med 7, 11 och 13. Varf¨or ¨ar det s˚
a?
(b) Vilka primtal kommer talet abcdabcd att bli j¨amnt delbara med?
3. (a) Vad ¨ar definitionen av primtal?
(b) Skriv upp de 20 f¨orsta primtalen.
4. Best¨am alla trippler n − 2, n, n + 2 av heltal som samtliga ¨ar primtal.
5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen f¨or r¨akning modulo 4.
6. Bevisa att det finns o¨andligt m˚
anga primtal (ett av matematikens klassiska resultat).
1
Fr˚
an Skolornas matematikt¨
avling
¨ det m¨ojligt att n˚
1. Ar
agot av heltalen x och y a¨r delbart med 3 om x2 −y 2 =
1995? (k1/1995)
2. Best¨am de tv˚
a sista siffrorna i 31000 . (k2/1977)
3. Antag att det femsiffriga talet ABCDE ¨ar delbart med 271. Visa att d˚
a
alls genom att f¨orsta siffran flyttas sist) ¨ar delbart med
¨aven BCDEA (erh˚
271. (k2/1975)
4. Best¨am heltalet t och hundratalssiffran a s˚
a att (3(230 + t))2 = 492a04.
(k1/1989)
p
5. Visa att 1 + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ¨ar ett heltal f¨or varje heltal n.
(k2/1991)
6. F¨or vilka heltal a, b och c, d¨ar a ≤ b ≤ c, g¨aller att abc = 84 och
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 180? (k2/2000)
7. Best¨am alla positiva heltal x och y s˚
adana att x2 −3xy = 2002. (k2/2002)
8. Visa att om p ¨ar ett primtal, p ≥ 5, s˚
a ¨ar p2 +2 inte ett primtal. (k3/1977)
9. Man bildar talet 1980! = 1 · 2 · 3 · . . . · 1979 · 1980. Med hur m˚
anga nollor
slutar detta tal? (k2/1980)
10. Visa att om n ¨ar ett udda tal s˚
a ¨ar n12 − n8 − n4 + 1 delbart med 29 .
(k2/1984)
11. Vilka sexsiffriga tal av formen abccba ¨ar j¨amnt delbara med 33? (k2/1990)
12. F¨ors¨ok finna en snabb metod f¨or att ber¨akna 9999999993 och utf¨or ber¨akningen.
(k2/1961)
13. Visa att f¨or varje primtal p ≥ 5 ¨ar p2 −1 j¨amnt delbart med 24. (k2/1963)
14. Vilken rest ger talet 1234567 + 891011 vid division med 12? (f3/1963)
15. Talen a1 , a2 , . . . , an ¨ar talen 1, 2, 3, . . . , n skrivna i annan ordning. Visa
att om n a¨r udda s˚
a a¨r (a1 − 1)(a2 − 2) · . . . · (an − n) j¨amnt. (k2/1964)
16. Summan av ett visst antal p˚
a varandra f¨oljande naturliga tal n, n +
1, . . . , n + m a¨r 1000. Best¨am alla m¨ojliga s˚
adana f¨oljder. (f2/1964)
17. Best¨am alla par av naturliga tal x och y s˚
adana att x3 − y 3 = 999.
(f2/1965)
2
18. Visa att det inte finns fyra heltal x, y, z och k s˚
adana att x2 + y 2 + z 2 =
8k + 7. (f3/1966-67)
19. I ett fyrsiffrigt positivt heltal ¨ar entalssiffran och tiotalssiffran inb¨ordes
lika medan hundratalssiffran ¨ar densamma som tusentalssiffran. Talet ¨ar
dessutom en j¨amn kvadrat. Best¨am talet. (k2/1996)
20. Primtalet 1997 minskat med 1 ger ett tal som ¨ar delbart med 4. Enligt en
sats av Fermat kan d˚
a 1997 skrivas som en summa av tv˚
a heltalskvadrater. Best¨am alla positiva heltal x och y s˚
adana att 1997 = x2 + y 2 .
(k2/1997)
21. Visa att den n¨ast sista siffran i talet 3n , d¨ar n ¨ar ett positivt heltal ≥ 3,
alltid ¨ar j¨amn. (k2/1998)
22. Best¨am alla positiva heltal m och n s˚
adana att
1
1
2
1
+ −
= .
m n mn
5
(f1/1991)
¨ (1992 − 9129 )/90 ett naturligt tal? (f1/1992)
23. Ar
24. Heltalet x ¨ar s˚
adant att 3x har samma siffersumma som x. Visa att talet
x ¨ar delbart med 9. (f1/1993)
25. Best¨am alla naturliga tal x, y, z s˚
adana att
(8x − 5y)2 + (3y − 2z)2 + (3z − 7x)2 = 2.
(f1/1998)
26. L¨os ekvationen 5x + 6y + 7z + 11u = 1999 i icke-negativa heltal x, y, z, u.
(f3/1999)
27. Finns det heltal n och m s˚
adana att n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = m2 ?
(f3/2000)
28. I ett land finns mynt av val¨orerna 1, 2, 3, 4 och 5. Nisse har valt ett par
skor. N¨ar han ska betala ber¨attar han f¨or f¨ors¨aljaren att han har en p˚
ase
med 100 mynt, men att han inte vet exakt hur m˚
anga han har av varje
val¨or.
- Vad bra, d˚
a har du j¨amna pengar, s¨ager f¨ors¨aljaren.
Hur mycket kostade skorna, och hur kunde f¨ors¨aljaren vara s¨aker p˚
a att
Nisse hade j¨amna pengar? (f2/2004)
3
29. Best¨am det minsta heltal ≥ 3 med egenskapen att man kan v¨alja tv˚
a av
talen 1, 2, . . . , n p˚
a ett s˚
adant s¨att att deras produkt ¨ar lika med summan
av ¨ovriga n − 2 talen. Vilka ¨ar de tv˚
a talen? (f2/2008)
30. Best¨am alla positiva heltalsl¨osningar till
1 1
1
+ =
.
x y
101
(k4/2009)
31. Dela in de elva talen 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 och 73 i tv˚
a
grupper s˚
a att summan av talen i den ena gruppen ¨ar j¨amnt delbar med
summan i den andra. (k2/2003)
32. Visa att n4 + n2 + 1 inte kan vara kvadrat p˚
a ett heltal om n ¨ar ett heltal
och n 6= 0. (k1/1972)
33. Idag ¨ar det onsdagen 17 oktober 1962. P˚
a vilken veckodag infaller den
17 oktober ˚
ar 3000? Skott˚
ar intr¨affar om ˚
artalet a¨r j¨amnt delbart med
4 med det undantaget att ˚
ar som ¨ar j¨amnt delbara med 100 endast ¨ar
skott˚
ar om de ¨ar j¨amnt delbara med 400. (k2/1962)
34. Visa att varje heltal n ≥ 0 p˚
a precis ett s¨att kan framst¨allas p˚
a formen
n = a1 · 1! + a2 · 2! + a3 · 3! + . . . d¨ar a1 , a2 , a3 , . . . ¨ar heltal som uppfyller
0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 2, 0 ≤ a3 ≤ 3, osv. (k2/1967)
35. L˚
at n vara ett positivt heltal. Visa att talen n2 (n2 + 2)2 och n4 (n2 + 2)2 i
basen n2 + 1 skrivs med samma siffror fast i motsatt ordning. (f1/1989)
36. Antag att de positiva heltalen a och b har 99 respektive 101 olika positiva
delare (1 och talet sj¨alvt inr¨aknade). Kan produkten ab ha 150 olika
positiva delare? (f1/2006)
37. Finns det ett positivt heltal vars kub har formen ababab1 i talsystemet
med basen 10, d¨ar siffran a ¨ar skild fr˚
an 0? (k6/2001)
38. Visa att bland 18 konsekutiva (dvs p˚
a varandra f¨oljande) tresiffriga tal
finns ett som a¨r delbart med sin siffersumma. (k5/1999)
39. Best¨am alla par (x, y) av heltal x och y som satisfierar ekvationen y 2 −
3xy + x − y = 0. (f3/1962)
40. Visa att det endast finns ¨andligt m˚
anga upps¨attningar (x, y, z) av positiva heltal som satisfierar
1
1 1 1
+ + =
.
x y z
1000
(f3/1967)
4
41. Visapatt man f¨or varje heltal n kan finna positiva heltal x och y s˚
adana
2
2
att x + nxy + y ¨ar ett heltal. (k6/1988)
42. Talen a1 , a2 , . . . , an ¨ar vardera lika med 1 eller −1. Vidare g¨aller a1 a2 +
a2 a3 + . . . + an a1 = 0. Visa att n m˚
aste vara delbart med 4. (k4/1997)
43. F¨or vilka positiva heltal n ¨ar n3 −18n2 +115n−391 kuben p˚
a ett positivt
heltal? (f3/1989)
44. Antag att a och b ¨ar heltal. Visa att ekvationen a2 + b2 + x2 = y 2 har
heltalsl¨osning x, y om och endast om produkten ab ¨ar j¨amn. (f3/1993)
45. Best¨am alla par (x, y) av heltal som satisfierar ekvationen 2y 3 − x3 =
xy 2 + 11. (f4/1994)
46. Best¨am det minsta naturliga talet s˚
adant att om talets f¨orsta siffra (talet
a blir det nya talet 7/2 g˚
anger
¨ar skrivet i decimalform) placeras sist, s˚
st¨orre ¨an det ursprungliga talet. (f3/1985)
47. L˚
at k och n vara naturliga tal 1 < k < n. Givet ¨ar n tal s˚
adana att
medelv¨ardet av k av dem, vilka som helst, ¨ar ett heltal. Visa att alla n
talen ¨ar heltal. (k4/2004)
48. Best¨am alla heltalsl¨osningar x och y till ekvationen (x + y 2 )(x2 + y) =
(x + y)3 . (f1/2005)
49. Best¨am alla positiva heltal a, b och c s˚
adana att
c
ab = (ba )c .
(f6/2006) (Tips: den enda l¨osningen jag kunde komma p˚
a blandar in
derivator. Finns element¨arare l¨osning?)
50. Best¨am alla heltalsl¨osningar till ekvationen x + x3 = 5y 2 . (f4/2009)
5