Transcript Formelliste til boken Reguleringsteknikk

Formelliste til boken Reguleringsteknikk
Finn Haugen
14. februar 2013
Nedenfor er de mest aktuelle formlene i boken. Formlene står i samme
rekkefølge som i boken.
IEA-indeksen (Integral of Absolute value of control Error):
IAE =
Z
tslutt
tstart
je(t)jdt
Ts
tk =t
slutt
X
tk =tstart
je (tk ) j
(1)
e = ySP y er reguleringsavviket. ySP er settpunktet. y er
prosessvariabelen eller prosessutgangen som skal reguleres til sitt
settpunkt.
Oppløsning:
R=
yam a k s
2n
yamin
1
(2)
yam a k s er maksimal signalverdi. yamin er minimal signalverdi. n er
antall bits i AD-omsetteren.
Måleverdiomregning fra kjent måleverdi M til prosessverdi P :
P =
P2
M2
P1
(M
M1
M1 ) + P1
(3)
Formelen uttrykker en antatt lineær sammenheng mellom P og M
mellom de gitte punktene (verdiparene) (M1 ; P1 ) og (M2 ; P2 ).
Tidskonstant…lter:
Tf y_ mf (t) = ym (t)
ymf (t)
Tf [s] er …ltertidskonstanten. ym er u…ltrert målesignal
(…lterinngang). ymf er …ltrert målesignal (…lterutgang).
1
(4)
2
F. Haugen: Reguleringsteknikk
Tidsforsinkelse gjennom tidskonstant…lter når inngangssignalet er
rampeformet:
(5)
rampe = Tf
Sammenheng mellom støydempningen,
tidsdiskret tidskonstant…lter:
Ts
2
Tf
ymf = ym ,
og tidskonstant for
1
ymf = ym
2
(6)
Ts samplingsintervallet. ymf er standardavviket av …lterutgangen.
ym er standardavviket av …lterinngangen.
Tidsdiskret tidskonstant…lter, også kalt EWMA-…lter (Exponentially
Weighted Moving Average):
ymf (tk ) = (1
a)ymf (tk
1)
+ aym (tk )
(7)
der …lterparameteren a er
a=
Ts
Tf + Ts
(8)
k er tidsindeksen (heltallig).
Håndregler for valg av tidskonstant:
Tf
Tp
10
(9)
evt.
Tf
Tp er prosessens tidskonstant.
p
p
10
er prosessens tidsforsinkelse.
(10)
Middelverdi…lter:
ymf (tk ) =
1
N
j=k
X
ym (tj )
(11)
j=k (N 1)
der N er antall samplede måleverdier ym som skal midles.
Tidskonstant…lter med tidskonstant Tf [s] og middelverdi…lter med
tidsvindu Tv [s] som er (lengden av) tidsintervallet med samplede
måleverdier som skal midles, oppfører seg ganske likt dersom
Tf
Tv
2
(12)
F. Haugen: Reguleringsteknikk
3
Lineær pådragskarakteristikk mellom use (pådragsverdien uttrykt i
standardenhet, typisk mA eller volt) og uf e (pådraget uttrykt i fysisk
enhet, f.eks. kg/min):
use =
use2
uf e2
use1
(uf e
uf e1
uf e1 ) + use1
(13)
(uf e1 ,use1 ) og (uf e2 ,use2 ) er gitte, sammenhørende punkter.
Tidsforsinkelse gjennom DA-omsetter:
Ts
2
(14)
Ton
[%]
Tp
(15)
der Ts er samplingsintervallet.
Pulsbreddemodulering:
– Duty cycle:
D=
Ton er på-tid. Tp er fast periodetid.
– Gjennomsnittlig utsignalverdi ved pulsbreddemodulering:
umean
DUon
(16)
Ventiler:
– Ventillikningen (for væsker):
r
r
pv
pv
eller Kv
Q = Kv (z)
G
G
(17)
Q [m3 =h] er væskestrøm. z er ventilåpning [normalisert mellom
0 (lukket) og 1 (fullt åpen)]. pv [bar] er trykkfallet over en
ventilen. Kv er ventilkonstanten eller kapasitetsindeksen som er
en funksjon av z.
– Lineære egenkarakteristikk for ventil:
Kv (z) = Kvmax z
(18)
– Ulineær eller logaritmisk eller likeprosentlig egenkarakteristikk
for ventil:
Kv (z) = Kvmax R1 z
(19)
R er regulerbarheten (typisk verdi 50).
Elektrisk motstand brukt som varmekilde:
4
F. Haugen: Reguleringsteknikk
– Midlere (gjennomsnittlig) e¤ekt Pmidlere [W] er
Pmidlere =
Uef f 2
R
(20)
Uef f [V] er spenningens e¤ektivverdi. R [ ] er
motstandsverdien.
– Lengdespesi…kk motstandsverdi for motstand med
motstandsverdi R [ ] og lengde L [m]:
Rs =
R
[ /m]
L
(21)
– Dimensjonering av motstandsverdi for strømsløyfe (current
loop) vha. Ohms lov:
R[ ]=
u [V]
i [A]
(22)
i er maksimal strøm fra transmitteren og u er tilsvarende
maksimal spenning som skal registreres av
datainnsamlingsutstyret.
Måleoppløsning:
R=
S
2n
1
(23)
n er antall bits i AD-omsetteren. S er måleomfanget (eng.: span).
Termoelement: Termoelementspennningen for ukjent temperatur Tm :
v0 (Tm ) = v + v0 (Tr )
(24)
v er kjent fra spenningsmåling i termoelementet. v0 (Tr ) er
termoelementspenningen for kjent referansetemperatur Tr avlest i
temperatur/EMK-tabell. Tm …nnes fra spenningen v0 (Tm ) (som nå er
kjent) i temperatur/EMK-tabellen.
Motstandstermometer: Beregning av temperatur T [ C] fra målt
motstandsverdi R [Ohm]:
T =
R
R0
1
a
(25)
R0 [Ohm] er motstandsverdien ved 0 C. a er en kjent konstant for
gitt type motstandtermometer (f.eks. Pt100-element).
F. Haugen: Reguleringsteknikk
5
Ultralydbasert nivåsensor: Nivå (høyde) L [m]:
L [m] =
vTr
2
(26)
Tr [s] er re‡eksjonstiden. v [m/s] er lydhastigheten.
Sammenheng mellom hydrostatisk trykk p [Pa] og væskehøyden
h + h0 [m] ved målepunktet:
p = g(h + h0 )
(27)
g [m/s2 ] er gravitasjonskonstanten. [kg/m3 ] er væskens tetthet. h er
væskenivå i tanken. h0 er væskenivå (-lengde) i målerør.
Sammenheng mellom væskestrøm F og trykkfall
p
F =k
p
p over måleblende:
(28)
k er en konstant.
Ultralydbasert1 strømhastighetsmåling:
v = k (tmot
tmed )
(29)
v [m/s] er hastighet. tmed er transporttiden for en puls sendt
medstrøms. tmot er transporttiden for en puls sendt motstrøms. k er
en konstant.
Sammenhen mellom volumstrøm Q [m3 /s] og strømhastighet v [m/s]:
Q = Av
(30)
A [m2 ] er tverrsnittsareal.
Coriolis strømmåling: Sammenheng mellom volumstrøm Fv [m3 /s],
massestrøm Fm [kg/s] og tetthet [kg/m3 ]:
Fv =
Fm
Termisk strømmåling: Temperaturdi¤eransen mellom to
varmeseksjoner:
T = T2 T1 = kF
F er massestrøm. k er en konstant.
1
Utralyd er lyd som har frekvens høyere enn det hørbare frekvensområdet.
(31)
(32)
6
F. Haugen: Reguleringsteknikk
Online-beregning av hastighet fra posisjon:
v(tk ) =
ds(tk )
dt
s(tk )
s(tk
1)
Ts
(33)
Ts [s] er samplingsintervallet. s(tk ) er posisjonsverdi. k er tidsindeks.
O- ine-beregning av hastighet fra posisjon med
senterdi¤eransemetoden:
v(tk )
s(tk+1 ) s(tk
2Ts
1)
(34)
Tachometer: Sammenheng mellom rotasjonshastighet eller turtall v
[rpm = revolutions per minute] og tachometerspenningen ut [V]:
ut = Kt v
(35)
Kt er tachometerkonstanten.
Massebalanse:
dm(t) X
=
winn (t)
dt
X
wut (t) +
X
Qut +
X
wgenerert (t)
(36)
m [kg] er masse. w [kg/s] er massestrømninger.
Energibalanse:
X
dE
=
Qinn
dt
X
Qgenerert
(37)
E [J] er systemets “termiske”energi. Q [J/s = W] er energistrømmer.
Vanlig antakelse i energibalanse:
E = cmT = c V T = CT
(38)
T [K] er systemets temperatur. c [J/(kg K)] er spesi…kk
varmekapasitet. m [kg] er massen. V [m3 ] er volumet. [kg/m3 ] er
tetthet. C [J/K] er total varmekapasitet.
Kraftbalanse eller Newtons 2. lov for translatorisk (rettlinjet)
bevegelse ved konstant masse, m [kg]:
mv_ = m•
x = ma =
X
F
(39)
v_ = x
• = a [m/s2 ] er akselerasjonen. x [m] er posisjon. F [N] er kraft.
F. Haugen: Reguleringsteknikk
7
Momentbalanse eller Newtons 2. lov for roterende bevegelse ved
konstant treghetsmoment, J [kgm2 ]:
X
J !_ = J • =
T
(40)
T er moment. !_ = • er vinkelakselerasjonen.
[rad] er vinkelposisjon.
Sammenhenger mellom translatorisk og roterende bevegelse:
T = Fl
(41)
T [Nm] er moment. F [N] er kraft. l [m] er armens lengde.
b= r
b [m] er buelengde.
(42)
[rad] er vinkel. r [m] er radius.
Ohms lov uttrykker sammenhengen mellom spenning u [V], strøm i
[A] og motstand R [Ohm]:
u = Ri
(43)
Momentan e¤ekt P [W] mottatt/avgitt av motstand:
P = ui = Ri2 =
u2
R
(44)
Midlere (gjennomsnittlig) e¤ekt ved vekselstrøm/-spenning
(sinusformet):
Pmidlere = Uef f Ief f = R Ief f 2 =
Uef f 2
R
(45)
Ief f [A] er strømmens e¤ektivverdi:
Imaks
Ief f = p
2
(46)
Uef f [V] er spenningens e¤ektivverdi:
Uef f =
Umaks
p
2
(47)
Totalt pådrag u ved tilbakekopling (PID-regulering) foroverkopling:
u = ut + uf
ut er pådraget fra tilbakekoplingen. uf er pådraget fra
foroverkoplingen.
(48)
8
F. Haugen: Reguleringsteknikk
Prosessforsterkning K for system med inngangssignal u og
utgangssignal y beregnet fra statisk sprangrespons i y pga. sprang i u:
K=
y2
u2
y1
=
u1
y
u
(49)
(u1 , y1 ) er sammenhørende verdier av inngang og utgang før spranget
i u. Dette verdiparet de…nerer arbeidspunktet før spranget. (u2 , y2 )
er arbeidspunktet når responsen i y har stabilisert seg, altså ved
statiske forhold.
De…nisjon av forsterkning K og tidskonstant T ut fra
di¤erensiallikning der u er inngangssignal og y er utgangssignal:
T y_ = Ku
y
(50)
De…nisjon av forsterkninger K1 og K2 og tidskonstant T for system
med to inngangssignaler, u1 og u2 :
T y_ = K1 u1 + K2 u2
y
(51)
Integrator:
y_ = Ki u
(52)
Z
(53)
evt.
y(t) = Ki
t
u( ) d
0
der Ki er integralforsterkningen.
Tidsforsinkelse
signal y(t):
[s eller en annen tidsenhet] mellom signal u(t) og
y(t) = u(t
)
(54)
Tidskontinuerlig PID-regulatorfunksjon:
Z
Kp t
de(t)
e( ) d + Kp Td
u(t) = uman + Kp e(t) +
Ti 0
dt
u er pådrag. uman er det manuelt innstilte pådraget. e er
reguleringsavviket (settpunkt minus …ltrert
prosessmåling):e = ySP ymf .
Sammenhengen mellom proporsjonalbånd P B [%] og
regulatorforsterkning Kp :
PB =
100
100
og motsatt: Kp =
Kp
PB
(55)
F. Haugen: Reguleringsteknikk
9
Tidsdiskret PID-regulator:
u(tk ) = uman + up (tk ) + ui (tk ) + ud (tk )
(56)
up (tk ) = Kp e(tk )
(57)
der
Kp Ts
[e(t0 ) + e(t1 ) + : : : + e(tk
Ti
Kp Ts
= ui (tk 1 ) +
e(tk )
Ti
ui (tk ) =
ud (tk ) = Kp Td
e(tk )
e(tk
Ts
1)
1)
+ e(tk )]
(58)
(59)
(60)
Ts [s] er regulatorens samplingsintervall (tidsskritt).
Tidsdiskret tidskonstant…lter for …ltrering av støyfylt prosessmåling
(dette …lteret er presentert ovenfor):
ymf (tk ) = (1
a)ymf (tk
1)
+ aym (tk )
(61)
der …lterparameteren a er
Ts
Tf + Ts
(62)
umaks for e 0
umin for e < 0
(63)
a=
Av/på-regulator:
u=
Ziegler-Nichols’svingemetode:
P-regulator
PI-regulator
PID-regulator
Kp
0; 5Kpk
0; 45Kpk
0; 6Kpk
Ti
1
Pu
1;2
Pu
2
Td
0
0
Pu
8
=
Ti
4
Repetert Ziegler-Nichols’(svinge)metode:
Kp = 0; 45Kp0
Ti =
Pu0
1; 2
(64)
(65)
Kp0 er regulatorforsterkningen og Pu0 er periodetiden i de dempede
svingingene med opprinnelig PI-regulator (som her er forutsatt å gi
dårlig stabilitet).
10
F. Haugen: Reguleringsteknikk
Relémetoden: Kritisk regulatorforsterkning
Kpu =
4A
Ut-amplitude
4A
=
=
Inn-amplitude
E
E
1; 27
A
E
(66)
E er amplituden i svingingene i reguleringsavviket (og i
prosessmålingen). A er av/på-pådragets amplitude:
A=
umaks
umin
2
(67)
Good Gain-metoden:
Kp = 0:8KGG
(68)
Ti = 1:5Tou
(69)
Skogestad-metoden:
– Håndregel for valg av reguleringssystemets tidskonstant:
TC =
(70)
er prosessens tidsforsinkelse.
– “Tidskonstant med tidsforsinkelse”-prosess: PI-innstilling:
Kp =
T
K (TC + )
Ti = min [T , 2 (TC + )]
(71)
(72)
K er prosessens forsterkning. T er prosessens tidskonstant.
prosessens tidsforsinkelse. min betyr “minimum av”.
er
– Responstidmetoden: PI-innstilling:
1
K
(73)
Ti = T63
(74)
Kp =
og
K er prosessforsterkningen. T63 er prosessens responstid eller
63%-stigetid.
– “Integrator med tidsforsinkelse”-prosess: PI-innstilling:
Kp =
1
Ki (TC + )
Ti = 2 (TC + )
Ki er prosessens integralforsterkning.
(75)
(76)
F. Haugen: Reguleringsteknikk
11
– “Ren integrator”-prosess: PI-innstilling:
Kp =
1
Ki Tc
Ti = 2Tc
(77)
(78)
der Tc må spesi…seres.
– Håndregel for bruk av derivatledd:
Td = Taktuator
(79)
Taktuator er tidskonstanten for aktuatoren.
– “Dobbelintegrator”-prosess:
y• = Kii u
(80)
PID-innstilling:
Kp = Kpp =
2
Kii TC 2
(81)
Ti = Tip = 4TC
(82)
Td = Tdp = TC
(83)
Omregningsformel for Kp uttrykt i standardenheter (SE) til Kp
uttrykt i fysiske enheter (FE):
Kp;F E
[FEp]
[SEm]
[SEp]
[FEp]
= Ksm
Kp;SE
Ksp
[FEm]
[FEm]
[SEm]
[SEp]
(84)