Transcript Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T DEL 1

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T
DEL 1
OPPGAVE 1
2
a1) Skriv så enkelt som mulig x − 9
2x + 6
Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi:
x 2 − 9 = x − 3x + 3 = x − 3
2x + 6
2
2x + 3
x−3
2
4a 4 b −2 4ab 2  −3
a2)
ab −4
4 −2 −3 −3 −6
4a 4 b −2 4ab 2  −3
= 4a b 4 −4a b = 4 1−3 ⋅ a 4−3−1 ⋅ b −2−6−−4 = 4 −2 ⋅ a 0 ⋅ b −4 = 16b1 4
−4
ab
ab
1
16b 4
a3) a ⋅ 3 a 2 ⋅ 6 a 5
1
2
5
1 2 5
a ⋅ 3 a2 ⋅ 6 a5 = a 2 ⋅ a 3 ⋅ a 6 = a 2 + 3 + 6 = a2
a2
b1) 7 3x−1 = 1
a 0 = 1 er en definisjon. Det betyr at 3x − 1 = 0  x =
x = 13
1
3
b2) 3 lg x 2 = 18
3 lg x 2 = 18
3 ⋅ 2 lg x = 18
lg x = 3
x = 10 3 = 1000
Siden vi skal finne logaritmen til x 2 vil også x = −1000 være en løsning
x = 1000 ∨ x = −1000
b3) lg2x + 10 = 2
lg2x + 10 = 2
10 lg2x+10 = 10 2
2x + 10 = 100
x = 90 = 45
2
x = 45
c) Løs ulikheten x 2 − 5x ≥ 0
Faktoriserer og ser på fortegn
x 2 − 5x = xx − 5
〈←, 0〉 0 〈0, 5〉 5 〈5, →〉
x
x−5
-
0 +
+ +
-
-
-
0 +
0 -
0 +
x − 5x +
2
Side 1 av 6
x 2 − 5x ≥ 0 når x ∈ 〈←, 0 ∪ 5, →〉
d) I en trekant er tan v =
3
4
. Tegn trekanten og sett mål på sidene.
e) Løs likningssettet
I −x + y = −1
II 2x + y = 10
Ved regning
Addisjonsmetoden
I - II : −3x = −11  x = 113
y = −1 + 113 = 83
Innsettingsmetoden
I y = x − 1 Setter inn i II: 2x + x − 1 = 10  x =
y = −1 + 113 = 83
11
3
Grafisk
Iy = x−1
II y = −2x + 10
y 10
8
6
4
2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2
-4
x=
11
3
∧y =
8
3
f) En sekk inneholder 7 tennisballer, 4 røde og 3 blå.
f1) Du trekker en ball tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke en rød ball?
I denne oppgaven må vi bruke brøken
antall gunstige
antall mulige
som sannsynlighet.
R - trekke en rød ball
Side 2 av 6
PR = 47
Sannsynligheten er
4
7
f2) Du trekker 3 baller fra de 7 ballene. Hva er sannsynligheten for å få først to
røde, så en blå?
PR ∩ R ∩ B = 47 ⋅ 36 ⋅ 35 = 356
Sannsynligheten er 356
Oppgave 2
Figuren under viser grafene til to funksjoner fx og gx.
Grafene til f og g
′
Velg et alternativ til f x
a) Finn f1
Leser av på grafen at den går gjennom punktet 1, 5 . Det betyr at f1 = 5
b) Bruk figuren og løs likninga fx = gx grafisk.
Leser av skjæringspunktene og ser at fx = gx når x = 0 ∨ x = −5
x = 0 ∨ x = −5
c) Finn nullpunktene til fx
Leser av x = 0 ∨ x = −4
Nullpunkt når x = 0 ∨ x = −4
′
d) Skisser grafen til g x
Stigningstallet til gx er −1 uansett x-verdi. Den er en lineær funksjon som har samme
vekst for alle verdier av x. Det betyr at g´x = −1 og kan tegnes inn som ei horisontal linje
gjennom y = −1
′
e) En av de fem alternativene i figuren ved siden av er f x. Hvilken? Begrunn
svaret ditt ut fra grafene.
fx synker fram mot x = −2. Der har den et nullpunkt og stiger etter det. Bare en graf er
under x-aksen for alle x < −2, har nullpunkt for x = −2, og er positiv for x > −2. Det er
graf 4
f) Finn likninga til fx
Nullpunktene til fx er x = −4 ∨ x = 0. Da kan fx skrives som
ax + 4x − 0 = ax 2 + 4ax
Vi kan se at bunnpunktet er −2, −4. Da finner vi a
−4 = a ⋅ −4  a = 1
Side 3 av 6
Da har vi at fx = x 2 + 4x
fx = x 2 + 4x
En funksjon er gitt ved hx = −x 2 − x + 2
g) Finn nullpunktene til funksjonen.
hx = 0
−−1 ± 1 2 − 4 ⋅ −1 ⋅ 2
−b ± b 2 − 4ac
x=
=
= 1±3
2a
−2
2−1
1
+
3
x1 =
= −2
−2
x2 = 1 − 3 = 1
−2
Nullpunkt når x = 1 ∨ x = −2
h) Finn eventuelle topp- eller bunnpunkt til funksjonen.
-5
-4
-3
-2
-1 y
2
1
2
3
4
x
5
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
-22
-24
-26
-28
Først finner vi den deriverte: h´x = −2x − 1
Så for hvilke x-verdier den deriverte er lik null
h´x = 0  −2x − 1 = 0  x = − 12
Siden det er en en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vet vi at det er en
parabel med den hule sida nedover. Da har grafen et toppunkt med y-verdi:
h− 12  = −− 12  2 − − 12  + 2 = 94
Toppunkt − 12 , 94
i) Bestem likningen for tangenten i punktet −1, h−1
Tangenten er ei rett linje og likninga er derfor på formen y = ax + b
Stigningstallet, a, finner vi ved at a = h ′ −1 = 1
Nå gjelder det å finne b. Vi vet at den rette linja må gå gjennom punktet
−1, h−1 = −1, 2
Da kan vi bestemme konstantleddet, b
y = x+b
2 = −1 + b
b=3
Likninga til tangenten: y = x + 3
DEL2
Side 4 av 6
Oppgave 3
I et biologiforsøk ble 200 frø fra en erteplante undersøkt. Frøene kan være gule eller røde.
En annen egenskap til frøene er at overflaten kan være glatt eller rynket. Forsøk har vist at
at fargen på frøene og overflaten til frøene er uavhengig av hverandre. Etter opptelling
kom elevene fram til denne tabellen.
Gule Røde
Glatte
72
28
Rynkete 21
79
Vi definerer disse hendelsene:
U - frøet er gult
G - frøet er glatt
N - frøet er rødt
R - frøet er rynket
a1) Vi trekker tilfeldig ett frø. Forklar hva symbolene betyr og finn
sannsynlighetene under PU ∩ R
PU ∩ R - sannsynligheten for å trekke et frø som er gult og samtidig rynket
I oppgavene er det lurt å bruke en utvida tabell hvor summene er tatt med
Gule Røde Sum
Glatte
PU ∩ R =
72
28
100
Rynkete 21
79
100
Sum
107
200
93
21
200
a2) PN ∣ G
PN ∣ G - sannsynligheten for å trekke et frø som er rødt blant de som er glatte
28
PN ∣ G = 100
= 257
a3) PN ∪ R
PN ∪ R - sannsynligheten for å trekke et frø som er rødt eller et frø som er rynket
Antallet som enten er røde eller rynkete er: 107 + 21 = 128
Denne oppgaven kan vi også løse ved å regne ut:
79
PN ∪ R = PN + PR − PU ∩ R = 107
+ 100
− 200
= 16
200
200
25
Det enkleste er å lese av!
PN ∪ R = 128
= 16
200
25
Videre i oppgaven går vi ut fra at sannsynligheten er
Vi har 10 erteplanter fra et slikt krysningsforsøk.
3
4
for at en erteplante vil få gule frø.
b) Hva er sannsynligheten for at alle erteplantene har gule frø?
I alle deloppgavene som følger er det et binomisk forsøk hvor vi kan finne sannsynligheten
ut fra formelen: PX = x = nx ⋅p x ⋅1 − p n−x . I den første oppgaven kan vi klare oss uten
10
59 049
formelen. Sannsynligheten blir 34
= 1048
= 5. 631 4 × 10 −2
576
Sannsynligheten er 0. 056
c) Hva er sannsynligheten for at 8 av erteplantene har gule frø?
8
295 245
PX = 8 = 10 ⋅ 34
⋅ 1 − 34  10−8 = 1048
= 0. 281 57
576
8
Sannsynligheten er 0. 282
d) Hva er sannsynligheten for at minst 8 av erteplantene har gule frø?
PX > 8 = PX = 8 + PX = 9 + PX = 10
9
98 415
PX = 9 = 10 ⋅ 34
⋅ 1 − 34  10−9 = 524
= 0. 187 71
288
9
10
PX = 10 = 34
Side 5 av 6
PX > 8 = 0. 281 57 + 0. 187 71 + 5. 631 4 × 10 −2 = 0. 525 59
Alternativt kunne vi brukt: 1 - binomcdf(10,3/4,7)
Sannsynligheten er 0. 526
Krysningsforsøket viser at sannsynligheten er 14 for at en erteplante vil få rynkete frø.
e) Hva er sannsynligheten for at 6 av de 10 erteplantene har frø som er gule og har
glatt overflate?
Sannsynligheten for at frøet er gult er PU = 34
Sannsynligheten for at det har glatt overflate er PG = 1 − 14 = 34
PU ∩ G = 34 ⋅ 34 = 169
Sannsynligheten for at 6 av de 10 har gule og rynkete frø:
6
PX = 6 = 10 ⋅ 169
⋅ 1 − 169  10−6 = 0. 243 71
6
Sannsynligheten er 0. 244
Oppgave 4
I et kvadrat med side 10 m er det innskrevet et rektangel (se figuren under).
a) Vis at arealet av rektanglet kan skrives som : ax = 20x − 2x 2
En måte å vise dette på er å se på areal av hele kvadratet. Arealet av det innskrevne
rektanglet kan vi da finne ved å trekke arealene av trekantene i hjørnene fra arealet av hele
kvadratet.
De to minste trekantene har arealet 12 ⋅ x ⋅ x + 12 ⋅ x ⋅ x = x 2
De største trekantene har arealet 12 ⋅ 10 − x ⋅ 10 − x + 12 ⋅ 10 − x ⋅ 10 − x =
x − 10 2
Hele kvadratet har arealet 10 2 = 100
Arealet som blir igjen er rektanglets areal: 100 − x 2 − x − 10 2 = 100 − x 2 − x − 10 2 =
20x − 2x 2
Et annet alternativ er å regne ut bredden og lengden av det innskrevne rektanglet ved å
bruke pythagorassetningen.
Bredden blir da: 2x 2 = 2 ⋅ x
Lengden: 210 − x 2 = 2 ⋅ 10 − x
Arealet: lengde x bredde = 2 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ 10 − x 2 = 2 ⋅ x ⋅ 10 − x = 20x − 2x 2
b) Finn definisjonsmengden til x.
Kan x bli større enn halve sida i kvadratet? Dette kan diskuteres! Enten er
definisjonemengden D a = 〈0, 5 eller så er D a = 〈0, 10
Side 6 av 6
Jeg vil si det første, men naturligvis godkjennes det andre alternativet også. Det som skjer
da er at et "nytt" rektangel tegnes opp når x > 5. Sjekk ut i Nspire hva som skjer.
Definisjonsmengden D a = 〈0, 5
c) For hvilken verdi av x er arealet blir størst?
Det største arealet kan vi finne på flere måter. Enten grafisk eller ved å benytte den
deriverte funksjonen.
y
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
x
Ved regning
Vi finner den deriverte: a ′ x = 20 − 4x
Så må vi løse likninga a ′ x = 0. I dette tilfellet ser vi at x = 5
Bruker vi Nspire kan vi skrive solve(derivative(20x-x^2,x)=0,x)
Grafisk
tegn grafen og be om å få toppunktet
Svaret skal bli:
Det største arealet har vi når x = 5
d) Hvor stort blir arealet da?
Vi må sette inn i uttrykket for arealet: a5 = 50
Det største arealet er 50 m 2
e) Tegn en figur og sett mål på det største rektanglet
f) Ta utgangspunkt i et kvadrat med side s. Forklar, og begrunn, hvordan det
største innskrevne rektanglet vil se ut
Vi må gjøre det samme som vi har gjort, men denne gangen må vi ta utgangspunkt i at sida
har lengde s
Først finner vi et nytt uttrykk for arealet: ax = s 2 − x 2 − s − x 2 = 2xs − x = 2sx − 2x 2
Vi finner den deriverte: a ′ x = 2s − 4x og finner nå den deriverte er lik null
a ′ x = 0
2s − 4x = 0
x= s
2
Arealet vil alltid være størst når det innskrevne rektanglet er et kvadrat med hjørner i
midtpunktet på sidene i det omskrevne kvadratet.
Oppgave 5
En 12-mannslavvo består av en 3,2 m lang teltstang og en teltduk som er sydd sammen av
12 like trekantete biter. Figurene under viser lavvoen sett rett ovenfra og rett fra sida.
Side 7 av 6
Punktene A, B og C er de samme i begge figurene. C er toppunktet på lavvoen.
Ovenfra
Fra sida
a) Beregn lengden av sidekanten s i lavvoen og vinkelen mellom sidekanten og
underlaget.
Stanga antar vi står midt i lavvoen. Da kan vi benytte Pythagoras sin setning for å finne s
s2 =
2
5.2
2
+ 3. 2 2  s =
5.2
2
2
+ 3. 2 2 = 4. 123 1
Sidekanten er s = 4. 1 m
Vinkelen kan vi finne ved å bruke tangens
tan v = 3.2
 v = 50. 906 °
5.2
2
Vinkelen er 51°
b) Forklar hvorfor arealet av hver av de trekantete bitene er gitt ved
A = 12 ⋅ s 2 ⋅ sin 30 °
°
Det er 12 trekanter. Vinkelen i toppen vil være 360
= 30 °
12
1
Bruker vi arealsetningen finner vi arealet ved A = 2 ⋅ s ⋅ s ⋅ sin 30 °
c) Hvor stor er omkretsen av lavvoen på bakken?
Hver av flakene er likebeinte trekanter. Vi kan bruke cosinussetningen for å finne lengden
av grunnlinja, g , i trekanten
g 2 = s 2 + s 2 − 2 ⋅ s ⋅ s cos 30 °
g = 4. 123 1 2 + 4. 123 1 2 − 2 ⋅ 4. 123 1 2 ⋅ cos 30 ° = 2. 134 3
12 ⋅ 2. 134 3 = 25. 612
Omkretsen er 25.6 m
Som inngang til lavvoen blir en av trekantbitene løsnet og løftet opp og festet til en stolpe.
Stolpen er 1,8 m høy og settes vinkelrett opp fra punktet P. Se figuren under.
Side 8 av 6
d) Vis at vinkel ACD = 31°dersom trekantbiten (DC) skal være stram.
Først finner vi vinkel ∠ECD
CF
CF
cos ∠ECD = DC
 ∠ECD = arccos DC
 = arccos 3.2−1.8
 = 70. 033 °
4.1
∠ACE = 90 ° − 51 ° = 39 °
∠ACD = ∠ECD − ∠ACE = 70 ° − 39 ° = 31 °
e) Hvor langt fra A må stolpen plasseres?
Finner AD ved å bruke cosinussetningen: AD 2 = s 2 + s 2 − 2 ⋅ s 2 cos A
AD = 4. 1 2 + 4. 1 2 − 2 ⋅ 4. 1 2 ⋅ cos 31 ° = 2. 191 4
AP 2 + DP 2 = AD 2  AP = AD 2 − DP 2 = 2. 1914 2 − 1. 8 2 = 1. 249 9
Stolpen må plasseres 1.3 m fra A
På ettermiddagen står sola 15° over horisonten og skinner rett inn mot åpningen av lavvoen
f) Hvor langt opp fra A på sidekanten av lavvoen kan solstrålene nå?
∠FDC = 90 ° − ∠ECD = 90 ° − 70 ° = 20 °
∠GDC = 15 ° + ∠FDC = 15 ° + 20 ° = 35 °
∠DGC + ∠ACD + ∠GDC = 180 °  ∠DGC = 180 ° − ∠GDC − ∠ACD = 180 ° −
35 ° − 31 ° = 114 °
Bruker sinussetningen
DC
GC
DC
= sin ∠GDC
 GC = sin ∠GDC ⋅ sin ∠DGC
= sin 35 ° ⋅ sin4.1
= 2. 574 2
sin ∠DGC
114 °
AG = AC − GC = 4. 1 − 2. 574 = 1. 526
Solstrålen vil nå 1.5 m opp på lavvoen
Oppgave 6
I vinter gikk det en meget smittsom magesykdom. Antall personer som smittes øker
eksponentielt og kan beskrives av en eksponentialfunksjon på formen nx = a ⋅ b x
a) Ved nyttårsskiften var det registrert 109 til feller av smitte og etter tre uker var
det registrert 211 tilfeller. Vis at antall personer som er smitta x uker etter nyttår
kan beskrives av funksjonen: nx = 109 ⋅ 1. 2463 x
Det betyr at vi må sette x = 0 ved nyttårsskiftet og får at n0 = 109. Det stemmer bra.
I opplysningene ser vi også at n3 = 211. Det gir oss denne likninga
109 ⋅ b 3 = 211
b=
3
211 = 1. 246 3
109
b) Hvor mange personer er smitta etter 5 uker?
Etter fem uker er x = 5 og vi finner antall smitta ved n5 = 327. 75
327 personer er smitta etter fem uker
c) Hvor lang tid tar det før 300 personer et smitta? Finn svaret ved regning og
grafisk
Likninga vi må løse er nx = 300
Side 9 av 6
Ved regning
109 ⋅ 1. 2463 x = 300
1. 2463 x = 300
109
lg 300
109
x=
= 4. 598 2
lg 1. 2463
Alternativt kan vi bruke Nspire og solve(109⋅1.2463 x =300,x). Det er også godkjent på del
2 til eksamen.
Grafisk
y
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Leser av skjæringspunktet
300 personer vil være smitta etter 4.6 uker (eller i løpet av den femte uka)
Side 10 av 6