MathéMatiques Lycée ibn abi Dhiaf Manouba Zhioua KhaLeD

4 t

5 JeuDi 17 -04 2014 °03

2heures

Exercice 1: ( 3 pts )

La courbe ζ représente, dans un repère orthonormé (O, 𝚤⃗ , 𝚥⃗ ) une fonction f définie continue sur ¡ Répondre Par vrai ou faux 4 1/ ∫ − 1 2/ 4 < 2 ∫ − 2 − < 3/ 3 5 ∫ 4/ On désigne par f la valeur moyenne de f sur on a alors : .

Exercice 2 : ( 6 pts )

Un magasin vend trois types de calculatrices. 25% des calculatrices sont de marque Sharp.35% des calculatrices sont de marque Casio et 40% des calculatrices sont de marque TI (Texas instruments). 20% des calculatrices de marque Sharp sont programmables. 60% des calculatrices de marque Casio sont programmables et 75% des calculatrices de marque TI sont programmables La marque de la calculatrice n’apparait pas sur l’emballage. On choisit une calculatrice au hasard. On note S : « la calculatrice choisie est de marque Sharp » C : « la calculatrice choisie est de marque Casio » T : « la calculatrice choisie est de marque TI » A : « la calculatrice choisie est programmable » 1 a) Calculer les probabilités de chacun des événements suivants : 𝐴 ∩ 𝑆 , 𝐴 ∩ 𝐶 𝑒𝑡 𝐴 ∩ 𝑇 b) En déduire que 𝑃 ( 𝐴 ) = 0,56 2 Sachant que la calculatrice est programmable, calculer la probabilité quelle soit de marque Sharp. 3 On considère un lot de 10 calculatrices. Soit X l’aléa numérique qui prend pour valeurs le nombre de calculatrices programmables. a) b) c) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique de la variable de X. Calculer la probabilité de l’événement E : « Avoir au plus 9 calculatrices programmable ».

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Exercice 3 : ( 5 pts )

L’espace est rapporté d’un repère orthonormé direct (O, 𝚤⃗ , 𝚥⃗ , 𝑘�⃗ ) . On donne les points − 1- a) Déterminer 𝐴𝐵 𝐴𝐶 . Déduire que les points A, B et C détermine un plan P. b) Vérifier qu’une équation de P est + + − = 2- Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que : x 2 + y 2 + z 2 − Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R Montrer que S P est le cercle circonscrit au triangle ABC 3- a) Calculer le volume du tétraèdre IABC b) Soit α ∈ ¡ α − α ) un point de l’espace Montrer que, lorsque α décrit ¡ , le volume du tétraèdre MABC reste constant.

Exercice 4: (6pts)

Soit la fonction définie sur [0, +

∞

[ par ( 𝑥 ) = ( 𝑒 −𝑥 − 1) 2 . On désigne par ( C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( 𝑜 , 𝚤⃗ , 𝚥⃗ ) du plan ( Unité : 2cm). . 1 a) b) c) a) Montrer que pour tout Montrer que 𝐼 ( 𝑙𝑛 2, 1 4 𝑥 Vérifier que pour tout 𝑥 ∈ ∈ [0, +

∞

[ , 𝑓

′

( 𝑥 ) = 2 𝑒 −𝑥 (1 − 𝑒 −𝑥 ) [0, +

∞

[ , Dresser le tableau de variation de 𝑓 . 𝑓

′

( 𝑥 ) ≥ 0 où f’ désigne la fonction dérivée de ) est un point d’inflexion pour ( C) . 𝑓 . 2 a) Tracer ( C ). b) Calculer , en cm 2 ,l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe ( C ) et les droites d’équations respectives 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑥 = 1 . 3 b) c) a) Montrer que 𝑓 réalise une bijection de [0, +

∞

[ sur un intervalle J que l’on précisera .

Tracer dans le même repère la courbe ( C’ ) de la fonction réciproque 𝑓 −1 de 𝑓 .

Déduire en cm 2 ,l’aire A ’ de la partie du plan limitée par la courbe ( C ) et ( C’) et les droites d’équations respectives 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑦 = 1 .

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