Transcript Electrostatique - MP*1

MP*1- 2014/2015
Electrostatique
Champs et potentiels électrostatiques :
1) Etude de lignes de champ :
On considère la carte de lignes de champs suivante : on note
plus petite des charges. Les charges sont situées dans
ce plan et elles sont tous multiples entiers de q. Pour
chaque charge, au moins une ligne de champ lui
correspondant est tracée. Dans le plan que l’on munit
d’un repère, on note :
(
)
( ) (
)
(
) où
est une unité arbitraire de longueur.
Donner
1) Les points du plan où sont situées les charges.
2) Le signe des charges et leurs valeurs.
la valeur absolue de la
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées
pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer
y
A
leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est
D
B
possible de piéger une charge ponctuelle
avec quatre
O
x
charges ponctuelles
disposées aux sommets d’un carré
C
de côté . Les quatre charges identiques sont situées dans le
plan
, aux sommets d'un carré, aux points (
)
(
)(
) et (
) La charge de masse se déplace au voisinage de O.
1) Exprimer le potentiel électrostatique (
) au voisinage de O.
2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge peut se mouvoir
dans tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge q’ si elle est contrainte à se déplacer dans le
plan
uniquement ?
Les pièges de Paul et de Penning sont les plus usités actuellement. Ils ont en commun
l'utilisation d'un champ électrique quadripolaire, à haute fréquence (de l'ordre de quelques
MHz) dans le piège de Paul, et constant dans le piège de Penning, où il est combiné à un
champ magnétique intense (de l'ordre de 5 teslas). La mise en œuvre des pièges à ions dans le
domaine de la spectroscopie atomique de précision a valu à Hans Dehmelt (avec le piège de
Penning) et à Wolfgang Paul (avec le piège portant son nom) le prix Nobel de physique en
1989.
3) Mesure de la densité de la Terre :
En 1772, Nevil Maskelyne suggère à la Royal Society une expérience pour déterminer
la densité de la Terre. La gravité due à la présence d'une masse montagneuse doit dévier un fil
à plomb mais il conclut que les mesures à faire demandaient une précision inaccessible à
l'époque.
Est-ce mesurable actuellement ? Proposer un protocole pour effectuer cette mesure et
modéliser le problème. La Terre étant considérée comme un astre à symétrie sphérique, de
densité
.
On donne
et
.
4) Particules solaires traversant un nuage chargé :
Pour modéliser un nuage, on considère une couche fine, chargée avec une densité
volumique de charge
et comprise entre les plans
et
.
1) Etablir le champ et le potentiel créés en tout point de l’espace par cette couche
chargée.
2) Une particule , de charge –e et de masse
pénètre dans le nuage en
avec une vitesse pratiquement nulle. Quelle est le mouvement de cette particule ?
3) Une particule de charge
et de masse
, pénètre dans le nuage en
avec une vitesse ⃗
⃗⃗ . On supposera la vitesse initiale assez grande pour que la particule
traverse la couche. Etablir la loi ( ) pour
. Quel est le mouvement de la
particule à la sortie de la couche ?
5) Remplir un récipient de gouttes chargées :
On réalise l’expérience suivante :
Le réservoir est sphérique, de rayon , formé d’un
conducteur parfait et percé d’une petite ouverture
au sommet. Les gouttes d’eau sont des boules de
rayon r, portées au potentiel . On suppose que
Réserve d’eau portée au potentiel 𝑉𝑜
h
gouttes
réservoir
1) Quelle est la charge d’une goutte quand
elle quitte le robinet ?
2) Que se passe-t-il ?
3) Quelle est la valeur minimale
de pour que le réservoir se remplisse
totalement.
4) Si
quelle est la position d’équilibre d’une goutte, le réservoir étant rempli
au possible ?
6) Couche de glissement :
On se propose d'étudier une répartition surfacique de charges    o cos  avec
 
M
  (Ox, OM ) sur une sphère de rayon R.
1) Pour étudier une telle distribution, nous allons d'abord
O
montrer l'équivalence avec la distribution ci-dessus:
x
𝑂 𝑂
Deux boules de rayon R, de centres
et
,
uniformément chargés en volume, l'un avec la densité volumique
, l'autre avec la densité volumique
, ont leurs centres suivant l’axe
et distants de a
(
) Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique de type
.
2) En déduire le champ électrostatique à l'intérieur et à l'extérieur de la boule chargée
.
7) La Terre pulvérisée :
La Terre (
) est attaquée par l’Empire avec une arme
de destruction massive (étoile de la mort) qui la brise en
huit petites sphères de même taille.
Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie
minimale E de l’arme employée ? Les Terriens possèdentils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H est
de l’ordre de
.
Dipôle électrostatique
8) Interaction de Keesom :
Une molécule, de moment dipolaire ⃗ est situé en O et est dirigé selon
. Une
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) et 
seconde molécule, de moment dipolaire ⃗ est situé en P. On note  l’angle (
l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ).
1) Dans cette question, la distance
entre les deux molécules est supposée
constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle ⃗ dans le champ créé par le dipôle ⃗ :
⃗ ⃗⃗ .
2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?
Les interactions électrostatiques attractives ou répulsives entre deux multipôles
permanents selon leurs orientations (effets d'orientation) sont appelées les forces de Keesom.
Cette interaction fait partie des interactions de Van der Waals qui modélisent les
interactions des liquides et des gaz.
9) Interaction de Debye :
A l’origine est placée une molécule d’eau
de moment dipolaire ⃗
⃗⃗ et
au point M de coordonnées (
) une molécule non polaire par exemple de dioxygène .
Cette molécule a une polarisibilité ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique ⃗⃗
⃗⃗ .
elle acquiert un moment dipolaire induit : ⃗
Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre
les molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable.
Les forces de Debye sont les forces intermoléculaires résultants de l'interaction entre
un multipôle permanent et un multipôle induit. Elles font partie des forces de Van der Waals
où elles expriment l'effet d'induction. Deux cas peuvent être envisagés selon que le dipôle
induit est produit dans une molécule polaire ou apolaire.Il existe une troisième interaction de
Van der Waals, l’interaction de London entre deux multipôles induits (effets de dispersion).
Cette interaction est d’origine quantique.
10) Etude de la molécule de CO2 :
On considère la molécule de
:
, modélisée par la distribution de charges
suivantes :
-q
2q
-q
1) Sans calcul, dessinez l’allure des équipotentielles et des
a
a
lignes de champ pour l’ensemble de la molécule.
Les équipotentielles peuvent-elles se couper ?
2) Sans calcul quels sont les expressions possibles pour le potentiel ?
a)
; b)
(
) ; c)
; d)
(
) ; e)
(
) ; g)
(
Par le calcul déterminer A.
) ; h)
.
; f)
3) Donner les composantes du champ électrostatique loin de la molécule. Montrer que
le théorème de Gauss est vérifié.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle
On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge Q dans


le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire p  p.u x , placé en
O. On donne les conditions initiales suivantes :
r (0)  ro ; (0)  0; r(0)  0; r (0).(0)  vo  0
1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera
E l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le
signe de E.
2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur
de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de

d
.
I  2
0
cos 
12) Action d'une charge ponctuelle sur un dipôle:
Une molécule d’eau, de moment dipolaire est ⃗ est située à l'origine des coordonnées
en O. Un ion, modélisé par une charge ponctuelle Q est en M, à une distance r de la molécule
d’eau.
1) Calculer la force et le moment des actions exercées par
le dipôle sur la charge Q.
2) Calculer la force et le moment des actions exercées par
la charge Q sur le dipôle.
3) Conclure.
M
𝜃
O
𝑝⃗
13) Nappe de dipôle en forme de disque :
Un disque porte, répartis uniformément sur sa surface, des dipôles dont les moments
électriques lui sont orthogonaux.
Calculer le champ électrostatique en un point de l’axe de révolution du disque,
d’abscisse , sous lequel on voit le disque d’un demi-angle .
Indications
1) Etude de lignes de champ :
L’étude des lignes de champ montre que point est un point de champ nul ; il n’y a que trois
charges : en et en une charge positive et en une charge négative ; exploiter le champ
nul en .
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en ; plusieurs méthodes pour
calculer le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant
, soit en
faisant directement un DL de (
) et en exploitant les symétries du problème et
l’équation de Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le
plan
et sur l’axe des ; 4) montrer que si
est de même signe que elle a un
mouvement elliptique.
3) Mesure de la densité de la Terre :
On modélise la montagne de hauteur par une hémisphérique de masse volumique , et on
place le pendule au pied de la montagne ; il dévie d’un angle par rapport à la verticale ; on
suppose que seule la composante horizontale du champ de gravitation est perturbée par la
montagne ; pour estimer le champ créé par la montagne calculer le champ créé par une boule
et diviser le par deux.
4) Particules solaires traversant un nuage chargé :
1) Il faut mieux calculer le champ électrostatique en premier ; utiliser les symétries et le
théorème de Gauss par exemple ; poser (
)
; 2) la particule
va avoir un
mouvement oscillant et ne sortira jamais du nuage ; 3) comme le potentiel est pair, la particule
ressort du nuage avec sa vitesse initiale et une accélération constante puisque le champ
électrostatique extérieur est uniforme.
5) Remplir un récipient chargé :
1) Chaque goutte est une boule chargée de potentiel
; retrouver la relation entre le
potentiel d’une boule chargée en volume et sa charge ; 2) le réservoir se charge ; 3) calculer
combien de gouttes sont nécessaires pour remplir le réservoir et la charge du réservoir
plein ; la goutte (
) doit arriver à l’ouverture du réservoir avec une vitesse nulle ; 4) dans
un premier temps les gouttes tombent dans le réservoir en subissant la force électrique du
réservoir et leur poids ; puis pour
, la goutte reste en équilibre.
6) Couche de glissement :
1) Ecrire que
et calculer
en faisant des approximations ; 2)
Calculer le champ et le potentiel créé par une boule chargée en surface et appliquer la
modélisation ; pour le champ extérieur, il est plus simple de passer par le potentiel avec
.
7) La Terre pulvérisée :
Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer
son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère.
8) Interaction de Keesom :
2) Les positions d’équilibre doivent vérifier :
.
9) Polarisation d’un atome d’hydrogène :
Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit
placé en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit.
10) Etude de la molécule de CO2 :
1) Les lignes de champs sont dirigées vers les charges négatives et s’éloignent de la charge
positive ; 2) il ne faut faire aucun calcul mais s’aider du tracé des équipotentielles de la
question précédentes ; comme le champ du dipôle est en
, on peut prévoir que le champ
du quadripôle sera en
; 3) appliquer le théorème de Gauss à une sphère centrée en , de
rayon .
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie
cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme r 2 dans la composante radiale de
l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents
mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est
circulaire. A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer  2 en fonction de  et intégrer
pour trouver la période.
12)Action d'une charge ponctuelle sur un dipôle:
2) Deux méthodes : soit appliquer la formule ⃗ ⃗⃗
( ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗
( ) mais il faut
absolument travailler en coordonnées cartésiennes, soit calculer l’énergie potentielle du dipôle
dans un champ extérieur et en déduire la force.
13) Nappe de dipôle en forme de disque :
Montrer par des considérations de symétrie que le champ électrique est suivant l’axe des .
Introduire une densité surfacique de moment dipolaire ⃗
⃗⃗ et calculer le champ sur
l’axe créé par de dipôle élémentaire.
Solutions
1) Etude de lignes de champ :
( )
( ) et ( )
( ).
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
)
1) (
(
) ; 2) ⃗⃗
(
⃗⃗
(
l’énergie potentielle de la charge q’ est :
avoir
;4) dans le plan
̈
(√
⃗⃗ ) ;
) ; on ne peut jamais
les équations du mouvements sont :
les solutions sont ( )
; si
⃗⃗
̈
;
) et ( )
(√
) ; la trajectoire est une ellipse dans le plan
.
3) Mesure de la densité de la Terre :
est la masse volumique de la Terre,
C’est difficilement mesurable.
4) Particules solaires traversant un nuage chargé :
⃗⃗ ( )
( )
1)
⃗⃗
;
⃗⃗ ( )
vérifie : ̈
la particule
( )
⃗⃗
( )
;
; dans le nuage l’abscisse ( ) de la particule
; ( )
dans le nuage ( )
nuage ( )
avec
( )
⃗⃗
⃗⃗ ( )
(
)
(
(√
)
√
(√
) ; elle ne sortira jamais du nuage ; 3) pour
(√
)
)
(√
√
) puis à la sortie du
,
(√
).
5) Remplir un récipient chargé :
1)
; 2) le réservoir se charge ; 3) Quand le réservoir est chargé il contient
gouttes et crée un potentiel
réservoir est rempli
l’équilibre pour la
(
goutte,
( )
;
)
; 4) si
( )
soit
(
)
.
(
)
et
, quand le
( )
(
)
; à
6) Couche de glissement :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1)  o  a ; 2) ⃗⃗
; ⃗⃗
(
)
(
⃗⃗ ) on trouve le
⃗⃗
champ d’une distribution dipolaire.
7) La Terre pulvérisée :
; l’énergie d’une bombe H a une énergie de l’ordre de
; une
hypothèse émise par les physiciens fans de star wars est d’utiliser l’énergie d’un trou noir.
8) Interaction de Keesom :
(
) ; 2) les positions d’équilibres stables sont :
1)
( )(
)(
)(
);
) (
) ; les positions d’équilibres instables sont (
on remarque que dans les positions stables, le dipôle 2 est aligné sur les lignes de champs du
dipôle 1 et réciproquement ; 3) Pour la position stable ( ),
.
9) Interaction de Debye :
La force est attractive ; ⃗
⃗⃗ .
10) Etude de la molécule de
:
2) par déduction le potentiel est du type :
((
⃗⃗ ) ; ∯ ⃗⃗ ⃗⃗
) ⃗⃗
(
)
∫
(
)
(
; 3) ⃗⃗
)
.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
2E
2 Et 2
1) r.r  r 2 
; r 2  ro2 
; si E > 0, r est une fonction croissante de t, si E < 0, r est
m
m
une fonction décroissante de r et si E = 0, r est une constante donc le mouvement est
4 Iro
circulaire. 2) T 
.
vo
12)Action d'une charge ponctuelle sur un dipôle:
⃗⃗ ( )
1) ⃗
(
⃗⃗
⃗⃗ ) ; 2) il faut bien sûr trouver
⃗
(
⃗⃗
13) Nappe de dipôle en forme de disque :
Ez 

cos  . sin 2  .
2 o z
⃗⃗ )