Transcript Chap3_ Transitoires

Chapitre 3
Régimes transitoires
I – Condensateurs – Le dipôle RC.
II – Inductances – Le dipôle RL.
III – Le dipôle LC .
IV – Le dipôle RLC .
1
chapitre 3
Régimes quasi stationnaires:
définitions
Définition: « régime quasi stationnaire »
Quand l’intensité dans un circuit varie relativement lentement, on
utilise l’approximation des régimes dits « quasi stationnaires » ou
« lentement variables », valable pour des fréquences allant jusqu’à
plusieurs MHz :
On ne tient pas compte du temps de propagation à l'intérieur du circuit.
Pour des fréquences plus grandes (quelques GHz) on doit tenir
compte du temps de propagation du signal entre les différents points
du circuit.
Le phénomène de propagation dans le circuit est négligeable si la
longueur du circuit est très inférieure à cT.
(c = 30 cm/ns, T = période).
Par exemple pour un ordinateur 2GHz, cT=15cm. on ne peut pas utiliser
l'approximation quasi stationnaire, il faut tenir compte du temps de propagation des
signaux entre les différents éléments du circuit.
2
chapitre 3
Régimes quasi stationnaires:
définitions
Continuité :
u(t)
la tension u(t) ne peut
présenter de discontinuité
jamais
Physiquement
impossible
Situation physiquement
possible
t
3
1- Condensateurs, Le dipôle RC
q(t) = C u(t)
dq
i
dt
4
chapitre 3
1- Condensateurs:
définitions
A
i(t)
Armatures
portant les
charges
électriques
Charge et tension en
régime continu:
U ne varie pas,
Q est constant,
i = 0 (=isolant)
Q
U = VA  VB =
C
Q = C.U
+++++++

dq
i
dt
q(t)
diélectrique
= isolant
Charge et tension en
B
régime variable:
i est différent de 0
mais valeur
moyenne de i = zéro
q(t)
u(t) = VA-VB =
C
q(t) = C.u(t)
5
chapitre 3
1- Condensateurs: définitions
dans ce cas i apporte
des charges positives
Les électrons sont chargés
négativement.
A
Les charges électriques sont
localisées à la surface des
conducteurs
L'énergie est localisée
B
dans le diélectrique
q augmente dq/dt est
i(t)
positif
électrode chargée positivement =
q(t)
manque d'électrons.
+++++++
U

diélectrique
électrode chargée négativement =
= isolant
excès d'électrons.
Orientation du courant = sens de
déplacement des charges positives
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1- Condensateurs: Orientation et signes
chapitre 3
i(t)
i(t)
++++++
   
u(t)
Charge du condensateur:
Convention récepteur
q
i
i (t )  C
dq
dt
du ( t )
dt
++++++
   
u(t)
Décharge du condensateur:
Convention générateur
q
i
dq
dt
du ( t )
i (t )  C
dt
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1- Le dipôle RC: Charge du condensateur
chapitre 3
Alimentation par source de tension parfaite
R
k
U
i(t)
q(t)
R.i
u(t)
C
à l'instant t=0 le condensateur
est déchargé u(0)=0, et q(0)=0.
on ferme l'interrupteur k et le
courant commence à passer.
Analyse du circuit:
Le circuit ne comporte qu'une seule maille.
U = R.i + u(t).
Dans ce cas le condensateur est le récepteur, (charge du
condensateur).
dq
q (t )
et
i (t ) 
u (t ) 
dt
C
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1- Le dipôle RC: Charge du condensateur
chapitre 3
R
i(t)
Mise en équation:
q(t)
U
R.i
u(t)
C
U = R.i(t) + u(t).
q(t )
U = R.i(t) +
C
Nous avons trois variables: u(t), i(t), q(t) On exprime tout
en fonction de l'une (au choix) de ces variables.
dq
On dérive par rapport à t et on tient compte de i 
dt
di i
l'équation devient: R   0
dt C
on écrit cette équation différentielle sous la forme:
di
dt

i
RC
9
1- Le dipôle RC: Charge du condensateur
chapitre 3
R
i(t)
Résolution de cette équation différentielle:
q(t)
U
R.i
u(t)
C
di
dt

i
di
RC
i
dt

RC
t = 0  i(0) = i0 ln( i )  
t
 ln( i 0 )
RC
i(t)
i0 = i(0) 
U
R
U
i(t ) 
R
e

t
RC
t=0
t
C'est donc bien un courant transitoire, qui tend rapidement vers
zéro après la fermeture du circuit.
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1- Le dipôle RC: Charge du condensateur
chapitre 3
R
i(t)
q(t)
R.i
U
u(t)
u
C
La tension
u(t) = U - R.i


u (t )  U 1  e

t
RC



temps
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1- Le dipôle RC: Charge du condensateur
chapitre 3
Etude de la fonction
 du 
pente à l'origine: 

dt
 (t 0)
t



RC
u (t )  U 1  e



U
Asymptote:

RC quand t   , u(t)  U
u(t)
U
  RC
t




u (t )  U  1  e 


Unités: en seconde, R en ohm et C en farad
temps
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1- Le dipôle RC: Aspect énergétique
chapitre 3
Comment évolue l’énergie au cours d’un transitoire de charge de
condensateur ?
Puissance p(t) = U.i(t) , Energie dW = U.i.dt
q=Cu, ce qui donne dq=Cdu et d'autre part, dq=i.dt.
énergie fournie par
le générateur

Q
0
0
2
U
.
i
.
d
t

U
d
q

U
.
Q

C
U



énergie stockée par
WE= u.i.d t 
le condensateur
0
énergie
perdue par
effet Joule
dans la
résistance
Q
U
1
2
u
d
q

C
u
.
d
u

C
U


2
0
0

1
2
 R.i .d t   u i.d t   u.d q  C  u.d u  2 C U
0
2
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1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur
chapitre 3
i(t)
q(t)
C
k
u(t)
R.i
R
à l'instant t=0 le condensateur
est chargé u(0)0, il porte la
charge q(0)=C.u(0) on ferme
l'interrupteur k et le courant
commence à passer.
Analyse du circuit:
Le circuit ne comporte qu'une seule boucle maille.
u(t) = R.i.
Dans ce cas le condensateur est le générateur, (décharge du
condensateur).
dq
q (t )
et
i (t )  
u (t ) 
dt
C
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1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur
chapitre 3
i(t)
Mise en équation:
q(t)
C
u(t) = Ri(t)
u(t)
R.i
R
q(t )
= R.i(t)
C
Cette fois choisissons u(t).
dq
du
dq
i (t )  
u (t )   R
  RC
dt
dt
dt
du
u
On écrit cette équation sous la forme:

dt
RC
Bien remarquer que nous pouvons tout aussi bien choisir
d'orienter i dans le sens inverse inverse. cela revient à changer
l'orientation de i : changer i en -i donc u(t)=-R.i(t)
et i=+dq/dt . On obtient donc le même résultat.
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1- Le dipôle RC: Décharge du condensateur
chapitre 3
i(t)
q(t)
C
R.i
u(t)
Résolution de cette équation différentielle:
du
u
du
dt


dt
RC
u
RC
R
t = 0  u(0) = u0 ln( u )  
t
 ln( u 0 )
RC
u(t )  u 0 e
u(t)
u(0) = u0
t=0
t

RC
t
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2-Inductances, Le dipôle RL
di
u  r.i  L
dt
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chapitre 3
2- Inductances
Une bobine est constitué par l'enroulement d'une grande longueur
de fil conducteur . Un noyau de matériau magnétique est parfois
placé à l'intérieur.
Considérons une bobine d'inductance L orientée en convention
récepteur.Une bobine présente toujours une résistance interne r.
Relation intensité - tension:
di
u  r.i  L
dt
i
u
L.di/dt
r.i
En régime continu, i = cte donc L.di/dt = 0 ( = fil conducteur)
i(t)
Relations de continuité: Le courant i ne peut présenter
de discontinuité, la tension ne peut être infinie.
18
t
chapitre 3
2- Le dipôle RL: évolution temporelle
Dipôle RL série: Alimentation par une source de tension parfaite.
évolution temporelle du courant
R est la résistance totale du circuit
di
U  R.i  L
dt
à l'instant t=0, on ferme
l'interrupteur k et le courant
commence à passer. i(0)=0 .
k
U
L.di/dt
U 
i (t ) 
1 e
R 
i
R.i

R
t
L



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2- Le dipôle RL: évolution temporelle
chapitre 3
U 
i (t ) 
1 e
R 
pente à l'origine:
 di 
U

 dt (t 0) L



R
t
L



Asymptote: en régime
permanent i(t)  U/R
i
L

R
t


U

i (t ) 
1  e 
R

temps
Unités:  en seconde, R en ohm () et L en henry (H)
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2- Le dipôle RL: aspect énergétique
chapitre 3
Comment évolue l'énergie au cours d'un transitoire d'établissement
du courant dans une inductance?
k
U
L.di/dt
i
R.i
di
dt
di
p(t )  U .i  ( Ri  L ).i
dt
dW  p.dt  U .idt  Ri 2dt  L.i.di
U  Ri  L
i varie de 0 à I
dWL  L.i.di
iI
1 2
WL   L.idi  LI
2
i 0
énergie
fournie par
la source
effet
Joule
1 2
l'énergie stockée dans l'inductance est LI
2
énergie
stockée
dans
l'inductance
21
3- Le dipôle LC
LC2 = 1
d2 u
u(t)=LC 2
dt
d2i
i(t)=LC 2
dt
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3- Le dipôle LC:
chapitre 3
i(t)
k
u(t)
C
L.di/dt
R.i
Oscillations libres
à l'instant t=0 le condensateur
est chargé u(0)=U0. on ferme
l'interrupteur k et le courant
commence à passer.
Analyse du circuit et mise en équation: u = + L di/dt
q=C.u Le condensateur se décharge i =  dq/dt
i = C du/dt donc
u (t )   LC
d 2u
dt 2
De même en éliminant u on obtient i(t )   LC
d 2i
dt 2
23
*3
3- Le dipôle LC:
chapitre 3
i(t)
k
u(t)
C
L.di/dt
R.i
Oscillations libres
Solution de cette équation
différentielle:
d 2u
u (t )   LC 2
dt
qui s'écrit aussi u = LC u"
On vérifie que u = A cos (t + ) est solution de cette équation
du/dt = u' =  A sin (t + ) ; d2u/dt2 = u"=  A2 cos (t + ) ;
on reporte u et u" dans l'équation différentielle ce qui donne: LC2 = 1
U est solution de cette équation pour tout A et .
La solution générale de cette équation peut s'écrire :
1

u(t )  A.cos(t   )
LC
24
3- Le dipôle LC:
chapitre 3
i(t)
k
u(t)
C
L.di/dt
R.i
Oscillations libres
Les conditions initiales
à l'instant t=0 le condensateur
est chargé u(0)=U0. et i(0)=0
Déphasage: i est en retard
de/2 par rapport u
u(t )  A.cos(t   )
i(t) = C du/dt = + CA sin (t + )
pour t=0 i(0)=0 donc sin() = 0 donc  = 0 (+ k)
u(t)
u(t )  A.cos(t )
i(t)
à l'instant t = 0 u(0) = U0
u (t )  U 0.cos(t )
C
i(t ) 
U 0.sin(t )
L
t
25
chapitre 3
3- Le dipôle LC:
Oscillations libres
T
U0
u (t )  U 0.cos(t )
temps
 est la pulsation propre du circuit,
(par la suite nous l'écrirons 0)
L’amplitude U0 (en volt)
La période T (en seconde)
période T
La fréquence f = 1/T (en Hertz Hz = s1)
La pulsation  = 2f (en radian par seconde = rad.s1 )
t
u (t )  U 0.cos(ωt )  U 0.cos( 2πf.t )  U 0.cos(2π )
T26
 = 2f = 2/T
chapitre 3
3- Le dipôle LC:
aspect énergétique
Energie contenue dans le condensateur à l'instant t :
u (t )  U 0.cos(t )
1
2 1
WC  C.u  C.U 20 .cos 2 (ωt)
2
2
Energie contenue dans l'inductance à l'instant t :
Analogie électrique-mécanique
C
i(t ) 
U 0.sin(t )
l'énergie s'échange constamment entre
L
1
2 1
W  L.i  C.U 20 .sin 2 (ωt) L et C
2
2
WC analogue électrique de l'énergie
Energie totale:
potentielle (U=diff.de potentiel)
WL analogue électrique de l'énergie
sin 2 (t )  cos 2 (t )  1
1
cinétique (i=N.q.v analogue à vitesse)
2
W  WL  WC  C.U 0
2 analogue à (1/2)mv2
(1/2)Li
2
Un circuit oscillant LC et l'analogue
ne dépend pas de t
électrique d'un pendule mécanique
L
27
4- Le dipôle RLC
28
4- Le dipôle RLC:
chapitre 3
Analyse du circuit
i(t)
uLL di
dt
Oscillations amorties
uRRi
i(t)C duC
dt
uRuLuC0
uC(t)
d 2uC
uCLC 2 RC duC 0
mise en équation
dt
dt
d 2uC
2
1
on a vu que LC =1  2 2 RC duC uC0
 dt
dt
d 2uC
RC 2duC  2uC0
2
dt
dt
on pose
RC2
= 2
d 2uC
2 duC  2uC0
2
dt
dt
forme "canonique"
29
chapitre 3
4- Le dipôle RLC:
d 2u
Solutions de cette
équation
dt 2
r2
équation caractéristique
Oscillations amorties
du
 2
 ω 20 .u (t )  0
dt
r
1
r 2 2 r  ω 02  0

  4  2  02
>0
=0
régime apériodique
régime critique
<0
régime pseudo-périodique
= oscillations amorties
30

chapitre 3
4- Le dipôle RLC:
 (  2  0 ).t
 >0 Régime apériodique
ue
 =0 Régime critique
u  e t ( At  B )
 <0 Régime
pseudo-périodique
= oscillations
amorties
 t
Oscillations amorties
2
( Ae
 Be
 (  2  0 ).t
2
)
u  e t [ A cos(  0 2   2 .t )  B sin(  0 2   2 .t )]
ou u  e t .C cos(  02   2 .t   )
31
4- Le dipôle RLC:
chapitre 3
ue
 t
2
C cos[(  0  2 ) t   ]
U
U0e-t
0

2
3
4
Oscillations amorties
Les conditions initiales
permettent de déterminer les
constantes C et .
Par exemple:
à l'instant t=0, C est chargé
u(0) =U0. on ferme k et le
courant commence à passer.
t Donc C=U et =0
0
u(t)=U0et cos (
022 t )
-U0e-t
pseudo-période
202
est la pseudo-pulsation.
 est le coefficient d'amortissement.
32