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Rappel : Cinématique
IPEIT
Rappel : Cinématique
Cinématique du point
r r r
- Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à un repère R (O , x , y , z ) , à la date t, est la dérivée du
r
vecteur position O P (t ) par rapport à t, dans R.
r
r 
 d
V (P / R ) = 
O P (t )
 dt
R
r r r
- Le vecteur accélération d’un point P par rapport à un repère R (O , x , y , z ) , à la date t, est la dérivée
r
du vecteur vitesse V (P / R ) par rapport à t, dans R.
r
 d r

Γ (P / R ) = 
V (P / R )
 dt
R
- La relation de changement de base de dérivation :
r
r
 d r
 d r
V
V
(
R
R
)
V
=
+
Ω
/
∧
1
 dt

 dt


R

 R1
- Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à la base de R, dans le cas d’un paramétrage angulaire par
r
trois angles α i (i = 1 , 2 , 3 ) mesurés respectivement autour des vecteurs unitaires e i (i = 1 , 2 , 3 ) , a pour
expression :
3
r
 . r 
Ω (R 1 / R ) = Σ  α j e j 
j = 1

- La composition des vecteurs rotation :
n r
r
Ω (R n / R 1 ) = Σ Ω (R i / R i − 1 )
i=2
- L’inversion des bases de dérivation :
r
r
Ω (R 2 / R 1 ) = − Ω (R 1 / R 2 )
Cinématique du solide
- Le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide 1 par rapport à un repère R vérifie la relation :
r
r
r
r
∀ A, B ∈ 1
V (B ∈ 1 / R ) = V ( A ∈ 1 / R ) + Ω (1 / R ) ∧ A B
On peut donc représenter, au point A, le mouvement du solide 1 par rapport au repère R par le torseur
cinématique :
r
 Ω (1 / R ) 
{V (1 / R )} =  r

 V ( A ∈ 1 / R )
- Le champ des vecteurs accélération des points d’un solide 1 dans son mouvement par rapport à un
repère R vérifie la relation :
Mohamed Kaffel
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Rappel : Cinématique
IPEIT
[
r
r
r
r
r
r
 d r

Γ (B ∈ 1 / R ) = Γ ( A ∈ 1 / R ) + 
Ω (1 / R ) ∧ A B + Ω (1 / R ) ∧ Ω (1 / R ) ∧ A B
 dt
R
]
Il n’est pas représentable par un torseur.
- Attention : lorsqu’un point P n’appartient pas naturellement à un solide 1, mais qu’on le considère lié à
l’instant t au solide 1 :
- Le vecteur vitesse d’entrainement du point P, dans le mouvement de 1 par rapport à R , ne
s’obtient pas par dérivation du vecteur position du point P.
r
V (P ∈ 1 / R
)≠
r 
 d
O
P
 dt

R
- Le vecteur accélération d’entrainement du point P, dans le mouvement de 1 par rapport à R , ne
s’obtient pas par dérivation du vecteur vitesse d’entrainement du point P.
r
 d r

Γ (P ∈ 1 / R ) ≠ 
V (P ∈ 1 / R )
 dt
R
- Le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide est équiprojectif
r r
r r
∀ A, B ∈ 1
A B . V ( A ∈ 1 / R ) = A B . V (B ∈ 1 / R )
Composition des mouvements
- La relation de composition des vecteurs vitesse :
r
r
r
V (P / R ) = V (P / R 1 ) + V (P ∈ R 1 / R )
r
- La notation V (P / R ) est généralement réservée :
- aux solides assimilables à un point,
- aux points géométriques qui n’appartiennent à aucun solide, comme les points de contact entre
solides.
r
- La notation V (P ∈ R 1 / R ) est à utiliser pour les points qui appartiennent naturellement à un solide,
ou que l’on suppose lié, à l’instant t, au solide.
- La relation de composition des torseurs cinématiques :
{V (R n
/ R 1 )} = ∑ {V (R i / R i − 1 )}
n
i=2
- La relation de composition des vecteurs accélération :
r
r
r
r
r
Γ (P / R ) = Γ (P / R 1 ) + Γ (P ∈ R 1 / R ) + 2 Ω (R 1 / R ) ∧ V (P / R 1 )
Mohamed Kaffel
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