Mécanique du solide

Sommaire

I) II) III) Systèmes de points matériels………………………………………..…2

A.

Approche cinétique……………………………………………………………………..2 B.

Approche dynamique………………………………………………………………….4 C.

Cas du système isolé…………………………………………………………………...7

Solide en rotation autour d’un axe fixe…………………………….9

A.

Approche cinétique……………………………………………………………………..9 B.

Actions d’axes……………………………………………………………………………10 C.

Application à la mise en rotation d’un moteur…………………………..11

Outils pour l’étude de deux solides en contact……………….12

A.

Vitesse d’un point du solide………………………………………………………12 B.

Phénomène de contact……………………………………………………………..13

Mélanie Culard

Johann Samuel Koenig Mathématicien allemand 31 Juillet 1712 – 27 Aout 1757

Page 1 Cours de physique

I) Mécanique des systèmes de points matériels :

A.

Approche cinétique Notion de centre de masse : On appelle

centre de masse

d’un système de n points le barycentre de ces n points, noté G, et tel que : où : → est la masse de la particule i notée 

Le point G n’existe par physiquement. C’est simplement une notation introduite afin de simplifier le problème. On ne peut donc pas appliquer de théorème sur ce point.

Propriétés du centre de masse : Quel que soit le point O, le centre de masse vérifie : Et : où : → Référentiel barycentrique : Le

référentiel barycentrique

d’un système est

le référentiel en translation par rapport au référentiel d’étude et centré sur le centre de masse du système étudié

. On le note . 

Il ne faut pas oublier de définir le système auquel est rattaché , la notation n’est pas universelle.

Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un système S s’écrit : 

Dans son référentiel barycentrique, la quantité de mouvement d’un système est nulle :

Mélanie Culard Page 2 Cours de physique

Invariance du point de calcul du moment cinétique : Le moment cinétique dans le

référentiel barycentrique

du système ne dépend pas du point où on le calcule.  Preuve :

Considérons deux points O et O’ et calculons le moment cinétique en O dans le référentiel barycentrique : Or, d’après ce qui précède :

Théorème de Koenig : Pour un système S quelconque et un point A quelconque, le moment cinétique s’écrit : où : → est le moment cinétique de S dans son référentiel barycentrique  

Le moment cinétique du système dans son référentiel barycentrique est à recalculer à chaque fois. On peut également se servir du fait que le moment cinétique est une grandeur extensive :

Théorème de Koenig (2) : Pour un système S quelconque et un point A quelconque, l’énergie cinétique s’écrit : où : → est l’énergie cinétique du système dans son référentiel barycentrique. 

L’énergie cinétique du système dans son référentiel barycentrique est à recalculer à chaque fois.



On peut également se servir du fait que l’énergie cinétique est une grandeur extensive :

Interprétation des théorèmes de Koenig : Ces théorèmes montrent qu’un système de points n’est pas réductible au seul point G où serait concentrée toute la masse.

Mélanie Culard Page 3 Cours de physique

B.

Approche dynamique Bilan des forces dans un système de deux points matériels : Dans un système de deux points matériels, les forces suivantes s’exercent : → La force intérieure exercée par 1 sur 2 notée . → La force intérieure exercée par 2 sur 1 notée → Les forces extérieures exercées sur 1 notées → Les forces extérieures exercées sur 2 notées Théorème du centre d’inertie (TCI) : Pour un système quelconque en mouvement dans un référentiel R, nous avons : où : → représente les forces d’inertie  

Dans la plupart des cas, on peut écrire directement : On remarque que les forces intérieures ne comptent pas : en effet, elles sont inutiles dans le mouvement du système.

Moment d’une force : Le moment en un point A du à une force s’écrit : où : → M est le point qui

subit la force

. Moment d’une force par rapport à un axe : Le moment d’une force par rapport à un axe est tel que : où : → le bras de levier est la distance constituée par le projeté orthogonal de la force sur l’axe (voir dessin ci-dessous).

Mélanie Culard Page 4 Cours de physique

Théorème du moment cinétique vectoriel ( : Soient un système S évoluant dans un référentiel R quelconque et A un point fixe. Alors : Théorème du moment cinétique scalaire : Soient un système S évoluant dans un référentiel R quelconque et un axe fixe. Alors : Théorème du moment cinétique barycentrique : Soit un système S quelconque évoluant dans son référentiel barycentrique. Alors. 

En effet, dans le référentiel barycentrique, on peut négliger les forces d’inertie.

Théorème de l’énergie cinétique (TEC) : Soit S un système quelconque évoluant entre deux états distincts, alors : Théorème de l’énergie mécanique (TEM) : Soit S un système quelconque évoluant entre deux états distincts, alors : où : → signifie « non conservative » 

Ces deux derniers théorèmes sont des versions globales.

Théorème de la puissance cinétique (TPC) : Soit S un système quelconque. Alors : Théorème de la puissance mécanique (TPM) : Soit S un système quelconque. Alors :

Mélanie Culard Page 5 Cours de physique



Ces deux derniers théorèmes sont des versions locales et permettent d’obtenir des équations différentielles régissant le mouvement.

Travail des actions intérieures : Le travail fourni par une interaction intérieure à un système est une grandeur qui ne

dépend pas du référentiel

choisi. Cas particuliers : → Points liés – liaison totale : → Glissement sans frottement : Lorsque deux points sont rigidement liés, le travail de l’interaction de contact entre les deux est nul : → Roulement sans glissement : Lorsque deux points sont reliés par une liaison sans frottements, le travail de l’interaction de contact entre les deux est nul : Le travail fourni par une interaction de contact avec roulement sans glissement, ou frottement sans glissement est nul : Energie des actions intérieures : L’énergie potentielle associée à des interactions intérieures n’est

pas extensive

. Pour les interactions, il ne faut compter qu’une seule fois l’énergie potentielle.  Preuve :

Considérons deux points entre lesquels règne une interaction gravitationnelle. Nous avons : → Pour → Pour : → Pour : :

Mélanie Culard Page 6 Cours de physique

C.

Cas particulier du système isolé ➜ Utilité : C’est un cas classique et à connaître dans deux situations a priori très éloignées : lors de l’étude de corps célestes ➜ lors de l’étude de l’interaction de molécules Qu’est ce qu’un système isolé ? Un système est dit

isolé

lorsqu’

aucune force extérieure ne s’exerce

. Un système est dit

pseudo-isolé

lorsque la

résultante des forces extérieures est nulle

. Qu’advient-il du référentiel barycentrique ? Le référentiel barycentrique associé à un système isolé est galiléen. Particule fictive : Pour un système de deux points et , la

particule fictive

de masse appelée

masse réduite

est définie par : Cas ou : Dans un système de deux points matériels dans lequel l’un des points a une masse très supérieure à l’autre,

la particule fictive s’identifie avec le point de masse la plus faible

. Expression du moment cinétique :

Le moment cinétique d’un système isolé de deux points matériel est égal au moment cinétique de sa particule fictive associée.



Notons Et :

Preuve :

et . Calculons le moment cinétique du système dans le référentiel barycentrique R : D’après les relations précédentes avec la particule fictive, nous avons :

Mélanie Culard Page 7 Cours de physique

Ainsi, en remplaçant, nous obtenons : On obtient ainsi : On arrive finalement bien au résultat recherché :

Expression de l’énergie cinétique :

L’énergie cinétique d’un système isolé de deux points matériel est égale à l’énergie cinétique de sa particule fictive associée.

 Preuve :

Calculons l’énergie cinétique d’un système isolé de deux points matériels : Or : Donc, en remplaçant dans l’expression ci-dessus : Puis : On obtient bien le résultat recherché :

Lois de Kepler : 1) 2) 3) Loi des orbites : «

Les planètes tournent sur une trajectoire plane elliptique dont le Soleil occupe l’un des foyers

. » Loi des aires : «

Le rayon vecteur d’une planète balaye des surfaces égales en des durées égales

. » Loi des périodes : «

Dans le système solaire, le carré de la période d’un astre est proportionnel au cube du demi grand axe de sa trajectoire elliptique

. »

Mélanie Culard Page 8 Cours de physique

II) Solide en rotation autour d’un axe fixe :

A.

Approche cinétique Moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d’un axe fixe : Le moment cinétique scalaire d’un solide S quelconque tournant autour d’un axe ∆ fixe s’écrit : où : → est le

moment d’inertie

du solide par rapport à l’axe en → est la vitesse angulaire de rotation algébrique par rapport à l’axe 

Dans le cas général nous ne pouvons pas écrire la relation sous forme vectorielle, car cela dépend de la répartition de masse et notamment de la « symétrie » du solide autour de cet axe.

Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe : L’énergie cinétique d’un solide S quelconque tournant autour d’un axe ∆ fixe s’écrit : Interprétation du moment d’inertie :

•

caractérise l’inertie pour la rotation : ➜ plus est grand, plus c’est difficile à mettre en rotation (ou à freiner) ➜ ➜ ➜ plus est grand, plus il y a d’énergie cinétique dans la rotation En particulier, à masse et à taille fixées, les objets « creux » ont un moment d’inertie plus grand puisque les points sont globalement plus éloignés de l’axe. • Le moment d’inertie est une grandeur caractéristique d’un solide une fois l’axe de rotation choisi, c’est pourquoi nous le considérerons toujours comme une grandeur pertinente : Un solide possède a priori une infinité de moment d’inertie puisque le moment d’inertie dépend de l’axe de rotation choisi. Plus un axe passe près du centre de masse, plus le moment d’inertie associé à la rotation autour de cet axe est petit. Analogie rotation-translation : Translation rotation

Mélanie Culard Page 9 Cours de physique

B.

Actions d’axe Qu’est ce qu’un couple ? Un couple (ou couple de forces) est un

ensemble de forces de résultante nulle mais de moment par rapport à un axe non nul

. Par extension, le couple est le

moment d’un couple de forces

. Couples à connaitre : → Cas d’une liaison parfait : → Cas d’un couple de rappel (type ressort de torsion) : → Cas d’un couple résistant : → Cas d’un couple moteur : Aspect énergétique : Le travail élémentaire fourni par une force s’écrit : La puissance fournie par une force s’écrit :  Preuve de l’expression du travail :

Ne considérons qu’un unique point du solide : celui qui subit la force. Comme M fait partie d’un solide qui tourne autour d’un axe passant par O, il aura une trajectoire circulaire, ce qui permet d’écrire son déplacement élémentaire sous la forme Donc, l’énergie reçue par M est alors : recherché : On reconnait l’expression du moment de la force, donc nous arrivons bien au résultat

Mélanie Culard Page 10 Cours de physique

C.

Application à la mise en rotation d’un moteur Dispositif étudié : Nous étudierons un moteur qui entre en rotation à partir d’une vitesse angulaire initiale nulle. Il sera représenté comme ci-dessous : Analyse qualitative du problème : → Il s’agit d’un dispositif à un degré de liberté (liaison pivot). → L’évolution est forcée donc non conservative. Equation différentielle régissant le mouvement : où : → → est la vitesse angulaire de rotation du moteur → h est le coefficient de frottement de l’air est le moment d’inertie du système ramené à l’arbre moteur → est le couple moteur  Preuve :

Ecrivons le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe dans le référentiel rattaché au moteur. Le système subit trois forces extérieures : → le poids → l’action de l’axe → l’action de l’air Comme le centre de masse G se situe sur l’axe , alors le moment dû au poids est nul. Les frottements s’expriment par : En ce qui concerne l’action de l’axe, la projection du couple sur donne immédiatement : Ainsi, le TMC scalaire par rapport à l’axe s’écrit : Or, comme le moteur est en rotation autour de l’axe fixe, nous avons : En regroupant le tout, nous obtenons : Nous arrivons bien au résultat attendu :

Mélanie Culard Page 11 Cours de physique

III) Outils pour l’étude de deux solides en contact :

A.

Vitesse d’un point du solide Loi de Varignon : Pour deux points A et B quelconques d’un même solide, nous avons : où : → est le vecteur rotation du solide par rapport au référentiel R 

La donnée de la vitesse d’un point d’un solide et du vecteur rotation de ce solide permet de décrire entièrement le champ de vitesse de ce solide.

➜  Preuve :

En plus du référentiel R d’étude, considérons deux référentiels intermédiaires : le référentiel barycentrique R*

➜

le référentiel propre qui est le référentiel centré sur G dans lequel le solide est immobile. •

Champ des vitesses dans le référentiel propre :

Par définition du référentiel propre, nous avons pour tout point M :

• Champ des vitesses dans le référentiel barycentrique :

Les deux référentiels et centrés sur le même point G. Notons sont en rotation pure l’un par rapport à l’autre puisqu’ils sont leur vecteur rotation. Nous pouvons alors appliquer la loi de composition des vitesses : Donc :

Mélanie Culard Page 12 Cours de physique

• Champ des vitesses dans le référentiel d’étude :

Entre les référentiels R* et R, il n’y a qu’une translation donc la loi de composition des vitesses s’écrit : Et comme R et R* sont en translation, nous avons : Finalement, ,nous obtenons, quel que soit le point M : Pour obtenir les résultats avec a et B, il suffit d’intercaler des vecteurs en utilisant la relation de Chasles.

B.

Phénomène de contact Situation étudiée : Nous avons déjà étudié le cas de deux solides en contact dans le cas où le support est immobile. Ici nous allons généraliser au cas où le support peut bouger. Qu’est ce que la vitesse de glissement ? La vitesse de glissement d’un solide 2 par rapport à un solide 1 caractérise la manière dont 2 bouge par rapport à 1 au niveau du point de contact. En réalité, il existe trois points de contacts différents, et non un, qui sont représentés ci dessous : Les mouvements de ces trois points sont différents :

Mélanie Culard Page 13 Cours de physique

Condition de non glissement : Il n’y a pas glissement lorsque les deux points de contact qui appartiennent aux solides ont la même vitesse, soit : Vitesse de glissement : La vitesse de glissement de 2 par rapport à 1 s’écrit : 

Attention à bien préciser qui glisse par rapport à qui.

Interaction normale de contact : Entre deux solides en contact, il y a toujours une interaction normale telle que : où : → est le vecteur normal et unitaire dirigé de 1 vers 2 

est toujours possible tandis que entre les deux solides est impossible.

n’est possible que si le décollement

Actions tangentielles de contact – lois de Coulomb : Lors du contact entre deux solides, il y a deux cas possibles suivant qu’il y a ou non glissement : → Si il y a glissement, alors :

opposé à

→ S’il n’y a pas glissement, alors :

de direction inconnue

où : → est appelé

coefficient de frottement dynamique

(sans dimension) → est appelé

coefficient de frottement statique

(sans dimension)  

Si rien n’est indiqué, nous prendrons : .

Les frottements associés au contact entre deux solides sont appelés frottement solides.

Mélanie Culard Page 14 Cours de physique

Méthode à appliquer lors de la présence de frottements solides : → effectuer une hypothèse explicite concernant la présence ou non de glissement → poser l’égalité associée à cette hypothèse → vérifier l’hypothèse Aspect énergétique :

La puissance totale fournie par une interaction de contact entre deux solides est strictement négative en cas de frottement avec glissement et nulle sinon.

 Preuve :

Recherchons tout d’abord la puissance fournie par . De même, la puissance fournie par est : La somme de ces deux puissances s’écrit donc : Ce qui nous mène à : 2 par rapport à 1, qui se traduit par : Comme la vitesse de glissement est tangentielle à la surface de contact, nous pouvons d’ores et déjà constater que seule la composante tangentielle peut travailler. Il reste donc : Or nous savons que l’action de frottement de1 sur 2 est opposée à la vitesse de glissement de Donc la puissance totale est telle que : Ainsi, nous pouvons interpréter ce résultat de la manière suivante :

si il n’y a pas de frottement si il n’y a pas de glissement sinon

Interprétation : → Un contact avec frottement mais sans glissement n’est pas dissipatif. → Un contact avec glissement mais sans frottement n’est pas dissipatif. → Une réaction normale peut fournir un travail, positif ou négatif.

Mélanie Culard Page 15 Cours de physique