Transcript Champs de forces centrales conservatifs et mécanique du solide

Lycée Carnot
PCSI
2013-2014
Colle no 20 de Physique
Champs de forces centrales conservatifs et
mécanique du solide
Programme de colle
Questions de cours et exercices : Champs de forces centrales conservatifs
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Conservation du moment cinétique et planéité, constante des aires et loi des aires
Énergie potentielle effective, état de diffusion, état lié
Cas particulier des champs newtoniens : tracé de Ep,eff en fonction de K et lecture
Énergie mécanique du mouvement circulaire, du mouvement elliptique
Relations vitesse-rayon et période-rayon du mouvement circulaire
Lois de Kepler
Altitude du satellite géostationnaire
Vitesses cosmiques
Questions de cours seulement : Mécanique du solide
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Cinématique du solide : différence entre translation et rotation
Centre de masse, quantité de mouvement
Force résultante, moment résultant, puissance résultante des forces intérieures
Théorème de la résultante cinétique, théorème du moment cinétique, théorèmes énergétiques
Moment d’inertie par rapport à un axe orienté, lien avec moment cinétique
TMC pour les solides en rotation
Couple de forces : force résultante, moment, puissance
Liaison pivot
Pendule de torsion
Lien entre TEC et TMC pour les solides en rotation
Systèmes déformables : exemple du tabouret d’inertie
Questions de cours
1. Montrer l’existence de la constante des aires pour un mouvement dû à une force centrale.
2. Démontrer la loi des aires
3. Déterminer l’expression de Ep,eff et tracer le graphe pour un champ newtonien.
En déduire les différents types de trajectoires possibles.
4. Déterminer l’énergie mécanique du mouvement circulaire.
5. Déterminer l’énergie mécanique du mouvement elliptique.
6. Montrer qu’un mvt circulaire en champ newtonien est uniforme. Exprimer la relation entre la vitesse et le rayon.
7. Montrer qu’un mvt circulaire en champ newtonien est uniforme. Exprimer la relation entre la période et le rayon.
8. Énoncer les lois de Kepler et faire la démonstration de l’une d’entre elles (au choix du colleur).
9. Déterminer les deux vitesses cosmiques (G = 6,67 · 10−11 USI, mT = 6,0 · 1024 kg, RT = 6400 km).
10. Que peut-on dire des vitesses dans un solide en translation ? en rotation ?
−−
→
11. Définir le centre de masse d’un système {Mi ,mi }. Exprimer OG.
12. Définir la quantité de mouvement d’un système {Mi ,mi }. L’exprimer en fonction de grandeurs globales.
13. Que peut-on dire des forces intérieures (force résultante, moment, puissance) ?
14. Démontrer le PFD/TMC/TEC/TEM (au choix du colleur) pour un système {Mi ,mi }.
15. Définir le moment d’inertie d’un système {Mi ,mi }. Exprimer le moment cinétique en fonction.
16. Définir un couple de forces : dessin, force résultante, moment résultante, puissance.
17. Exprimer l’énergie cinétique d’un solide en translation, d’un solide en rotation.
18. Expliquer pourquoi le patineur tourne plus vite lorsqu’il serre les bras.
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Exercices
Vitesse d’un satellite
Un satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon r0 .
1. Déterminer l’énergie totale ET0 de ce satellite.
2. L’altitude du satellite étant peu élevée, il subit les frottements des hautes couches de l’atmosphère. Son énergie
totale diminue alors avec le temps suivant la loi :
ET = ET0 (1 + α t)
avec α > 0
ET0 < 0
On suppose que la trajectoire reste circulaire. Déterminer le rayon r de la trajectoire et la vitesse v du satellite.
3. En comparant les énergies, expliquer pourquoi la vitesse du satellite augmente alors qu’il est freiné par l’atmosphère.
Modèle atomique de Bohr
Bohr a proposé le modèle suivant pour décrire la constitution de l’atome d’hydrogène : l’électron E de masse me et
de charge −e est animé d’un mouvement circulaire uniforme autour d’un proton de centre d’inertie P ; son moment
cinétique en P est quantifié par la relation L = n 2hπ où n est un entier et h la constante de Planck.
On donne e = 1,6 10−19 C, h = 6,6 10−34 J·s, ǫ0 = 8,8 10−12 F·m−1 , me = 9,1 · 10−31 kg et mp = 1,7 · 10−27 kg.
1. Peut-on négliger la force gravitationnelle entre le proton et l’électron ? (calculer en ordre de grandeur uniquement)
2. Donner une relation entre le carré de la vitesse v de l’électron et sa distance r au proton.
3. En déduire l’expression du rayon de la trajectoire en fonction de n, h, me et e. Calculer sa valeur pour n = 1.
A
4. Exprimer l’énergie totale E de l’électron et montrer qu’elle se met sous la forme E = − 2 .
n
5. Rappeler l’expression de la diminution d’énergie d’un électron entre deux niveaux d’énergie, en fonction de la
fréquence puis de la longueur d’onde du photon émis.
1
1
1
−
. Déterminer l’expression et la valeur numé6. En déduire que les longueurs d’onde vérifient = Rh
λ
n2 2
n1 2
rique de la constante de Rydberg Rh .
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