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DL DE PHYSIQUE CHIMIE N°1
CORRIGE
A- satellite spot 1
I] Mouvement d'un satellite dans le champ de gravitation terrestre
1. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un point matériel isolé possède un mouvement
rectiligne uniforme.
Le référentiel géocentrique est galiléen en première approximation car la période de révolution de la Terre
autour du soleil est très supérieure à la période de révolution du satellite artificiel (l’énoncé précise qu’on
ne considère pas son mouvement autour du soleil).
G.m.M T
.u r . Quelque soit la position du
r²
satellite S, la force est dirigée vers le centre O de la Terre. C’est donc un champ de forces centrales.
2. Le satellite est soumis à la force de gravitation terrestre : f (r ) = −
r
r
G.m.M T .dr
3. L’énergie potentielle Ep dont dérive f est telle que : δW (f ) = −dE p : f .d r = −
= −dE p . Il existe
r²
bien une telle fonction E p (r ) = −
est donc nulle :
E p (r ) = −
G.m.M T
+ c ste . On la prend nulle à l’infini par convention. La constante
r
G.m.M T
.
r
II] Satellite en orbite circulaire dans le champ de gravitation terrestre
1. D’après le théorème de l’énergie cinétique, dEc=δW : la variation d’énergie cinétique entre t et
t+dt est égal au travail élémentaire des forces agissant sur le satellite. Sur une trajectoire circulaire,
le déplacement élémentaire est toujours normal à la force gravitationnelle. Donc δW=0 et par suite
dEc=0 : on déduit que l’énergie cinétique est constante et donc que le module de la vitesse est constant : le
mouvement est uniforme.
2. Dans la base des coordonnées cylindriques, le mouvement étant circulaire : v = r.θ& ; puisque le mouvement
est uniforme, θ& = cst et l’accélération s’écrit :
(
)
v²
a = − r.θ& ² .u r = − u r
r
Appliquons le principe fondamental de la dynamique au satellite dans le référentiel R qui est galiléen :
− m.
G.M T
G.M T
G.m.M T
v²
=
.
ur = −
.u r . D’où D’où v =
r
h + RT
r
r²
La période de révolution du satellite s’écrit T =
On déduit : T =
2π.r
car le mouvement est circulaire uniforme.
v
2π.(h + R T )3 2
G.M T
MP Devoir libre n°1 14-15
1
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Ce qui constitue la loi de Képler pour l’astre attracteur « Terre », lorsqu’on élève au carré
T2
a
3
=
4π 2
,
G.M T
avec a=h+RT demi-grand axe de l’ellipse (ou rayon du cercle dans le cas particulier d’un mouvement
circulaire).
3.
 T. G.M T
h=

2π





23
− RT .
Cas particulier de SPOT 1 : avec T=101min=6060s, on obtient :
h = 8,16.102 km et v =
G.M T
= 7,45 km.s −1 .
h + RT
Vitesse de libération terrestre du satellite : c’est la vitesse minimum vlib, avec laquelle il doit être envoyé
depuis le sol terrestre pour que, à la limite, il ne forme plus un système lié avec la Terre, i.e. que son
énergie totale soit juste nulle (il aurait alors une trajectoire parabolique).
Elim=0 :
1
G.m.M T
2
m.v lib
−
= 0 : v lib =
2
RT
2GM T
−1
: v lib = 11 km.s .
RT
La vitesse du satellite SPOT1 est bien inférieure à la vitesse de libération terrestre : le système Terresatellite forme bien un système lié.
4.
Ec =
1
G.m.M T
m.v ² . E p = −
= −m.v² = −2.E c : E p = −m.v²
2
h + RT
1
E m = E c + E p = − E c = − m.v ² < 0 . E m = −E c
2
5. Avant le lancement, le satellite est au sol. Il est immobile dans le référentiel terrestre, mais dans le
référentiel géocentrique, sa trajectoire est circulaire de rayon R T . cos (λ ) , sa vitesse de rotation angulaire
correspond à celle de la surface de la Terre, soit Ω, et son altitude est nulle.
G.m.M T
1
E m sol = E c sol + E p sol = .m(R T .Ω. cos(λ ))² −
2
RT
6. a) A l’équateur λ = 0. L’énergie minimale à transférer au satellite pour le mettre en orbite est donc, d’après
les questions 4 et 5 :
G.m.M T
1
1
Wo = E m − E m sol = − m.v² − .m(R T .Ω )² +
AN : Wo = 6,36.1010 J
2
2
RT
b) En Floride λ = 28°. L’énergie minimale à transférer au satellite pour le mettre en orbite est donc :
G.m.M T
1
1
Wλ = E m − E m sol = − m.v² − .m(R T .Ω. cos(λ) )² +
AN : Wλ = 6,37.1010 J
2
2
RT
c) L’écart entre les deux valeurs est faible (inférieur à 2°/oo), mais on a tout de même : Wo < Wλ . Il est
donc un peu plus avantageux d’effectuer le lancement depuis la base de Kourou à l’équateur.
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2
Corrigé
B- Solide en rotation autour d’un axe
1. Le solide S subit comme actions extérieures :
• la réaction de l’axe, de moment nul,
• le poids de la tige CA de moment
mg
L
(à l’équilibre, θ=0)
2
• le poids de la tige CB de moment nul (droite d’action coupant l’axe ∆) (à l’équilibre, θ=0).
• la tension du ressort de moment
− kλL
2. Appliquons le théorème du moment cinétique par rapport à ∆ au solide S lorsqu’il est à l’équilibre.
Le théorème du moment cinétique par rapport à ∆, s’écrit à l’équilibre : Mext = 0
Soit
mg
L
− kλL = 0 (1)
2
λ=
mg
2k
3. Après une rotation θ de S supposée faible, le point A s’est déplacé sur la verticale de O, et l’allongement du ressort est
devenu λ + Lθ .
Il subit comme actions extérieures :
• la réaction de l’axe, de moment nul,
L
L
cosθ ≈ mg
2
2
• le poids de la tige CA de moment
mg
• le poids de la tige CB de moment
2 mgL sin θ ≈ 2mgLθ
• la tension du ressort de moment
− k (λ + Lθ ) L
Le moment résultant est donc :
M ext = mg
(
L
- 2mgLθ - k ( λ + Lθ ) L
2
Soit, en tenant compte de (1) : M ext = -θL kL + 2 mg
)
4. Appliquons le théorème du moment cinétique par rapport à ∆ au solide S :
J ∆ θ&& = M ext
J ∆ θ&& = -θL(kL+2mg )
3mL2θ&& = -θL(kL+2mg )
L’équation différentielle vérifiée par θ est donc, avec J∆=3mL2 :
θ&& +θ
kL+2mg
=0
3mL
de la forme :
&θ& + ω2θ = 0 avec ω =
Le solide S a donc un mouvement harmonique :
de pulsation ω, de période
T=
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kL+2mg
3mL
θ = θ 0 cos(ωt + ϕ )
2π
3mL
= 2π
ω
kL + 2mg
3
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C- Déviation vers l’est
ωh = −ω cos λ
r
a) Le vecteur rotation de ℜT par rapport à ℜG a pour composantes : ω 0
:
ωv = ω sin λ
r
ω=
r
ωh +
{r
−ω cos λu x
composante
horizontal e
r
ωv
{r
ω sin λu z
composante
verticale
&x& = 2ωy& sin λ
r
r
r r
r
r r

b) La RFD s’écrit : ma = mg + f c avec f c = − ma c = −2mω ∧ v , soit en projetant : &y& = −2ω(cos λz& + sin λx& )
&z& = −g + 2ωx& cos λ

En effet, le champ de pesanteur est supposé uniforme sur la région où a lieu le mouvement et avec les hypothèses précisées
r
r
dans l’énoncé, il s’écrit g = −gu z où g est une constante.
c) Nous allons utiliser pour résoudre ce problème, la méthode dite « de perturbation », très utile lorsqu’on cherche à évaluer la
partie principale d’un « petit effet ».
Nous admettrons que, pour étudier la perturbation d’un mouvement à l’ordre 1, il suffit de calculer la force perturbatrice sur le
mouvement non perturbé, dit « à l’ordre 0 ».
Dans le cas présent, le mouvement « non perturbé » (d’ordre 0), est le mouvement de chute libre « classique », traité en
supposant ℜT galiléen, c’est-à-dire en négligeant la force de Coriolis.
x& = 0
0
r
r r r
1r 2
&
v = gt + v 0 = gt y = 0 OM = gt + OM 0 0
2
−g
z& = −gt
h − gt 2 / 2
0
r
r r
a = g = cs t 0
d) Selon les autres axes, les accélérations et par suite les vitesses, sont bien plus faibles car dues à la force de Coriolis très
faible devant le poids.
Ainsi, dans &z& , on a négligé le second terme devant g.
Dans &y& , on peut négliger le second terme en
x& devant le premier en z& .
On a alors &x& = 2ωy& sin λ et &y& = −2ω cos λz&
y& étant très faible devant z& , l’accélération &x& selon Ox, est négligeable devant celle &y& selon Oy.
e) Dans &y& , on remplace
z& par le résultat trouvé pour le mouvement « non perturbé », mouvement de chute libre, i.e. (-gt) :
&y& = 2ω cos λgt : accélération faible due à la force de Coriolis, orientée vers l’Est (quelque soit le signe de λ), responsable
d’une légère déviation vers l’Est du point matériel dans sa chute libre.
On intègre et on tient compte des conditions initiales : y& = ω cos λgt
2
1
f) On intègre à nouveau en tenant compte de la condition initiale : y = ω cos λgt 3
3
On trouve effectivement une déviation vers l’est : y > 0, quelque soit l’hémisphère où a lieu la chute.
On calcule sa valeur en fonction de la hauteur de chute, en éliminant le temps. Soit B le point d’impact au sol, tB l’instant de
l’impact :
z B = 0; t B =
2h
g
yB =
1
2h
ω cos λg
3
g
3
L’effet est d’autant plus important qu’on est proche de l’équateur (cosλ élevé).
g) On calcule yB=2,7cm
h) La mesure de Reich est en très bon accord avec la prédiction précédente : yB = 28 mm.
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