Physique - 6

ème

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Chapitre n° 3 : ETUDE DES CHOCS

Ce chapitre constitue avant tout une application de la définition de la quantité de mouvement. Nous verrons que les exercices sur les chocs traités en 6 ème année sont souvent beaucoup plus simples que la théorie du cours ne le laisse paraître. En 7 ème année nous retrouverons une application de cette leçon lors de l'étude de la dualité onde corpuscule et de l'effet Compton.

I) Choc ponctuel entre particules : 1) Choc ou collision :

On appellera choc ou collision l'interaction entre deux corps, lorsque cette interaction a une durée brève, une étendue réduite et se traduit par une modification importante des vecteurs vitesses des deux corps . Exemple : - Interaction de contact entre deux boules de billard. - Interaction électromagnétique à courte portée entre une particule α et un noyau d'or dans l'expérience de Rutherford. - Interaction entre un astéroïde et une planète.

2) Modèle du choc ponctuel :

L'étendue spatiale où se manifeste le choc est supposée suffisamment réduite pour être assimilée à un point. On notera → v et → v les vitesses des corps (particules) avant le choc On notera → v 1 ' et → v 2 ' les vitesses des corps (particules) après le choc mesurées dans le référentiel d'étude ( R ).

II) Lois de conservation au cours d'un choc : 1) Conservation de la quantité de mouvement : a) Système isolé ou pseudo isolé :

D'après le principe d'inertie, nous savons que pour un système isolé ou pseudo isolé la quantité de mouvement se conserve dans un référentiel ( R ) galiléen. → p = → p Au cours du choc entre deux particules (corps) de masses m 1 et m 2 , isolées ou pseudo isolées, la quantité de mouvement totale du système formé des deux particules reste constante dans un référentiel galiléen ( R ) : m 1 → p = .

v → 1 → p + + m 2 .

→ p = v → 2 → p = = m 1 .

→ v 1 ' → p 1 ' + + m 2 → p 1 ' .

→ v 2 '

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Etude des chocs

b) Système non pseudo isolé :

Nous admettrons qu'au cours du choc entre deux particules de masses m 1 et m 2 , non pseudo isolées, la quantité de mouvement mesurée dans le référentiel d'étude ( de mouvement du système immédiatement après le choc : → p = → 1 → 2 → ' p → 1 ' + p → 1 ' R ), du système formé des deux particules immédiatement avant le choc est égale à la quantité m 1 .

→ v + m 2 .

→ v = m 1 .

→ v 1 ' + m 2 .

→ v 2 '

c) Etude expérimentale :

On étudie le choc de deux palets sur la table à air parfaitement horizontale. On enregistre le mouvement du centre d'inertie des deux palets sur une feuille spéciale fixée à la table. Connaissant la durée ∆ t entre deux étincelles, on peut tracer les représentants des vecteurs vitesse. Connaissant les masses m 1 et m 2 des deux palets, on peut tracer les représentants des vecteurs quantité de mouvement. avant le choc et après le choc. → p + → p = p = → p 1 ' → p + → p 1 ' On vérifie expérimentalement, dans ce cas, la conservation de la quantité de mouvement

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2) Choc élastique :

Le choc entre particules est élastique, si l'énergie cinétique E C du système formé par les deux particules se conserve dans le référentiel d'étude ( R ) : 1 2 .m

1 .v

1 2 + 1 2 .m

2 .v

2 2 = 1 2 .m

1 .v

1 ' 2 + 1 2 .m

2 .v

2 ' 2 Remarque : Si le système n'est pas pseudo isolé la conservation de l'énergie cinétique, lors d'un choc élastique, n'est valable qu'immédiatement avant et immédiatement après le choc. Remarque : Le choc élastique suppose l'absence de toute déformation des surfaces des particules en interaction, ainsi que l'absence de variation de l'énergie interne des particules.

3) Choc inélastique :

Au cours du choc inélastique entre deux particules, seule la quantité de mouvement se conserve dans le référentiel d'étude ( R ) : Remarque : Le choc entre deux corps macroscopiques ne peut pas être rigoureusement élastique, car une petite fraction de l'énergie cinétique du système est transformée en énergie interne (échauffement ou déformation). Remarque : Dans le cas de deux particules à l'échelle atomique, un choc inélastique se traduira par le fait qu'une partie de l'énergie cinétique est transformée en énergie d'excitation électronique ou nucléaire.

III) Choc élastique : 1) Indétermination du problème :

Dans le référentiel d'étude ( R ), la conservation de la quantité de mouvement se traduit par : m 1 .

→ v + m 2 .

→ v = m 1 .

v → 1 ' + m 2 .

→ v 2 ' Ce qui donne trois équations scalaires : m 1 .v

x1 + m 2 .v

x2 = m 1 .v' x1 + m 2 .v' x2 [1] m 1 .v

y1 + m 2 .v

y2 = m 1 .v' y1 + m 2 .v' y2 [2] m 1 .v

z1 + m 2 .v

z2 = m 1 .v' z1 + m 2 .v' z2 [3] La nature élastique du choc, impose : 1 2 .m

1 .v

1 2 + 1 2 .m

2 .v

2 2 = 1 2 .m

1 .v

1 ' 2 + 1 2 .m

2 .v

2 ' 2 [4] Supposons qu'on connaisse les vitesses v → 1 et v → 2 des particules avant le choc. Nous devons déterminer les vitesses → v 1 ' et → v 2 ' des particules après le choc. Il y a donc 6 inconnues (v' x1 , v' x2 , v' y1 , v' y2 , v' z1 et v' z2 ) pour 4 équations : Le problème général sera indéterminé, il faudra donner des informations supplémentaires .

2) Choc élastique dans le référentiel du laboratoire : a) Choc frontal :

- On considère un objet sphérique de masse m 1 , de centre d'inertie G 1 , animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse initialement au repos ( v → 2 = → 0 ), de centre d'inertie G - L'axe Ox, lié au laboratoire, est porté par v → 1 v → 1 et , qui arrive sur un objet sphérique 2 .

passe par le centre d'inertie G 2

de l'objet au repos.

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Exemple : Boule de "pétanque" qui percute de plein fouet, une autre boule au repos. - Le choc étant frontal ( des vitesses v → 1 ' et → v 2 ' v → 1 passe par le centre d'inertie G qui sont portées par l'axe Ox. 2 ), les deux boules repartent avec On note v' 1 = v' x1 et v' 2 = v' x2 , les deux seules mesures algébriques (inconnues) sur l'axe Ox, des vitesses des boules après le choc. Equations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique : 1 2 m 1 .v

1 = m .m

1 .v

1 2 = 1 2 .m

1 .v' 1 .v

1 1 + m ' 2 + 2 1 2 .v' 2 .m

2 .v

2 ' 2 [1] [2] La résolution du système donne : v' 1 = 1 − 1 + m 2 m m m 1 2 1 .v

1 et v' 2 = 1 + 2 m 2 m 1 .v

1 - Si m 2 > m 1 : v' 1 et v 1 sont de signes contraires : la boule G 1 repart en sens inverse. - Si m 2 = m 1 : v' 1 = 0 et v' 2 = v 1 ; les boules échangent leurs vitesses (carreau !). - Si m 2 < m 1 : v' 1 et v 1 sont de même signe : la boule G 1 suit la boule G 2 . Remarque : Lorsque m 2 >> m 1 : nous avons v' 1 = − v 1 et v' 2 = 0. La boule G 1 rebondit sur la boule G 2 qui reste pratiquement immobile (choc élastique sur une paroi).

b) Choc latéral :

- On considère une particule de masse m 1 , de centre d'inertie G 1 , animée d'un → - mouvement rectiligne uniforme de vitesse repos ( v → 1 et v → 2 = → 0 ), de centre d'inertie G 2 .

ne passe pas exactement par le centre d'inertie G 2

de la particule au repos. Exemple : Boule de billard qui percute sur le coté une boule au repos. - C'est un problème à deux dimensions . Equations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique : m 1 .

v → 1 = m 1 .

→ v 1 ' + m 2 .

→ v 2 ' Ce qui donne deux équations scalaires : m 1 .v

x1 = m 1 .v' x1 + m 2 .v' x2 m 1 .v

y1 = m 1 .v' y1 + m 2 .v' y2 [1] [2] La nature élastique du choc, impose : 1 2 .m

1 .v

1 2 = 1 2 .m

1 .v

1 ' 2 + 1 2 .m

2 .v

2 ' 2 Il y a donc 4 inconnues (v' x1 , v' x2 , v' y1 , et v' y2 ) pour 3 équations : [3] Le problème général est indéterminé, il faut donner des informations supplémentaires . - Dans le cas très particulier où m 1 = m 2 = m (boules de billard), on a : m.

v → 1 = m.

→ v 1 ' + m.

→ v 2 ' 1 2 .m.v

1 2 = 1 2 .m.v

1 ' 2 + 1 2 .m.v

2 ' 2

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[1'] [2']

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Soit v → 1 = → v 1 ' + → v 2 ' v 1 2 = v 1 ' 2 + v 2 ' 2 En élevant [1"] au carré Et en comparant avec [2"] → v 1 ' v 1 2 = v 1 ' 2 + v 2 ' 2 + 2.

→ v 1 ' .

→ v 2 est orthogonale à ' = 0 → v 2 ' → v 1 ' .

→ v 2 '

3) Choc élastique dans le référentiel barycentrique :

[1"] [2"] - On considère, à nouveau, le choc d'une particule de masse m 1 , de centre d'inertie G 1 , animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse repos ( v → 2 = → 0 ), de centre d'inertie G 2 v → 1 , qui arrive sur une particule au , dans le référentiel du laboratoire ( R l ). La quantité de mouvement du système formé des deux particules est : → P = m 1 .

v → 1 = (m 1 + m 2 ).

v → G où G est le centre d'inertie du système. Soit → v = → v La vitesse m 1 m + 1 m 2 .

→ v reste constante au cours du choc, comme la quantité de mouvement → P du système des deux particules. - Plaçons nous dans le référentiel barycentrique ( R* ) qui est animé de la vitesse de translation v → G par rapport au référentiel ( R l ). D'après la formule de composition des vitesses, la vitesse référentiel barycentrique est donnée par : Sa quantité de mouvement est : p → 1 * = m 1 .

v → → 1 v 1 * = v → 1 * = m 1 + .( v → 1 v → G − v → G ) v → 1 * de la particule G 1 dans le p → 1 * = m 1 .

v → 1 (1 − m 1 m + 1 m 2 ) = ( m m 1 1 .

+ m m 2 2 ).

v → 1 Soit p → 1 * = µ .

v → 1 où µ = m m 1 1 .

m 2 + m 2 est la masse réduite du système. - Par définition, le point G est fixe dans ( R* ), la quantité de mouvement totale → * → dans ce référentiel, avant et après le choc : → Soit p 1 * + p 2 = → p 1 ' * * 1 + m 2 ).

+ → p 2 ' * = → 0 v → G * = → P est nulle [1] Pour un choc élastique, dans le référentiel barycentrique, on peut écrire : E C * = p 1 * 2 2 .

m 1 + p 2 * 2 2 .

m 2 = p ' 1 * 2 2 .

m 1 + p ' 2 * 2 2 .

m 2

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On en déduit les relations : On en déduit : D'où p → 2 * →  p 1 = * − → p 1 * →  =  p 2 soit p p 1 * 2 = p 1 '* 2 et p 2 * 2 = p 2 '* 2 * →  =  p 1 ' 1 * * 2 = p 2 * →  =  p 2 ' 2 * et p → ' 2 * =  = µ .

 v → 1  − → p 1 ' * soit p 1 '* 2 = p 2 '* 2

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A RETENIR

I) Choc ponctuel entre particules :

On appellera choc ou collision l'interaction entre deux corps, lorsque cette interaction a une durée brève, une étendue réduite et se traduit par une modification importante des vecteurs vitesses des deux corps .

II) Lois de conservation au cours d'un choc : 1) Conservation de la quantité de mouvement :

Au cours du choc entre deux particules (corps) de masses m 1 et m 2 , isolées ou pseudo isolées, la quantité de mouvement totale du système formé des deux particules reste constante dans un référentiel galiléen ( R ) : m 1 .

v → 1 + m 2 .

v → 2 = m 1 .

→ v 1 ' + m 2 .

→ v 2 ' Nous admettrons qu'au cours du choc entre deux particules de masses m 1 et m 2 , non pseudo isolées, la quantité de mouvement mesurée dans le référentiel d'étude ( mouvement du système immédiatement après le choc : R ), du système formé des deux particules immédiatement avant le choc est égale à la quantité de m 1 .

v → 1 + m 2 .

v → 2 = m 1 .

→ v 1 ' + m 2 .

→ v 2 '

2) Choc élastique :

Le choc entre particules est élastique, si l'énergie cinétique E C du système formé par les deux particules se conserve dans le référentiel d'étude ( R ) : 1 2 .m

1 .v

1 2 + 1 2 .m

2 .v

2 2 = 1 2 .m

1 .v

1 ' 2 + 1 2 .m

2 .v

2 ' 2

III) Choc élastique : 2) Choc élastique dans le référentiel du laboratoire : a) Choc frontal :

v' 1 = 1 − m 2 1 + m 1 m 2 m 1 .v

1 et v' 2 = 1 + 2 m 2 m 1 .v

1 - Si m 2 > m 1 : v' 1 et v 1 sont de signes contraires : la particule G 1 repart en sens inverse après le choc. - Si m 2 = m 1 : v' 1 = 0 et v' 2 = v 1 ; les particules échangent leurs vitesses (carreau !). - Si m 2 < m 1 : v' 1 et v 1 sont de même signe : la particule G 1 suit la particule G 2 .

b) Choc latéral :

On démontre que → v 1 ' → v 1 ' .

→ v 2 ' = 0 est orthogonale à → v 2 '

3) Choc élastique dans le référentiel barycentrique :

On montre que →  p 1 * →  =  p 2 * →  =  p 1 ' *  =  → p 2 ' *  = µ .

 v → 1 

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POUR S'ENTRAÎNER

I) Identification d'un noyau.

Un proton de masse m p , lancé à la vitesse de mesure v p = 2 km.s

-1 entre en collision avec un noyau, au repos (v noyau = 0 km.s

-1 ), constitué de protons et de neutrons (m n ≈ m p ). Le proton rebondit sur le noyau et revient à la vitesse de mesure v' p = 1 km.s

-1 alors que le noyau est projeté à la vitesse de mesure v' noyau = 0,25 km.s

-1 . a) Déterminer le nombre de masse du noyau. b) Le choc est-il élastique ?

II) Recul d'une arme.

Une balle de masse m b = 30 g est tirée avec un fusil de masse m f = 5 kg. La balle est éjectée avec une vitesse de mesure v b = 600 m.s

-1 . a) Déterminer la mesure v f de la vitesse initiale de recule du fusil. b) Y a-t-il conservation de l'énergie cinétique ? Expliquer.

III) Obus et blindage.

Un obus de masse m o ≈ 100 g, percute à la vitesse de mesure v o = 600 m.s

-1 , une plaque de blindage de masse m b a) Calculer la mesure v' = 5 kg, immobile. L'obus traverse la plaque de blindage en perdant 2/3 de son énergie cinétique. o de la vitesse de l'obus à la sortir de la plaque de blindage. b) Calculer la mesure v' b de la vitesse de plaque de blindage après la percussion. c) Déterminer la mesure moyenne F de la force de frottement qui a agit sur l'obus sur une longueur L = 10 cm, lors de la perforation.

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