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Dans ce module on ne considère que des écoulements
compressibles internes dans des conduites rectilignes à section
droite à forme constante.
L’écoulement est pris à l’état permanent et on se limite à un fluide
parfait: non visqueux et non conducteur de la chaleur.
Les écoulements compressibles sont caractérisés par une
variation de la masse volumique ρ. Par conséquent, en plus des
équations de conservation de la masse et de la quantité de
mouvement, on doit considérer l’équation de conservation
d’énergie.
À ces équations, on ajoute l’équation d’état des gaz parfaits qui
permet de faire le couplage entre la pression et l’énergie (ou la
température).
Puisque la masse volumique est variable, l’ensemble des
propriétés thermodynamiques est affecté. On fait donc un court
rappel sur ce sujet.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.1 Thermodynamique
9.2 La vitesse du son
9.3 Écoulement adiabatique et isentropique
9.4 Écoulement isentropique avec changement de section
9.5 Choc normal
9.6 Tuyères convergente et convergente-divergente
Ecoulements incompressibles
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de
mouvement
4 équations: 3 pour la quantité de
mouvement + une pour la
conservation de la masse
Ecoulements compressibles
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de
mouvement
Conservation de l’énergie
5 équations: 3 pour la quantité de
mouvement + une pour la
conservation de la masse + une pour
la conservation de l’énergie
L’équation d’état qui lie la pression à
la masse volumique
Nombre de Mach =
vitesse de l'objet (de l'écoulement)
vitesse du son
3.0< Ma
Écoulement hypersonique
1.2< Ma <3.0
Écoulement supersonique
0.8< Ma <1.2
Écoulement transsonique
0.3< Ma <0.8
Écoulement subsonique
Ma <0.3
Écoulement incompressible
Rappel
p = ρ RT
R est le rapport entre la costante universelle Ru=8314.3 J/(kmol K)
et la masse moléculaire du gaz M : R=R u/M
du
 ∂u 
=
cv =

 ∂T v dT
T2
u2 − u1 =
∫ cv dT
T1
Rappel
h= u +
 ∂h 
=
c p =

 ∂T  p
dh
dT
c=
R; =
cp
p − cv
p
ρ
T2
h2 − h1 =
∫ c p dT
T1
kR
;=
cv
k −1
R
;=
k
k −1
cp
cv
Rappel
f
∆s =∫
δ Qrev
i
ds =
δ Qrev
T
T
δ q = δ Qrev
ds =
δq
T
δ q = Td s
Le premier principe 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝑞𝑞 − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
s’écrit donc
Rappel
= Tds − p d v
du
d=
h Tds + vd p
d’où,
Tds =du + pdv =dh − vdp
Formulation du premier principe en fonction de variables d'état
uniquement!
Rappel
Sous la forme Tds, l’équation du premier principe s’écrit
Tds
= dh − vdP
dh = c p dT
v = RT / P
dT
dP
=
ds c p
−R
T
P
Pour un gaz parfait
Rappel
(Cp ≅ constante et Cv ≅ constante)
T2
P2
s2 −
=
s1 c p ln − R ln
T1
P1
T2
V2
s2 −=
s1 cv ln − R ln
T1
V1
Rappel
T2
P2
s2 −
=
s1 c p ln − R ln
T1
P1
cp =
kR
k −1
T2  p2 
=

T1  p1 
 T2 
 p2 
= 
 
 T1  s =const .  p1 
k −1
k
R
Cp
Relation isentropique
lorsque cp=cste.
Définition
Relation
=
p
Relation pression-densite-temperature
f=
( ρ , T ) p ρ RT
Énergie interne par unité de masse
uˆ
Enthalpie par unité de masse
h=
uˆ + p / ρ
Chaleur spécifique à volume constant
cv =
Chaleur spécifique à pression constante
Volume spécifique
cp =
1
ρ
Gaz Parfait
∂uˆ
∂T
∂h
∂T
uˆ (T )
h=
uˆ + RT
cv =
v
dh
duˆ
=
+R
dT dT
c p − cv =
R
=
cp
p
duˆ
dT
= c p − cv
R
c

1
=
R cv  p − 1 
cv = R
k −1
 cv
 ⇒

k
cp

=
c
R
k=
p

k −1
cv

Air
k = 1.4
ft 2
m2
=
=
R 1716
287 2
s2  R
s K
ft 2
m2
=
cv 4293
=
718 2
s2  R
s K
ft 2
m2
=
c p 6009
=
1005
s2  R
s2 K
La variation d’énergie interne et d’enthalpie d’un
gaz parfait à chaleur spécifique constante
=
s1 s=
c p cste.
2,
cv
R
cv / R
cp
R
cp / R
 T2 
 ρ2 
 ρ 2   T2 
=
⇒
 
 
 =  
 T1 
 ρ1 
 ρ1   T1 
 T2 
 p2 
 p2   T2 
  =   ⇒  =  
 T1 
 p1 
 p1   T1 
k
k −1
T 
=  2
 T1 
1
k −1
T 
=  2
 T1 
k
k −1
 p2   T2 
 ρ2 
=
=
   
 
 p1   T1 
 ρ1 
k
k
 ρ 2  p1
p
=
⇒
1
= cst
 
k
p
ρ
ρ
 1 2
Exemple 9.1
De l’argon s’écoule dans un tube. La condition initiale est:
𝑝𝑝1 = 1.7 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀, 𝜌𝜌1 = 18 𝑘𝑘𝑘𝑘⁄𝑚𝑚3 , tandis que l’état final est 𝑝𝑝2 = 248 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎, 𝑇𝑇2 = 400𝐾𝐾
Estimer (a) la température initiale, (b) la masse volumique finale, (c) le
changement d’enthalpie, et (d) le changement d’entropie
Solution
(
)
Les propriétés =
de l’argon
R 208
=
m 2 / s 2 K et k 1.67
a) Calcul de T1:
b) Calcul de ρ2:
p1
T1 =
454 K
=
ρ1 R
=
ρ2
p2
=
2.98 kg / m3
T2 R
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
Exemple 9.1 (suite)
T1 = 454 K
T2 = 400 K
Solution
(
)
Les propriétés de
l’argon
=
R 208
=
m 2 / s 2 K et k 1.67
c) Calcul de Δh:
h2 − h=
c p (T2 − T1 )
1
cp =
kR
k −1
∆h =−28000 J / kg
d) Calcul de Δs:
T 
p 
=
s2 − s1 c p ln  2  − R ln  2 
 T1 
 p1 
∆s =334 m 2 / ( s 2 K )
p1 = 1.7 MPa
p2 = 288kPa
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.1 Thermodynamique
9.2 La vitesse du son
9.3 Écoulement adiabatique et isentropique
9.4 Écoulement isentropique avec changement de section
9.5 Choc normal
9.6 Tuyères convergente et convergente-divergente
Idée
Une forme permettant de caractériser la compressibilité d’un
fluide, est d’évaluer la vitesse avec laquelle se propagent des
petites perturbations au sein de celui-ci. Cette vitesse correspond
à la vitesse du son.
Pour évaluer la vitesse du son, on imagine une perturbation de
pression infinitésimale dp,créée par le déplacement d’un piston
avec une vitesse infinitésimale dc à l’extrémité d’un tube.
La perturbation se propage dans le tube sous la forme d’une onde
plane avec une vitesse c.
ρ
T
D
Vitesse c
ρ
T
D
Vitesse c
ρ
T
D
Vitesse c
D
ρ
P
T
v=0
ρ+Δρ
p + Δp
T +ΔT
Δv
Vitesse c
ρ
T
Vitesse du son
ρ + Δρ
ρ
D
ρ
T
p + Δp
T+ΔT
v=c-Δv
P
T
v=c
Vitesse c
∆V =
C
ρ AC=
( ρ + ∆ρ ) A ( C − ∆V )
∆ρ
ρ + ∆ρ
Vitesse du son
ρ
D
P
T
v=c
ρ + Δρ
p + Δp
T+ΔT
v=c-Δv
ρ AC ( −∆V ) = −∆pA
m (Vout − Vin=
) pA − ( p + ∆p ) A
ρ
T
∆p= ρ C ∆V
Vitesse du son
ρ
P
T
v=c
D
∆p= ρ C ∆V
∆V =
C
∆ρ
ρ + ∆ρ
∆p =ρ C 2
ρ +Δρ
p + Δp
T+ΔT
v=c-Δv
∆ρ
ρ + ∆ρ
∂p
∆p
ρ
= lim
= C 2 lim = C 2
∆ρ → 0 ρ + ∆ρ
∂ρ ∆ρ →0 ∆ρ
ρ
T
La vitesse du son correspond à la vitesse de
propagation d’une perturbation dans un
fluide.
Si les gradients de vitesse et de température
produits par l’onde deviennent si petits que
les contraintes de cisaillement et le transfert
de chaleur sont négligeables, il s’agit d’une
onde acoustique.
Par conséquent, le mouvement du fluide lié à
une onde acoustique est isentropique.
C= a=
∂p
∂ρ
s
Gaz parfait
Avec l'équation d'état et la relation isentropique, on a
p = ρ RT
k
=
p cnst × ρ
 ∂p 
ρk
p
k −1
=
×
×
=
×
×
=
const
k
ρ
k
const
k


∂
ρ
ρ
ρ

s
de sorte que
 ∂p 
p
=
=
RT


ρ
 ∂ρ T
 ∂p 
 ∂p 
=
k




∂
∂
ρ
ρ

s

T
 ∂p
a = 
 ∂ρ
1/2


s
a = kRT
Interprétation alternative
• Soit un milieu fluide non visqueux avec les propriétés p0 ,ρ0,s0 au
repos
• On considère une perturbation de pression infinitésimal et on
effectue un développement en série de Taylor
 ∂p 
1  ∂2 p 
2
∆p = p − p0 =   ( ρ − ρ0 ) +  2  ( ρ − ρ0 ) + ...
2  ∂ρ  s
 ∂ρ  s
• On appelle vitesse du son la grandeur a telle que
 ∂p 
a=  
 ∂ρ  s
Exemple 9.2
On a du monoxide de carbone à: 𝑝𝑝 = 200 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑇𝑇 = 3000𝐶𝐶 . On doit estimer la
vitesse du son.
Solution
(
)
Les propriétés du
CO sont R 297
=
=
m 2 / s 2 K et k 1.4
T = 300 + 273 = 573 K
Vitesse du son
=
a
=
kRT 488 m / s
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
9.1
9.2
9.3
9.3
9.4
9.5
9.6
9.1 Thermodynamique
9.2 La vitesse du son
9.3 Écoulement adiabatique et isentropique
9.4 Écoulement isentropique avec changement de section
9.5 Choc normal
9.6 Tuyères convergente et convergente-divergente
Lorsqu’on tient compte de l’énergie, on découvre une couche
limite thermique semblable à la couche limite dynamique.
L’épaisseur de la couche limite thermique, est en général
différente de celui de la couche limite dynamique. Tout comme
l'épaisseur de la couche limite hydrodynamique, elle est liée à la
vitesse de l'écoulement.
Le rapport entre les épaisseurs des deux couches limites est
donné par le paramètre adimensionnel connu sous le nom de
nombre de Prandtl.
Le fluide courant étant parfait, l’intérêt est porté iniquement sur
les phénomènes à l’extérieur ou sans une couche limite.
On suppose un écoulement compressible permanent au
voisinage d’une paroi adiabatique.
Entre deux points, l’équation unidimensionnelle d’énergie à
l’état permanent peut s’écrire:
V12
V22
h1 +
+ gz1 =h2 +
+ gz2 − q + wv
2
2
Si l’on néglige la variation d’énergie potentielle et en absence
d’un travail à l’arbre, on trouve:
V12
V22
h1 +
+ gz1 =h2 +
+ gz2 − q + wv
2
2
V12
V22
h1 +
=h2 +
=cst
2
2
Grandeur d’arrêt: on appelle état d’arrêt, totale, ou de stagnation,
l’état que prends toute variable de l’écoulement si on l’amenait au
repos de manière adiabatique et réversible, donc isentropique
On note par h0 l’enthalpie d’arrêt, totale ou de stagnation. Elle
représente la combinaison de l’énergie cinétique avec l’enthalpie
V2
h0= h +
2
h0
V2
h0= h +
2
La valeur atteinte par h lorsque le fluide est emmené au repos selon un
processus adiabatique réversible.
h0
T0
∫ dh = ∫ c
h
p
dT
h0 −=
h c p (T0 − T )
T
V2
T0= T +
2c p
Remarque
V2
h0= h +
2
V2
T0= T +
2c p
Il est important de noter que ces relations sont valables dans tout
écoulement adiabatique. Donc, aussi valides dans un écoulement
avec génération d’entropie, du moment qu’il n’y a pas transfert de
chaleur.
Ceci est particulièrement important dans un écoulement
présentant une onde de choc, à travers laquelle l’entropie
augmente, mais la température totale T0 demeure constante
h0
v2
h0 = h +
2
h0
gz1.
 V22 
 
 2 .
gz 2
T01
 V22

 2C
p

T2



.
Ma =
V
a
a = kRT
kR
cp =
k −1
V2
T0= T +
2c p
T0
k −1
= 1+
Ma 2
T
2
p0  k − 1

= 1 +
Ma 2 
p 
2

k / k −1
1/ k −1
ρ0  k − 1 2 
= 1 +
Ma 
ρ 
2

T0
k −1
= 1+
Ma 2
T
2
Pour un processus isentropique, l’entropie de l’état de stagnation
est la même que celle du fluide au repos
La température de stagnation Τ0 est supérieure à la température
statique Τ
La différence entre ces deux températures correspond à l’énergie
cinétique du fluide
V2
T0 − T =
2c p
La vitesse est maximale si T=0
Puisque
a
=
kRT et a0
T0
k −1
Ma 2
= 1+
T
2
kRT0
a0
T0
k −1
=
Ma 2 =
1+
a
2
T
Pour Ma=1
 k −1

=
T0 T 1 +
Ma 2 
2


T *  k +1 
=

T0  2 
T* température critique
V* vitesse critique
 k −1 
=
T0 T * 1 +

2 

=
V*
a* vitesse du son crítique
−1
2kRT0
=
a*
k +1
Par définition, les quantités critiques correspondent à une section de
l’écoulement où Ma=1
∗
p  2 
=

p0  k + 1 
p = ρRT
k / k −1
T∗  2 
=

T0  k + 1 
1/ k −1
ρ∗  2 
=
ρ0  k + 1 
Nous
regarderons la
La thermodynamique
projection enthalpie-entropie
est 3D
Transformation irreversible
Transformation à s=cte
p0
p0 − r
Si le processus est isentropique
V2
h+
=
h0
2
h0
2
V
2
Pour un processus réel:
Même h0, différent p0
h
s
Tds
= dh − vdp
ds = 0
V2
h0= h +
2
dh = dp / ρ
dh + VdV =
0
dp V 2
cst
∫ρ+ 2 =
dp / ρ + VdV =
0
Série
n(n − 1) 2
x + O( x3 )
(1 + x) =+
1 nx +
2!
n
p0  k − 1
2
= 1 +
Ma 
p 
2

k / k −1
p0
k
k
=
1 + Ma 2 + Ma 4 + O( Ma 6 )
p
2
8
n=
k
k −1
x=
k −1
Ma 2
2

1
M2
2
=
p0 − p
pkM 1 +
+ O( M 4 ) 
2
4


2
1
1
V
1 pk 2 1
=
pkM 2 =
pk 2
=
V
ρV 2
2
2
a
2 kRT
2
1
M
2
4 
p=
+ O( M ) 
ρV 1 +
0 − p
2
4


2
Pour M < 0.3
p0 − p ≈
1
ρV 2
2
14
c p cv = 1.4
12
10
ρ0 ρ
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
Ma
2
2.5
3
Air (k=1.4)
T0
k −1
= 1+
Ma 2
T
2
p0 
k −1

Ma 2 
= 1 +
p
2


V2
c pT +
=
c pT0
2
T*
=
T0
T0
= 1 + 0.2 Ma 2
T
a0
T0
k −1
a0
=
Ma 2 =
1+
=
a
T
2
a
ρ0 
k −1

= 1 +
Ma 2 
2
ρ


Valeurs critiques:
Ma=1, air (k=1.4)
k
k −1
1
k −1
1 + 0.2 Ma
p0
=
p
(1 + 0.2Ma )
ρ0
=
ρ
(1 + 0.2Ma )
2
2
a*
=
a0
2
3.5
2.5
2
= 0.9129
k +1
k
k −1
p
 2 
= =
0.5283

p0  k + 1 
*
1
ρ *  2  k −1
0.6339
= =
ρ 0  k + 1 
  p  2/7

  ρ  2/5

 T0

0
Ma = 5  − 1 = 5  
− 1 = 5   0  − 1





T

 ρ 

 p 

2
2
= 0.8333
k +1
*
V=
*
a=
kRT *
Exemple 9.3
De l’air s’écoule dans un tube sans transfert de chaleur (adiabatique). Au point 1
𝑝𝑝1 = 170 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑇𝑇1 = 320𝐾𝐾, 𝑉𝑉1 = 240 𝑚𝑚/𝑠𝑠 . Au point 2 𝑝𝑝2 = 145 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎, 𝑉𝑉2 = 290 𝑚𝑚/𝑠𝑠
Estimer (a) T01, (b) p01 , (c) ρ01, (d) Ma1, (e) Vmax, (f) V* , et (g) p02.
Solution
Les propriétés de l’air
a) Calcul de T01:
=
R 287 m 2 / ( s 2 K=
=
c p 1005 m 2 / ( s 2 K )
) , k 1.4,
V12
349 K
T01 =
T1 +
=
2c p
a*
=
a0
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
2
k +1
T02 = T01
=
Vmax
*
*
V=
a=
=
2c pT01 837 m / s
2k
RT01= 342 m / s
k +1
Exemple 9.3 (suite)
Solution
=
Ma
1
T

5  01 −=
1 0.67
 T1

T0
k −1
Ma 2
= 1+
T
2
p0 
k −1

= 1 +
Ma 2 
p 
2

p01 =
p1 (1 + 0.2 Ma12 )
ρ 01
=
3.5
k
k −1
=
230kPa
p01
=
2.29 kg / m3
RT01
Calcul de T2 ,p2
V22
T2 =T02 −
=307 K
2c p
Forme alternative
Ma
=
2
k
k −1
 T02 
=
211 kPa
p02 p=

2
T
 2 
T

5  02 −=
1 0.83
 T2

p02 =
p2 (1 + 0.2 Ma
2
2
)
3.5
=
212kPa
p02 est 8% de moins que p01 car l’écoulement n’est pas isentropique entre 1 et 2
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.1 Thermodynamique
9.2 La vitesse du son
9.3 Écoulement isentropique
9.4 Écoulement isentropique avec changement de section
9.5 Choc normal
9.6 Tuyères convergente et convergente-divergente
On examine l’effet de la variation de section d’une conduite
sur un écoulement compressible. Le problème est
unidimensionnel et les variables ne dépendent que de la
coordonnée x normale à la section, c’est-à-dire, le long de
l’axe de la conduite. À l’état stationnaire, 𝑚𝑚̇ = 𝜌𝜌𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.,
de sorte que 𝑑𝑑 𝜌𝜌𝑉𝑉𝑉𝑉 = 0, donc
d ρ dA dV
+
+
=
0
ρ
A V
L’écoulement étant isentropique
dp
+ VdV =
0
ρ
et à partir de
on trouve
 ∂p 
2
=
dp =
d
a
dρ
ρ

 ∂ρ  s
dρ
V
0
=
− 2 dV =
a
ρ
dρ
ρ
=
dp
ρ a2
dρ
Ma 2
=
−
dV =
0
ρ
V
dρ
Ma 2
=
−
dV =
0
ρ
V
d ρ dA dV
+
+
=
0
ρ
A V
dA
dV
dp
=
( Ma 2 − 1)
=
−( Ma 2 − 1)
A
V
ρV 2
Ce résultat révèle, selon que l’écoulent soit subsonique ou
supersonique, la forme à donner à la conduite pour effectuer une
compression ou une détente. Pour le cas d’une tuyère, conçue
pour accélérer un fluide, elle doit être convergente (dA < 0)⤇dp < 0,
si l’écoulement est subsonique (Ma < 1) et divergente (dA > 0) ⤇
dp < 0, si l’écoulement est supersonique( Ma > 1).
On peut illustrer des cas décrits par l’équation “aire-vitesse-Mach”
dA
dV
= ( Ma 2 − 1)
A
V
M <1
Subsonique
M <1
Subsonique
A diminue
V augmente
p diminue
A augmente
V diminue
p augmente
A augmente
V augmente
M >1
Supersonique
M >1
Supersonique
p diminue
A diminue
V diminue
p augmente
dA
dV
2
= ( Ma − 1)
A
V
dA
M
dV/V
dp/p
-<1
+
--
->1
-+
+
<1
-+
+
>1
+
--
En régime subsonique la section et la vitesse varient en sens
opposés, tandis qu’en régime supersonique, la section et la
vitesse varient dans le même sens.
On voit que l’équation précédente donne une accélération infinie
au point sonique (Ma=1). Mathématiquement, il s’agit d’une
singularité!
dV dA 1
=
V
A Ma 2 − 1
La seule solution est dA=0 à Ma=1. C’est-à dire pour un minimum
ou un maximum A.
Pour la combinaison d’un divergent suivi d’un convergent, donc a
section maximale, le divergent entraine la diminution du nombre
de Mach lors d’un écoulement subsonique, ou fait augmenter le
nombre de Mach, s’il s’agit d’un écoulement supersonique. Il ne
peut donc pas y avoir un écoulement sonique pour cette
combinaison à section maximale.
Dans le cas d’une combinaison a section minimale, soit d’un
convergent suivi d’un divergent, l’effet contraire se produit sur
l’écoulement et un écoulement sonique peut avoir lieu au col.
La seule configuration physique qui permet d’accélérer un
écoulement est le col
Conditions de
stagnation
V = V0 = 0
h0, T0, ρ0, p0, s0
Réservoir
Conditions soniques
Conditions de
stagnation
V = V0 = 0
V = V *= a*
Réservoir
h*,T* ρ*, p*, s*
Grandeurs de stagnation ou d’arrêt
Grandeurs soniques
Une propriété ou grandeur de stagnation est
définie en un point de l’écoulement où la vitesse
est nulle
Une propriété ou grandeur sonique est définie en
un point où la vitesse est égale à la vitesse locale
du son
Notation
h0, T0, ρ0, p0, s0
Notation
h*, T*, ρ*, p*, s*
Caractéristique
V = V0 = 0
Caractéristique
V = V* = a*
Il est pratique de relier le nombre de Mach à une section donnée,
à l’aire de cette même section. Ceci peut s’obtenir en considérant
la conservation du débit massique 𝒎𝒎̇ le long de la conduite
Au col, M = 1 (conditions soniques)
ρ*, V*, A*
Reste de la tuyère, M ≠ 1
=
m ρ=
VA ρ *V * A*
A ρ * V * ρ * a* ρ * ρ 0 a*
=
= =
*
ρ V
ρ V ρ0 ρ V
A
ρ, V, A
ρ
 2 
=
ρ0  k + 1 
*
A ρ * V * ρ * a* ρ * ρ 0 a*
=
= =
*
ρ V
ρ V ρ0 ρ V
A
k −1

2 
+
1
Ma

A
1 
2
=


*
A
Ma  1 + k − 1 


2
1
k −1
ρ0  k − 1 2 
= 1+
Ma 
2
ρ 

k +1
2( k −1)
Aire adimensionnelle
référée à l’aire critique
1
k −1
Branche subsonique
Branche supersonique
A
A
A*
Au col, M = 1 (conditions soniques)
Reste de la tuyère, M ≠ 1
ρ, V, A
ρ*, V*, A*
V
V∗
 2 


 k +1
k
k −1
∗
 k −1
2
+
1
Ma


2


γ
1
V
A ρ
=
V∗
A ρ
∗
ρ  p  γ  2  γ −1  p 
=  ∗  = 
  
∗
ρ  p   γ + 1   p0 
−
1
k −1
 k −1
2 
+
1
Ma


2
Ma 
k −1 
 1+



2
−
1
γ
k +1
2( k −1)
Vitesse adimensionnelle
référée à la vitesse critique
Toutes les variables sans dimension
peuvent être exprimées en fonction
d’une seule: le nombre de Mach Ma
Le rapport A/A* est minimum si Ma=1
Un
même
rapport
A/A*
peut
correspondre
à
un
écoulement
subsonique et à un écoulement
supersonique.
T0 T
A A*
V V*
1
p p0
1
Ma
Subsonique
M
A/A*
0
Inf
0.0500 11.5914
0.1000 5.8218
0.1500 3.9103
0.2000 2.9635
0.2500 2.4027
0.3000 2.0351
0.3500 1.7780
0.4000 1.5901
0.4500 1.4487
0.5000 1.3398
0.5500 1.2549
0.6000 1.1882
0.6500 1.1356
0.7000 1.0944
0.7500 1.0624
0.8000 1.0382
0.8500 1.0207
0.9000 1.0089
0.9500 1.0021
p/p 0
1.0000
0.9983
0.9930
0.9844
0.9725
0.9575
0.9395
0.9188
0.8956
0.8703
0.8430
0.8142
0.7840
0.7528
0.7209
0.6886
0.6560
0.6235
0.5913
0.5595
ρ/ρ 0
1.0000
0.9988
0.9950
0.9888
0.9803
0.9694
0.9564
0.9413
0.9243
0.9055
0.8852
0.8634
0.8405
0.8164
0.7916
0.7660
0.7400
0.7136
0.6870
0.6604
Supersonique
Τ/Τ 0
1.0000
0.9995
0.9980
0.9955
0.9921
0.9877
0.9823
0.9761
0.9690
0.9611
0.9524
0.9430
0.9328
0.9221
0.9107
0.8989
0.8865
0.8737
0.8606
0.8471
V/V*
0
0.0548
0.1094
0.1639
0.2182
0.2722
0.3257
0.3788
0.4313
0.4833
0.5345
0.5851
0.6348
0.6837
0.7318
0.7789
0.8251
0.8704
0.9146
0.9578
M
1.0000
1.0500
1.1000
1.1500
1.2000
1.2500
1.3000
1.3500
1.4000
1.4500
1.5000
1.5500
1.6000
1.6500
1.7000
1.7500
1.8000
1.8500
1.9000
1.9500
2.0000
A/A*
1.0000
1.0020
1.0079
1.0175
1.0304
1.0468
1.0663
1.0890
1.1149
1.1440
1.1762
1.2116
1.2502
1.2922
1.3376
1.3865
1.4390
1.4952
1.5553
1.6193
1.6875
p/p 0
0.5283
0.4979
0.4684
0.4398
0.4124
0.3861
0.3609
0.3370
0.3142
0.2927
0.2724
0.2533
0.2353
0.2184
0.2026
0.1878
0.1740
0.1612
0.1492
0.1381
0.1278
ρ/ρ 0
0.6339
0.6077
0.5817
0.5562
0.5311
0.5067
0.4829
0.4598
0.4374
0.4158
0.3950
0.3750
0.3557
0.3373
0.3197
0.3029
0.2868
0.2715
0.2570
0.2432
0.2300
Τ/Τ 0
0.8333
0.8193
0.8052
0.7908
0.7764
0.7619
0.7474
0.7329
0.7184
0.7040
0.6897
0.6754
0.6614
0.6475
0.6337
0.6202
0.6068
0.5936
0.5807
0.5680
0.5556
V/V*
1.0000
1.0411
1.0812
1.1203
1.1583
1.1952
1.2311
1.2660
1.2999
1.3327
1.3646
1.3955
1.4254
1.4544
1.4825
1.5097
1.5360
1.5614
1.5861
1.6099
1.6330
Formule très utilisée
P
=
m ρ=
VA
VA
RT
m
P
=
k kRT MaA
kRT
=
m
Pk
P
=
VA
kaMaA
kRT
kRT
P
kMaA
kRT
m =
P
kMaA
kRT
Formule très utilisée
P
m =
kMaA
kRT
T0  k − 1

= 1 +
Ma 2 
T 
2

m RT0
 k −1 2 
= Ma k 1 +
M 
P0 A
2


−
k
p0  k − 1
 k −1
Ma 2 
= 1 +
p 
2

ρ0  k − 1 2 
Ma 
= 1+
2
ρ 

k +1
2( k −1)
Si dans une conduite l’écoulement est sonique au col, alors le débit
massique est maximal: on dit que l’écoulement est étranglé (choked).
1
k −1
Écoulement étranglé
La formule générale du calcul du débit, se simplifie lorsque
l’écoulement est étranglé (Ma=1 dans la formule précédente):
m max
k +1
2( k −1)
p0  2 
1/2
 2 
*
ρ0 ( RT0 ) A k 
k=



1
+
k
a0  k + 1 


1/2
Si le fluide est de l’air (k=1.4), cette dernière devient:
Dans ces relations: A*=aire du col= aire critique
k +1
2( k −1)
A*
Exemple 9.4
De l’air s’écoule isentropiquement dans une conduite. Au point 1 on a
𝑝𝑝1 = 500 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑇𝑇1 = 470𝐾𝐾, 𝑉𝑉1 = 180 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝐴𝐴1 = 0.05𝑚𝑚2 .
a)Estimez 𝑝𝑝01 , 𝑇𝑇01 , 𝑀𝑀𝑀𝑀1 , 𝐴𝐴∗ , 𝑚𝑚̇ , b) Au point 2E(subsonique) 𝐴𝐴 = 0.036𝑚𝑚2 , on doit
trouver 𝑝𝑝2 , 𝑀𝑀𝑀𝑀2 , c) Au point 2F(supersonique) 𝐴𝐴 = 0.036𝑚𝑚2 , on doit trouver
𝑝𝑝2 , 𝑀𝑀𝑀𝑀2
2𝐸𝐸
2𝐹𝐹
T1 = 470 K
p1 = 500kPa
V1 = 180m / s
𝐴𝐴 = 0.05𝑚𝑚2
𝐴𝐴 = 0.036𝑚𝑚2
𝐴𝐴 = 0.036𝑚𝑚2
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
Exemple 9.4 (suite I)
Solution
Les propriétés de l’air
a) Calcul de T01:
𝑝𝑝1 = 500 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑇𝑇1 = 470𝐾𝐾,
𝑉𝑉1 = 180 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝐴𝐴1 = 0.05𝑚𝑚2 .
=
R 287 m 2 / ( s 2 K=
=
c p 1005 m 2 / ( s 2 K )
) , k 1.4,
V12
486 K
T01 =
T1 +
=
2c p
=
a1
Ma=
1
=
kRT1 435 m / s
V1
= 0.414
a1
p01 =
p1 (1 + 0.2 Ma
)
2 3.5
1
=
ρ1
RT1
= 3.71kg / m3
p1
=
563kPa
Exemple 9.4 (suite II) 𝑝𝑝1 = 500 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑇𝑇1 = 470𝐾𝐾,
𝑉𝑉1 = 180
Solution
A1
A*
1 (1 + 0.2Ma )
=
2 3
1
Ma1
1.728
1.547
𝑚𝑚
, 𝐴𝐴1
𝑆𝑆
= 0.05𝑚𝑚2 , 𝑀𝑀𝑀𝑀1 = 0.414
A1
=
A* =
0.0323m 2
1.547
Calcul du débit massique au point 1: méthode 1 =
m ρ=
33.4kg / s
1 AV
1 1
*
p
A
01
Calcul du débit massique au point 1: méthode
2
=
m 0.6847
= 33.4kg / s
RT01
Exemple 9.4 (suite III)
Solution
Pour déterminer le nombre de Mach au point 2, on doit résoudre cette
équation non linéaire. Pour ce faire, on peut appliquer une méthode numérique
ou bien utiliser des tables
A2 0.036
1
=
=
1.115
=
A* 0.0323
Ma2
(1 + 0.2Ma )
La réponse exacte en
régime subsonique est:
2 3
2
1.728
p2
Ma2 = 0.6758 =
p01
415kPa
=
2 3.5
(1 + 0.2Ma2 )
Exemple 9.4 (suite IV)
Solution au point 2E(subsonique): avec la table
Subsonique
M
0.65 +
Ma2 =
0.7 − 0.65
(1.0944 − 1.115) =0.675
1.0944 − 1.1356
A/A*=1.115
A/A*
0
Inf
0.0500 11.5914
0.1000 5.8218
0.1500 3.9103
0.2000 2.9635
0.2500 2.4027
0.3000 2.0351
0.3500 1.7780
0.4000 1.5901
0.4500 1.4487
0.5000 1.3398
0.5500 1.2549
0.6000 1.1882
0.6500 1.1356
0.7000 1.0944
0.7500 1.0624
0.8000 1.0382
0.8500 1.0207
0.9000 1.0089
0.9500 1.0021
p/p 0
1.0000
0.9983
0.9930
0.9844
0.9725
0.9575
0.9395
0.9188
0.8956
0.8703
0.8430
0.8142
0.7840
0.7528
0.7209
0.6886
0.6560
0.6235
0.5913
0.5595
ρ/ρ 0
1.0000
0.9988
0.9950
0.9888
0.9803
0.9694
0.9564
0.9413
0.9243
0.9055
0.8852
0.8634
0.8405
0.8164
0.7916
0.7660
0.7400
0.7136
0.6870
0.6604
Τ/Τ 0
1.0000
0.9995
0.9980
0.9955
0.9921
0.9877
0.9823
0.9761
0.9690
0.9611
0.9524
0.9430
0.9328
0.9221
0.9107
0.8989
0.8865
0.8737
0.8606
0.8471
V/V*
0
0.0548
0.1094
0.1639
0.2182
0.2722
0.3257
0.3788
0.4313
0.4833
0.5345
0.5851
0.6348
0.6837
0.7318
0.7789
0.8251
0.8704
0.9146
0.9578
Exemple 9.4 (suite V)
Solution au point 2F(supersonique): avec la table
2
1 (1 + 0.2Ma2 )
= 1.115
Ma2
1.728
M
3
A2
A*
Ma2 = 1.4
p2
A/A*=1.115
p01
177 kPa
=
2 3.5
(1 + 0.2Ma2 )
A/A*
Supersonique
ρ/ρ 0
p/p 0
Τ/Τ 0
V/V*
1.0000 1.0000 0.5283 0.6339 0.8333 1.0000
1.0500 1.0020 0.4979 0.6077 0.8193 1.0411
1.1000 1.0079 0.4684 0.5817 0.8052 1.0812
1.1500 1.0175 0.4398 0.5562 0.7908 1.1203
1.2000 1.0304 0.4124 0.5311 0.7764 1.1583
1.2500 1.0468 0.3861 0.5067 0.7619 1.1952
1.3000 1.0663 0.3609 0.4829 0.7474 1.2311
1.3500 1.0890 0.3370 0.4598 0.7329 1.2660
1.4000 1.1149 0.3142 0.4374 0.7184 1.2999
1.4500 1.1440 0.2927 0.4158 0.7040 1.3327
1.5000 1.1762 0.2724 0.3950 0.6897 1.3646
1.5500 1.2116 0.2533 0.3750 0.6754 1.3955
1.6000 1.2502 0.2353 0.3557 0.6614 1.4254
1.6500 1.2922 0.2184 0.3373 0.6475 1.4544
1.7000 1.3376 0.2026 0.3197 0.6337 1.4825
1.7500 1.3865 0.1878 0.3029 0.6202 1.5097
1.8000 1.4390 0.1740 0.2868 0.6068 1.5360
1.8500 1.4952 0.1612 0.2715 0.5936 1.5614
1.9000 1.5553 0.1492 0.2570 0.5807 1.5861
1.9500 1.6193 0.1381 0.2432 0.5680 1.6099
2.0000 1.6875 0.1278 0.2300 0.5556 1.6330
=
R 287 m2 / ( s 2 K=
=
c p 1005 m2 / ( s 2 K )
) , k 1.4,
Exemple 9.5
On désire accélérer de l’air (k=1.4) du repos à 𝒑𝒑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌, 𝑻𝑻𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓, au travers
un col, jusqu’à Ma =2.5 à la sortie(e), Le débit massique est 𝒎𝒎̇ = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑/𝒔𝒔. Considérez
un écoulent isentropique et estimez 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 , 𝒑𝒑𝒆𝒆 , 𝑻𝑻𝒆𝒆 , 𝑽𝑽𝒆𝒆 , 𝑨𝑨𝒆𝒆
Solution
Sortie supersonique => col sonique => Acol=A*
p0 A*
m 0.6847
= 3kg / s
RT0
pe
*
Acol
= A=
0.00830m 2
(
)
3
2
p0
1
+
0.2
Ma
A
1
e
11.7
=
kPa
=
=
2.64
3.5
2
*
1
0.2
+
Ma
A
Ma
1.728
(
)
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
=
Ae 2.64
=
A* 0.0219m 2
=
R 287 m2 / ( s 2 K=
=
c p 1005 m2 / ( s 2 K )
) , k 1.4,
Exemple 9.5 (suite)
Solution
Sortie supersonique => col sonique => Acol=A*
Te
T0
222 K
=
1 + 0.2 Ma 2
=
ae
=
kRTe 299m / s
=
Ve a=
747 m / s
e Ma
Dans la seconde partie
Nous allons regarder le choc
normal et les écoulements
dans les tuyères
convergentes-divergentes