Transcript Introduction à l`Hydrogéologie (Hydraulique souterraine) (Séance 1/2).

Cours CTN 504
Mécanique des sols
L i L i , ing., Ph.D
Professeur en géotechnique
Département de génie de la construction
Bureau: A-1484
Courriel: [email protected]
Éteindre vos cellulaires, SVP!
Références supplémentaires:
Cedergren, H.R. 1989. Seepage, drainage and flow nets. 3rd edition, John Wiley & Sons
McCarthy, D.F. 2002. Essentials of soil mechanics and foundation: Basi geotechnics. 6th edition,
Prentice Hall.
Philipponnat, G. 1979. Fondation et ouvrages en terre. Éditions Éyrolles.
Écoulement d'eau souterraine
Une introduction à l'Hydro-géologie
(Séance 1)
Introduction
"L'eau, une source de vie, est une source de souci pour l'ingénieur"
Quelques notions sur l'eau souterraine:
― Terrains aquifères. Terrains dans lesquels l'eau circule avec des débits importants.
E.g., sols ou roches perméables;
― Terrains aquifuges. sols ou roches peu ou imperméables;
― Surface de la nappe. Surface de l'eau limitant la partie supérieure de la nappes;
― Nappe libre. Nappe où la pression interstitielles de l'eau au niveau de la surface
est nulle;
― Nappe phréatique. Première nappe libre rencontrée depuis la surface. La surface
de cette nappe s'appelle le niveau phréatique;
― Nappe artésienne. Nappe pour laquelle la pression de l'eau à la surface de la
nappe est positive. C'est le cas d'un écoulement artésien ou confiné.
Rappel de quelques notions
de mécanique des fluides
En mécanique des fluides, les écoulements peuvent être distingués de:
- Permanents vs transitoires (temps);
- Laminaires ou turbulent (forme);
L'eau est généralement considérée comme incompressible.
Un gradient hydraulique i est définit comme la perte de charge par unité
de longueur:
où h = perte de charge
l = longueur d'écoulement.
Vitesse et régime d'écoulement
Loi de Darcy
Quelques principes de mécanique des fluides
Loi de conservation de la masse:
Cette équation est appelée aussi Équation de continuité.
Équation (d'énergie) de Bernoulli:
Équation de Bernoulli exprimée en charge:
charge de
pression
charge de
vitesse
charge de
position
Prise en compte de la perte de charge, hf:
Loi de Darcy:
où A = aire d'une surface transversale;
q = débit total à travers la surface transversale, A;
v = vitesse d'écoulement;
k = coefficient de perméabilité (appelé aussi conductivité
hydraulique);
h = perte de charge
l = longueur d'écoulement
Vitesse réelle vs. vitesse apparente
Considérons une longueur unitaire:
n
Vv

V
v  nv s
ou
Av  1
A 1

Av
A
vs  v / n
où v = vitesse apparente d'écoulement dans le sol
vs = vitesse réelle d'écoulement à travers les vides (pores)
Applicabilité de la loi de Darcy
Sols
Applicable
Remarques
Sable propre
Oui
Sol de base pour l'élaboration de la loi
Graviers très propres ou de
remblais d'enrochement
Non
Écoulement turbulent
Argile
Pas de consensus
Voir commentaires en bas
Hanson (1960) montre que la vitesse
d'écoulement ne varie pas linéairement avec le
gradient hydraulique.
Holtz et Broms (1972) montre que l'exposant n 
1.5.
Malgré tout, la loi de Darcy est utilisée très
largement dans la pratique.
Perméamètre: mesure de la perméabilité
Au laboratoire, on mesure le coefficient de perméabilité soit
par essai à charge constante ou par essai à charge variable.
Perméamètre à charge constante
L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie pendant un certain temps en
maintenant le niveau d'eau d'alimentation constant:
Q  qt  v At  k i At  k
h
At
L
d'où vient l'équation suivante:
k 
Q L
h A t
où Q = quantité d'eau collecté pendant l'intervalle de temps, t
q = débit total à travers l'échantillon, A;
A = aire de l'échantillon de la coupe-section horizontale;
L = longueur (hauteur) de l'échantillon;
h = (perte de) charge constante.
Perméamètre à charge variable
L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie et la chute de la hauteur d'eau dans
l'amont en fonction de temps.
D'abord, on considère l'écoulement à travers le sol. Pour une très courte durée, dt, la vitesse
d'écoulement dans le sol, vsol, est constante:
v sol  ki  k
h
L
Le volume d'eau sortant du sol est:
d Q sol  v sol A d t  k
h
L
A dt
Pendant cette période (dt), la quantité d'eau entrant dans
le sol est:
d Q tub   d h a
où a = aire du tube.
Le principe de continuité exige que:
d Q sol  d Q tub
t = t+dt
Perméamètre à charge variable (suite)
soit:
k
h
ou
A dt   dh a
dh

h
L
k A
dt
L a
L'intégration:

h2
h1
dh
h
 
t2
t1
k A
ln
dt
h2

h1
L a
L a
Le coefficient de perméabilité est exprimé:
k 
a
L
A t 2  t1
ln
h1
h2
 2 .3
a
L
A t 2  t1
La hauteur d'eau dans le tube au moment t = t2:
 k A

t 2  t1 
h 2  h1 exp  
 L a

log
k A
h1
h2
t 2  t 1 
Correction pour la température
où k20°C = coefficient de perméabilité à 20°
Celsius;
kt = coefficient de perméabilité à
température t (en °C);
20°C = viscosité dynamique de l'eau à
20° Celsius: 20°C = 1.011 ×10−3
kg/(m-sec);
t = coefficient de perméabilité à à
température t (en °C);
Coefficient de perméabilité: valeurs typiques très utiles
Coefficient de perméabilité: Quelques valeurs de référence
écoulement turbulent écoulement laminaire
sols perméables sols difficile à drainer
sous faibles gradients
Limite inférieure de
la perméabilité des
sols et des bétons
(tiré de Philipponnat 1979)
Relations empiriques du coefficient de perméabilité
pour les sables
Hazen (1911) a proposé une relation empirique comme suit Pour les sables propres (contenant
moins de 5% de particules passant le tamis n° 200):
où
k = coefficient de perméabilité, en m/s;
D10 = diamètre effectif des grain (3 mm  D10 = 0.1 mm);
C = paramètre de matériau (C = 0.004 ~ 0.012; valeur moyenne 0.01).
Cette équation est valable seulement si k  10-5 m/s.
Si le coefficient de perméabilité d'un sable à un état donné (k1 avec un indice de vide e1) est
connu, son coefficient de perméabilité à un autre état (k2 avec un indice de vide e2) peut être
estimé approximativement par les équations suivantes:
avec C1  C2 et C'1  C'2
Charge hydraulique et écoulement unidimensionnel
Équation de Bernoulli:
v
2

2g
u
wg
 z  constant
où v = vitesse d'écoulement d'eau à un point considéré
u = pression interstitielle au point considéré
z = charge de position, définie comme la distance verticale au-dessus (positive) ou
au-dessous (négative) d'un plan arbitraire de référence ou datum.
Étant donné que la vitesse d'écoulement dans les sols est très faible, la charge de
vitesse est souvent négligée. La charge totale, h, est:
h  hp  z
où hp = charge de pression:
hp 
u
wg

u
w
La charge totale, h = hp+z, est appelé charge piézométrique parce qu'elle est
mesurable à l'aide d'un tube ouvert ou d'un piézomètre.
La charge piézométrique (charge totale) est
indiquée par le niveau d'eau dans le
piézomètre tandis que la charge de
pression hp correspond à la hauteur d'eau
dans le tube (pas totalement vrai à cause
de la capillarité).
piézomètre
niveau phréatique
hp
h
z
Plan de référence ou Datum
A
0
AE
AE
0
Exercice: calculer la vitesse d'écoulement à travers le sol.
1) Considérer le système global;
2) Considérer le segment CD.
Exemple 7.10
A
0
400
400
0
Exemple 7.11
Écoulement bidimensionnel: Réseaux d'écoulement
Exemple 7.18
hp A
hp B
hp C
hp E
hp D
Équation de Laplace
Considérons un élément dx par dy. Les débits totaux d'entrée (qent) et de sortie (qsor) sont
donnés comme suit:
L'application du principe de continuité qent = qsor amène à l'équation suivante:
soit:
La loi de Darcy s'applique:
On obtient alors:
Si le sol est isotrope, kx = ky, on obtient:
Application de l'Équation de Laplace pour l'écoulement unidimensionnel
Dans l'exemple 7.12, il s'agit d'un écoulement
dans un tube d'environ 35.6 mm de
diamètre. On peut alors négliger la variation
de charge dans la direction vertical (y) le long
du tube, soit:
et
L'équation de Laplace devient:
L'intégration de cette équation donne:
h  C1 x  C 2
Les deux constants C1 et C2 sont déterminés
selon les conditions frontières:
C1 = (hD - hB )/BD et C2 = hB
La charge totale est exprimée comme suit:
h  hB 
x
BD
h B
 hD 
Exemple 7.12
y
x
Réseaux d'écoulement
En géotechnique, on a souvent besoin d'évaluer les fuites d'eau d'une retenu (barrage par
exemple), les pressions de soulèvement sous une barrage ou localiser les points les plus
vulnérables à l'érosion interne et ce, à l'aide du traçage des réseaux d'écoulement.
Un réseau d'écoulement constitue en réalité, une solution graphique de l'équation de Laplace:
Cette équation peut être représentée par deux familles de courbes qui interceptent à angle
droit pour former un réseau en patron de "carrée". Une famille des courbes correspond aux
lignes d'écoulement alors que la deuxième correspond aux lignes d'équipotentielle.
Les lignes d'écoulement représentent les chemins le long desquels, l'eau écoule à travers une
section transversale.
Les lignes d'équipotentiels sont des lignes de charge égale.
Réseaux d'écoulement (suite.)
Tous les réseaux d'écoulement doivent satisfaire certaines exigences. Les suivantes sont
exigences de base (Cedergren 1989):
1. Les ligne d'écoulement et les lignes d'équipotentiel doivent interceptent à l'angle droit
pour former des zones qui sont principalement "carrées".
2. Certaines exigences d'entrée et de sortie doivent être satisfaites.
3. Une règle de déflection de base doit être suivie en passant d'un sol d'une perméabilité à un
sol d'une perméabilité différente.
4. Les équipotentiels adjacents ont des pertes de charge égales.
5. La même quantité de fuites s'écoule entres une paire de lignes d'écoulement adjacentes.
Réseaux d'écoulement (suite..)
Suggestions générales (Cedergren 1989):
1. Tracer la coupe-section du problème sur un bon papier de dessin; tourner la feuille et
construire les réseaux d'écoulement en verso. Après avoir complété le réseau
d'écoulement, tracer-le en recto de la feuille ou sur un nouveau papier vierge.
2. Pratiquer avec le nombre de lignes tracées. Ne bombarder pas le dessin avec trop de lignes.
Mais, trop peu de lignes risque de perdre les caractéristiques essentielles.
3. Pratiquer dans la sélection d'une échelle pour le dessin. Avec une échelle trop large, on
gaspille du temps et des gommes. Une feuille de 8½11' est bonne pour la plupart des cas.
4. Avant de commencer le dessin, chercher les conditions frontières importantes et les lignes
de réseau d'écoulement préfixées.
5. Dans le cas du traçage des réseaux avec des sections composées (sols avec plus d'une
perméabilité), chercher les parties dominantes des coupes-sections. Les parties très
perméables ou très peu perméables ont parfois des influences majeures sur les formes du
réseau d'écoulement.
6. Ne regarder pas la forme globale quand travailler en détails. Ne raffiner jamais une petite
portion d'un réseau d'écoulement avant d'autres parties soient assez bien développées.
7. Observer les règes de base fournies en haut.
Erreurs fréquemment commises par des débutants
(tiré de Cedergren 1989)
Quelques notions supplémentaires:
Canal d'écoulement: Canal délimité par une paire de lignes d'écoulement
Chute de potentiel: Diminution de charge entre une équipotentielle donnée et l'équipotentielle
suivante.
Systèmes d'écoulement confinés (Artésien) – Ligne phréatique connue
Exemple 1: Fuite sous une rideau de palplanche dans une fondation sableuse.
Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement
connues.
2
1
3
4
Les lignes d'équipotentielle doivent faire un
angle droit aux frontières imperméables
Étape 2: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires qui font des angles de 90° à
l'entrée (à amont) et à la sortie (côté aval), tout en gardant l'esprit que la fuite tends à se
concentrer à certains points focaux (point E)
Étape 3: Tracer une famille d'équipotentielles, qui doivent interceptent toutes les lignes
d'écoulement à angle droit (90°), tout en essayant d'obtenir des "carrés".
Étape 4: Vérifier si toutes les intersections sont à 90°. Si oui, les figures seront
rectangulaires; c'est ce qu'on souhaite d'obtenir. Si non, surtout à la présence des figures de
diamant ou d'autres formes irrégulières, les lignes doivent délibérément déplacées jusqu'à
ce que toutes les intersection soient en 90° et que toutes es figures soient essentiellement
en forme de rectangulaire.
Exemple 2: Écoulement sous un barrage en béton
Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement
connues.
2
1
3
4
Étape 2: Les lignes d'équipotentielle doivent faire un angle droit aux frontières imperméables
alors que les lignes d'écoulement font un angle de 90° à l'entrée (à amont) et à la sortie (côté
aval).
Étape 3: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires.
Étape 4: Ajouter des lignes d'équipotentielles pour obtenir le premier réseau d'écoulement
d'essai.
Étape 5: Modifier les lignes progressivement pour atteindre un réseau final.
Systèmes d'écoulement non confinés (gravitaire) – Ligne phréatique
inconnue
Exemple 3: Fuite d'eau à travers une digue en terre sur une fondation imperméable.
Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 2 lignes du réseau d'écoulement
connues.
1
2
Étape 2: Tracer une zone dans laquelle la ligne phréatique se trouve probablement
Étape 3: Diviser la charge totale en plusieurs parties h et tracer des lignes directives
horizontales qui interceptent la zone probable de la ligne phréatique.
Étape 4: Tracer une lignes phréatique d'essai ab et une famille d'équipotentielles qui font un
angle droit avec les lignes d'écoulement.
Étape 5: Tracer une ou plusieurs lignes d'écoulement intermédiaires pour établir un réseau
d'écoulement
Étape 6: Vérification sur la règle de base: Pour un réseau d'écoulement quelconque, le
nombre de canaux d'écoulement doit rester le même à travers tout le réseau.
Cette règle assure que les eaux entrant dans une coupe-section doivent écouler à travers la
section et sortir du côté de potentielle basse.
Si le réseau est correctement construit et composé d'uniquement des carrées, cette règle
sera observée automatiquement.
Pour satisfaire cette règle, chaque paire d'équipotentielles adjacent doit contenir le même
nombre de carrées.
Étape 6: La vérification est faite comme suivante:
Mesure en échelle les largeurs et les longueurs des figures dans le réseau et calculer le
nombre de canaux entre une paire d'équipotentielles. Le nombre de canaux est donné
comme suit:
nf 
ef
cd
La vérification montre que le nombre de canaux n'est pas le même partout. Correction est
nécessaire.
En général, si les "carrées" sur un point donné sont allongé horizontalement, la ligne
phréatique est trop au dessus de ce point; Si les figures sont allongées verticalement, elle est
trop hausse au dessus du point considéré.
Étape 7: Hausser la ligne phréatique. Les équipotentielles doivent être ajustées en
conséquence.
Étape 8: Répéter les étapes 6 et 7 jusqu'à l'obtention d'un réseau qui possède le même
nombre de canaux partout.
Méthode de McCarthy (2002)
Utilité des réseaux d'écoulement
Une fois on obtient le réseau d'écoulement, la
distribution de charge (potentielle) et de
pression est obtenue. Le débit local (à travers
les canaux) et global peut être estimé.
q  k
h
 h / Nd
A  k L
b
l

Le gradient hydraulique:

a

Méthode de fragments
(Pavlovsky 1956; Harr 1962)
Méthode de fragments (suite)
Exemple 7.20. À calculer:
a) le débit de fuite sous l'ouvrage avec k = 2010-6 m/s;
b) le gradient de sortie au point E;
c) la distribution des pression sous le barrage.
Solution.
Question (a)
Étape 1: Diviser le
domaine d'écoulement en
fragment (trois).
Étape 2: Comparer les
fragments avec les
Tableaux de Pavlovsky et
choisir les types de
fragment.
Étape 3: Déterminer les facteurs de forme.
Pour les fragments 1 et 3 de type II, le facteur de forme  est défini comme suit:
  K /K'
où K et K' sont des fonction de m, qui est défini comme suit:
Entrer les chiffres s = 12 m, T = 30 m, on obtient une valeur de m = 0.588 (m2 = 0.346).
Consulter le Tableau 7.3 de Pavlovsky, on obtient K/K' =  = 0.865 par l'interpolation. Soit,
1 = 2 = 0.865
Pour le fragment 2 de type V, on a:
L = 40 m, T = 30m - 2m = 28 m, a = 30m – 12m = 18 m et
s = 10 m.
Puisque 40 m = L > 2s = 20 m, le facteur de forme 3 est obtenu par l'équation suivante:
s  L  2s
10  40  2  10


 3  2 ln  1   
 2  ln  1 
 1 . 598

a
T
18 
28


Étape 4: Calculer le débit total par l'équation suivante:
kh
q 
n

m

20  10
6
m / s  12 m
0 . 865  1 . 598  0 . 865
 7 . 21  10
5
3
m /s/m
m 1
Question (b)
Le gradient de sortie au point E est donné par l'équation suivante pour le fragment 2 de type II:
hm 
iE 
2 KTm
où hm est la perte de charge dans le segment m, qui peut être estimé à l'aide de l'équation
suivante:
n
n
hm
h
m
hm  h  m
 mh
soit


m
m 1
m 1
Pour notre cas:
h3 
3
1   2   3
h
0 . 865
2  0 . 865  1 . 598
Le gradient de sortie au point E est:
iE 
3 . 12 m  
2  1 . 741  30 m  0 . 588
 0 . 16
 12 m  3 . 12 m
Question (c)
Dans la question (b), on a montré que la perte de charge dans chaque fragment est calculé
comme suit:
n
hm  h  m
  mh
m 1
On a alors:
h1  h3 
h2 
3
1   2   3
2
1   2   3
h
h
0 . 865
2  0 . 865  1 . 598
1 . 598
2  0 . 865  1 . 598
La charge totale à chaque équipotentielle
peut être calculée:
à A-A': 12 m – 3.12 m = 8.88 m
à F-F': 8.88 m – 5.76 m = 3.12 m
 12 m  3 . 12 m
 12 m  5 . 76 m
Supposons que la charge varie linéairement le long de la frontière du point A' à A à F et à
F', le gradient (perte de charge par mètre) est:
h A'  hF '
5 . 76 m (  h 2 )
i A ' AFF ' 

 0 . 096 m / m
AA '  AF  FF ' 10 m  40 m  10 m
Par conséquent, les charges totales sous la base du barrage sont:
au point A: 8.88 m – 0.09610 m = 7.92 m
au point F: 7.92 m – 0.09640 m = 4.08 m
Ajouter le 2 m qui correspond à la hauteur
du bief aval pour finalement obtenir la
distribution de la charge de pression.
Mesure de la perméabilité sur le terrain: Pompage
(tiré de Philipponnat 1979)