Transcript DS n°4 Mécanique en référentiel non galiléen

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Devoir surveillé n 4
Mécanique en référentiel non galiléen - Mécanique des uides
La durée de l'épreuve est de 2 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la n du
temps prévu.
L'usage de la calculatrice est autorisée.
Les 3 problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids.
Les résultats devront être encadrés.
Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse.
Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signalerez
sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous
avez été amené à prendre.
Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.
Problème I
Etude mécanique d'un disque optique numérique (d'après
CAPES 2012)
Sur un compact-disc, les informations sont stockées sous forme de creux et de plats le long d'une
piste métallique rééchissante en forme de spirale. Celle-ci démarre à une distance R1 = 2, 50 cm de
l'axe du CD et se termine à R2 = 5, 80 cm.
Figure 1 Structure d'un CD
Sur la gure 1 qui donne une vue en perspective d'un demi CD, la zone grisée correspond à la
portion du CD occupée par la piste métallique, la partie blanche est le substrat en polycarbonate.
Les spécications du CD recommandent une vitesse de lecture linéaire v0 = 1, 22 m.s−1 et un pas
de spirale de a = 1, 59 µm. On peut noter que a << R1 .
A Etude de la piste
A.1
Etablir l'expression de la vitesse angulaire Ω(r) de rotation que doit avoir le disque lorsque la
tête de lecture est à une distance r de l'axe de rotation et qu'elle voit déler la piste à la vitesse linéaire
constante v0 .
A.2 Dans l'intervalle [R1 ; R2 ], pour quelle valeur de r la fonction Ω(r) est-elle maximale ?
A.3 Donner la valeur numérique de la vitesse angulaire maximale Ωmax que doit posséder le CD au
cours de la lecture de sa piste à la vitesse v0 .
A.4 Les lecteurs de CD-ROM ont des vitesses beaucoup plus importantes que celles des lecteurs de
CD audio. Un lecteur dit "52 x" a ainsi une vitesse de lecture linéaire égale à 52 v0 . Quelle est alors la
valeur numérique, exprimée en tr/min, de sa vitesse angulaire maximale de rotation Ω0max ?
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B Mécanique en référentiel non galiléen
An de rendre plus rapide l'accès aux données, les vitesses de rotation des lecteurs ont augmenté
au l des années. Des expériences menées sur des CD-ROM ont montré qu'ils pouvaient se briser en
une multitude de petits fragments lorsque la vitesse angulaire devient supérieure à 3, 00.104 tr.min−1 .
Figure 2 CD en rotation
Un lecteur de CD-ROM est xé sur une table. On suppose que le référentiel R0 lié à la table est
galiléen. On lui associe un repère orthonormé direct (O, x, y, z). A l'intérieur du lecteur, un dispositif
d'entraînement communique au CD-ROM un mouvement de rotation autour de l'axe Oz , vertical
ascendant. La vitesse angulaire est notée Ω.
Dans cette question, le CD-ROM est modélisé par un cylindre homogène de hauteur h = 1, 20 mm,
de rayon Rext = 6, 00 cm, percé en son centre d'un trou circulaire de rayon Rint = 7, 50 mm. Sa masse
volumique est µ = 1, 20.103 kg.m−3 .
Soit R1 , le référentiel lié au disque. On lui associe le repère orthonormé direct (O, x1 , y1 , z1 ), l'axe
Oz1 étant confondu avec l'axe Oz . On repère la position d'un point M dans R1 par ses coordonnées
−→ −→
cylindriques (r, θ, z) liées à la base locale (−
e→
r1 , eθ1 , ez1 ).
On suppose que la vitesse de rotation de R1 par rapport à R0 est constante et notée Ω.
B.1 Donner la dénition d'un référentiel galiléen.
On pose sur le CD un point matériel M de masse m.
B.2 Exprimer dans la base locale la force d'inertie d'entraînement à laquelle est soumis M dans R1 .
B.3 Exprimer dans la base locale la force d'inertie de Coriolis à laquelle est soumis M dans R1 .
B.4 Il existe des frottements solides entre M et le CD. On suppose que la réaction du CD sur M
vérie les lois de Coulomb :
−→
−→
en l'absence de mouvement relatif, RT ≤ f RN ;
−→
−→ −→
en cas de mouvement relatif, RT = f RN et RT s'oppose au mouvement ;
où f est le coecient de frottement entre la route et une roue.
Montrer que le point M reste immobile dans R1 si r < r` où l'on précisera la valeur de r` .
B.5 On creuse une rainure sur le disque : le point M est astreint à se déplacer selon −
e→
r1 . On néglige
les frottements. A t = 0, on pose le point M en r(t = 0) = r0 sans vitesse initiale dans le référentiel
R1 . Etablir l'équation du mouvement.
B.6 Déterminer r(t) et l'expression de la réaction du disque.
C Résistance mécanique des disques optiques numériques
On se place dans le référentiel R1 . An d'étudier les forces qui assurent la cohésion d'un CD-ROM
en rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω1 , on considère une portion de disque dont la distance à
l'axe de rotation s'étend de r1 à r1 + dr1 .
Au sein de cette couronne circulaire, on isole un élément de largeur angulaire dθ1 situé dans le
domaine angulaire [− dθ21 ; dθ21 ].
C.1 Quelle est l'expression de la masse dm de cet élément de CD − ROM d'épaisseur h ?
−−→
C.2 Quelle est, dans la base (−
e→, −
e→), l'expression de la force d'inertie d'entraînement dF qui
x1
y1
ie
s'exerce sur l'élément de masse dm ?
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Figure 3 Element dm du CD
−−→ −−→
On note dFa et dF b les forces exercées sur l'élément considéré par deux secteurs angulaires voisins
(gure 3). Soit σ la contrainte (force
−−normale
par unité de surface) à l'interface entre deux éléments
→ −→
de la portion de disque. On a donc dFa = dFb = σdS avec dS = hdr1 , la surface rectangulaire de
−−→ −→
séparation. Quelle est la direction de dFa + dFb ? Montrer qu'à l'ordre 1 en dθ1 , on a
−−→ −→
dF + dF = −σdSdθ −
e→
C.3
a
1 x1
b
C.4
C.5
C.6
En écrivant l'équilibre dans R1 de l'élément de masse dm, exprimer σ en fonction de µ, r1 et Ω.
Pour quelle valeur de r1 , la contrainte σ est-elle maximale ?
On donne la contrainte de rupture du polycarbonate : σrup = 65, 0 M P a. Exprimer puis calculer
la vitesse angulaire Ωmax à partir de laquelle le disque risque de se briser.
Le calcul ci-dessus ne donne qu'un ordre de grandeur dans la mesure où il ne prend pas en compte
les interactions entre les diérentes couronnes.
Problème II
Physique du Golf (d'après Centrale PC 2012)
La tête d'un club de golf est assimilable à une surface plane dont l'inclinaison avec la verticale varie
en fonction du type de club. L'impact de cette surface avec la balle est un phénomène très violent et
très bref. Typiquement, lors d'un coup frappé avec un club de type driver (vitesse de la tête de club
d'environ 50 m · s−1 ), la balle passe d'une vitesse initiale nulle à environ 70 m · s−1 à la n du contact
avec la tête, qui dure 0,50 ms. Cependant l'inclinaison de la tête de club entraîne un glissement de la
balle le long de celle-ci pendant l'impact, ce qui conduit à une mise en rotation de la balle. Ainsi une
balle frappée avec un driver quitte le sol en eectuant de l'ordre de 60 rotations par seconde. Dans le
cas d'un coup sans aucun eet l'axe de rotation de la balle est horizontal et perpendiculaire à sa vitesse
à la sortie du club.
On s'intéresse dans cette partie à l'eet de la rotation de la balle sur sa trajectoire aérienne.
Pour cela, on eectue un changement de référentiel en se plaçant dans un référentiel où le centre
de la balle est immobile et l'air en écoulement (gure 4). On considérera ce référentiel galiléen pour
l'étude de l'écoulement de l'air.
L'air est en écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, homogène et incompressible et on notera
ρ sa masse volumique. On néglige la gravité.
An de mettre en évidence l'importance de la rotation, on s'intéresse à un modèle d'écoulement
autour d'un cylindre de longueur innie, de rayon R, animé d'un mouvement de rotation autour de
→
−
−
son axe (Oz) xe, avec un vecteur-rotation Ω = Ω→
u z dans le référentiel terrestre Rg galiléen.
−
−
Loin du cylindre, en amont de celui-ci, l'écoulement a une vitesse uniforme, →
v0 = −v0 →
u x , avec v0
constante et positive. On repère un point M de l'espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) d'axe
(Oz).
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Figure 4 Vol d'une balle de golf
−
1. De quelles variables (r, θ, z et t) le champ de vitesse →
v dépend-il ?
−
2. Quelles sont les deux conditions aux limites vériées par →
v ?
−−→
−
On dénit le potentiel des vitesses ϕ associé à l'écoulement par →
v = grad ϕ et on admet que
p ϕ(r, θ) = −v0 r − 2πr
cos θ + R2 Ωθ
où p est une constante qui sera dénie dans la suite.
On précise l'expression du gradient en coordonnées cylindriques :
∂ϕ
∂r
−−→
grad ϕ = 1r ∂ϕ
∂θ
∂ϕ
∂z
3. Justier l'introduction du potentiel des vitesses ϕ.
4. Donner les expressions des composantes du champ de vitesse vr et vθ .
5. Vérier les conditions aux limites et en déduire p en fonction de R et v0 .
6. En déduire le champ de pression P (r = R, θ) à la surface du cylindre, en fonction de ρ, R, Ω, v0 ,
θ et P0 (valeur de la pression loin du cylindre, considérée uniforme).
→
−
7. En déduire, à l'aide d'un schéma clair et d'arguments de symétrie, que la résultante F p des forces
−
de pression a une composante nulle selon →
u x.
→
−
8. En raisonnant sur une portion de cylindre de hauteur h, déterminer la force de pression F p selon
−
→
−
→
−
−
→ et mettre nalement →
−
u
F p sous la forme F p = α→
v 0 ∧ Ω en exprimant la constante α en fonction
y
R 2π 2
R 2π 3
des données. On pourra utiliser 0 sin θdθ = 0 et 0 sin θdθ = π .
→
−
Indication : on écrira F p comme la somme des forces élémentaires de pression et on exprimera
la force élémentaire de pression s'exerçant sur un élément de surface dS = Rdθh.
9. On admet que le résultat ci-dessus se transpose à une balle de golf, à condition de prendre pour
le coecient α une valeur appropriée.
→
−
(a) Commenter la direction et le sens de la force F p selon que le golfeur a correctement frappé
la balle (Ω > 0) ou a totalement raté son coup (Ω < 0).
(b) Calculer la norme de cette force au départ d'un coup de driver : Ω = 3,8 × 102 rad · s−1 ,
v0 = 70 m · s−1 et α ≈ 1,5 × 10−5 (S.I.). Commenter, sachant que la balle a une masse
Mb = 46 g.
(c) Que risque le golfeur si, à cause d'un swing imparfait, le vecteur-rotation n'est pas tout à fait
−
porté par →
uz?
(d) Quel phénomène négligé ici faudrait-il prendre en compte pour une description complète des
forces subies par la balle ? Quelle est sa conséquence sur la vitesse et la rotation de la balle
au cours de son vol ?
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Problème III
Injection de polymère fondu dans un moule (d'après e3a
PC 2010)
Intéressons-nous à la mise en forme d'une plaque de polypropylène chargée de particules (notée
PPc sur la gure 5), destinée à l'impression par sérigraphie. Le procédé utilisé consiste en l'injection
du polymère fondu dans un moule maintenu à une température sensiblement constante (30 à 60 °C )
de forme parallélépipédique de longueur L, de largeur w et d'épaisseur e (gure 5). L'échelle n'est pas
respectée pour plus de clarté.
Figure 5 Injection d'un polymère
Le moule en acier est pourvu d'un circuit de refroidissement (par des canaux internes), de capteurs
de température et d'un circuit de contrôle automatique de la régulation thermique. La matière première
se présente sous la forme de poudre et de granulés ; elle est portée à fusion à une température comprise
entre 170 et 300 °C grâce à un dispositif non représenté sur la gure puis est injectée sur toute la
largeur w du moule, par application d'une surpression ∆P à l'extrémité x = 0.
Le polymère fondu s'écoule selon la direction Ox entre deux plaques parallèles ; ces plans d'équation
y = ± 2e constituent les parois inférieure et supérieure du moule. L'écoulement est réalisé dans le champ
de la pesanteur, depuis l'ouverture du moule d'abscisse x = 0 où règne la pression P0 + ∆P (∆P > 0),
vers l'extrémité du moule d'abscisse x = L où règne la pression P0 .
Les dimensions du système dans les directions x et z sont très supérieures à l'épaisseur e du moule ;
les plans horizontaux peuvent ainsi être considérés comme innis et les eets de bord (selon les parois
verticales z = ± w2 ) sont négligés.
Le polymère fondu est assimilé à un uide newtonien incompressible, de viscosité dynamique η et
de masse volumique µ.
−
−
−
L'espace est rapporté au trièdre cartésien Oxyz , de base orthonormée directe (→
ex , →
ey , →
ez ). L'écoulement est réalisé en régime permanent.
Données :
Dimensions du moule L = 1, 20 m ; w = 0, 60 m et e = 12 mm
Diérentiel de pression ∆P = 2.107 P a
Caractéristique du polypropylène chargé (PPc) : η (à 200 °C ) = 500 P a.s ; µ = 910 kg.m−3 .
A Ecoulement de Poiseuille plan
A.1 Forme du champ de vitesses
−
−
A.1.1 Justier la vitesse peut s'écrire : →
v (M, t) = v(y)→
ex .
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L'écoulement peut être représenté comme la superposition d'une innité de lames uides
élémentaires (comme représenté sur la gure 5) ; la lame comprise entre les ordonnées y et
y − dy (avec dy > 0), attachée au point M (x, y, z) possède une vitesse v(y).
A.1.2
Comment qualier cet écoulement ?
Le frottement entre une lame et les lames supérieure et inférieure directement à son contact se traduit par une force tangentielle de cisaillement (ou de viscosité), parallèle à la direction de l'écoulement
∂v
et dont la norme s'écrit : Ft = ηS ∂y
, S étant la surface de contact entre les lames adjacentes.
A.2 Que représente η ? Préciser ses dimensions et son unité.
A.3 Rappeler la dénition d'un uide newtonien ; existe-t-il d'autres types de uides ? Citer des
exemples.
A.4 Ordre de grandeur
A.4.1 Exprimer l'intensité de la force de pesanteur dFg
à laquelle est soumis un élément de volume
dxdydz du uide ; écrire l'intensité de la force de viscosité dFvis relative à l'élément de surface
dxdz .
dFg
en prenant g = 10 m.s−2 et une vitesse de l'ordre du m.s−1 puis
Evaluer le rapport dFvis
conclure.
A.4.2
Exprimer l'intensité de la force de pression dFP agissant sur l'élément de uide d'épaisseur
dF
dx et de section dydz . Evaluer le rapport dFgp puis conclure.
L'action de la pesanteur sera négligée dans la suite de cette étude.
B Prol de vitesse entre les plaques
Dans un écoulement de uide newtonien incompressible, le champ de vitesse et le champ de pression
sont reliés par l'équation de Navier-Stokes :
−
→
−→ −−→
−−→
µ ddtv = fvol − grad P + fvis
B.1 Equation du mouvement
B.1.1 Exprimer, en considérant
l'élément de uide de volume dτ = dxdydz (gure 5), la force
−−→
volumique de viscosité fvis .
B.1.2
Ecrire la relation de Navier-Stokes, sachant que l'écoulement est stationnaire et unidirectionnel selon Ox. En déduire l'équation diérentielle vériée par la pression P puis montrer que la
quantité dP
dx est une constante K à expliciter en fonction de ∆P et L. Justier physiquement
le signe de K .
B.2 Prol de vitesses
B.2.1 Préciser les conditions aux limites imposées par les parois du moule en y = ± 2e .
B.2.2 Déterminer l'expression de la vitesse v(y) en fonction de y, K , e et de la viscosité dynamique.
Exprimer la vitesse maximale vmax de l'écoulement.
B.2.3 Représenter le prol de vitesse vv(y)
dans un plan de coupe du moule (gure 5).
max
B.3 Débit
B.3.1 Exprimer le débit volumique Qv (pour une largeur w du moule dans la direction
fonction de vmax , e et w ; en déduire la vitesse moyenne < v > de l'écoulement.
B.3.2
Oz ) en
Calculer, à l'aide des données fournies, la vitesse vmax , la vitesse moyenne < v >, le débit
Qv . Dénir puis évaluer le nombre de Reynolds Re et commenter la valeur obtenue.
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B.4 Le temps de séjour de la matière introduite dans le moule est déni comme le rapport de la
longueur de l'écoulement à sa vitesse moyenne.
B.4.1
Exprimer le temps de séjour minimum tmin ? Dénir le temps de séjour moyen tmoy en fonction
du volume de matière dans le moule et du débit volumique, puis l'exprimer en fonction de
K , η , L et e.
B.4.2
Exprimer le temps de séjour t(y) pour une tranche de uide, puis le rapport tt(y)
en fonction
min
2y
de la quantité adimensionnée e . Analyser cette expression en traçant schématiquement ce
rapport en fonction de la variable 2y
e .
B.4.3
Calculer tmin et tmoy à l'aide des données numériques fournies.
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