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METHODES DE MAINTENANCE
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ETUDE MATHEMATIQUE DES DEFAILLANCES
I – LA COURBE EN BAIGNOIRE :
Rappel sur la classification des défaillances :
• Défaillance catalectique : elle est complète et soudaine (rupture d’une pièce, court-circuit). Il est très difficile
d’observer la dégradation. Il n’est alors pas possible de mettre en place une maintenance préventive
conditionnelle ; seuls le correctif ou le préventif systématique seront envisageables.
• Défaillance par dérive : on voit progresser la dégradation. Ce sont les usures en mécanique, l’augmentation du
frottement, l’augmentation de la valeur des résistances, etc. Ce type de défaillance se prête bien à la
maintenance conditionnelle. De plus, ces défaillances ont une probabilité d’apparition plus ou moins grande
tout au long de la vie d’un matériel.
Durée de vie d’un équipement : un équipement possède 3 périodes de vie :
• Jeunesse (mortalité infantile, défaillance précoce) : en état de fonctionnement à l’origine (mise en service),
période de rodage (pré usure), présélection des composants électroniques (déverminage).
• Maturité (période vie utile, de défaillances aléatoires) : période de rendement optimal du matériel, taux de
défaillance constant. Les défaillances apparaissent sans dégradations préalables visibles, par des causes
diverses, suivant un processus suivant une loi de Poisson (défaillances aléatoires).
• Obsolescence (vieillesse, usure). Un mode défaillance prédominant, généralement visible, entraîne une
dégradation accélérée, à taux de défaillance croissant (pour un mécanisme). Souvent on trouve une usure
mécanique, de la fatigue, une érosion ou une corrosion. A un certain seuil de λ(t), le matériel est « mort ». Il est
alors déclassé, puis rebuté ou parfois reconstruit. La détermination de T (seuil de réforme), est obtenue à
partir de critères technico-économiques.
L’évolution de la durée de vie d’un équipement peut être tracée selon une courbe appelée courbe en baignoire. Selon
que l’équipement, soit de type électronique ou mécanique, les allures du taux de défaillance sont différentes.
Le paramètre porté sur l’axe des ordonnées est le taux de défaillance.
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Le taux de défaillance, noté λ(t), est un indicateur de la fiabilité. Il représente une proportion de dispositifs
survivants à un instant t.
Sa forme générale est :
nombre de défaillances
. Le plus fréquemment, il s’exprime en « pannes / heure ».
durée d' usage
Attention : utilisé en fiabilité, le taux de défaillance devra exclure les défaillances extrinsèques à l’ensemble
analysé, telles que les pannes dues à des fautes de « conduite » (accidents, consignes non respectées) ou
dues à une influence accidentelle du milieu extérieur (inondation, incendie, etc.).
II – DETERMINATION EXPERIMENTALE DU TAUX DE DEFAILLANCE :
Cette détermination nécessite un nombre important de données sur une période relativement longue de la vie des
matériels. Si ce n’est pas le cas, seule une partie de la courbe sera mise en évidence.
La méthode utilisée est celle de l’actuariat qui consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements
statistiques.
Exposé de la méthode :
Il s’agit donc de déterminer expérimentalement le taux de défaillance λ (t ) qui correspond à la probabilité d’avoir une
défaillance dans les intervalles de temps constituant la vie du matériel étudié. Une estimation de λ (t ) par tranche de
temps est déterminée par le calcul suivant :
λ (t i ) =
ni
Ni .∆t i
•
ni le nombre de défaillant durant ∆t i ,
•
Ni le nombre de survivants au début de la tranche t i
•
∆t i = t i +1 − t i l’intervalle de temps observé
La détermination du nombre de classes doit être telle que la courbe ne soit pas trop déformée. Ce nombre dépend du
nombre total de défaillants. On peut déterminer le nombre de classes « r » tel que :
r=
∑n
i
ou
r = 1 + 3,3.log ∑ ni
Le nombre de classes ainsi déterminé, il reste à construire la courbe en baignoire à partir des données.
La synthèse de la méthode est donnée ci-après :
Phase 1 : choix des classes :
Ex : on a 112 défaillances au bout de 1000 heures de fonctionnement. On choisit k = 10 classes de 100 heures.
Phase 2 : tableau :
Classe
Nombre de machines en
Cumul des temps de
Nombre de
Taux moyen de
fonctionnement
fonctionnement
défaillances
défaillance
Phase 3 : exploitation :
Ce tableau permet de tracer l’histogramme des défaillances (répartition dans le temps) et de tracer la courbe en
baignoire λ(t) :
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III – ESTIMATIONS DES DIVERSES FONCTIONS EMPIRIQUES DE FIABILITE ET ETUDES DE
LEURS RELATIONS :
N0 : nombre d’éléments bons à l’instant t0
Ni : nombre d’éléments bons à l’instant t i
ni : nombre d’éléments défaillants entre t i et t i +1 , noté aussi ∆Ni
∆t i : intervalle de temps observé égal à t i +1 − t i
On estime λ (t ) le taux de défaillance par tranche ∆t :
On estime
λ (t i ) =
ni
Ni .∆t i
n
fˆ(t i ).∆t i la fonction défaillance sur l’intervalle ∆t i par : fˆ(t i ).∆t i = i
N0
i
i
On estime
Fˆ (t i ) la fonction de défaillance cumulée par : Fˆ (t i ) = ∑ f (t i ).∆t i =
0
On estime
∑n
0
N0
i
=
N0 − N i
N
= 1− i
N0
N0
N
Rˆ (t i ) la fonction de fiabilité par : Rˆ (t i ) = 1 − Fˆ (t i ) = i
N0
ni
ni
N .∆t
N .∆t
ni
fˆ(t i )
On peut calculer alors λˆ(t i ) par : λˆ(t i ) =
= 0 i = 0 i =
Ni .∆t i
Ni
Ni .∆t i
Rˆ (t i )
N0 .∆t i
N0
λˆ(t i ) =
fˆ(t i )
fˆ(t i )
.∆t i (relations servant au calcul des lois de fiabilité)
et λˆ(t i ).∆t i =
Rˆ (t i )
Rˆ (t i )
On peut aussi calculer la MTBF par :
∞
∞
0
0
MTBF = ∑ t i .f (t i ).∆t i =∑ t i .
ni
1
=
( n1t1 + n2t2 + ... + ni ti + ... + n∞t∞ )
N0 N0
car en général t0=0
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