Transcript Exercices de dénombrement et calcul des probabilités Correction

Méthodes probabilistes pour le TAL
M1 Linguistique Informatique
Université Paris 7
Marie Candito
2010/2011
Exercices de dénombrement et calcul des
probabilités
Correction
1 Un enfant connaît un vocabulaire de 100 mots, dont 5 déterminants, 25 adjectifs, 30 verbes et 40
noms. Combien de séquences de 6 mots peut-il former, si un mot peut être réutilisé ? Combien de
phrases de la forme D N V D N A l’enfant peut-il former, toujours si un mot peut être réutilisé ?
Correction : Les mots peuvent être réutilisés, à chaque mot, il y a 100 possibilités. Donc par
le principe fondamental de dénombrement on a 1006 séquences possibles.
Par le même principe on a 5x40x30x5x40x25 séquences de la forme DNVDNA.
2 Lors du tirage du loto, on tire au hasard 8 nombres de 1 à 49. Donnez le nombre de tirages
possibles et la probabilité de gagner.
Nb de tirages possibles : Il s’agit du nombre de combinaisons de 8 nombres pris parmi 49
possibles, soit C498=49!/8!41!
Probabilité de gagner : L’expérience considérée est « tirage du loto ». L’ens. fondamental S
est constitué des combinaisons de 8 nombres parmi 49, i.e. |S| = C498. Comme le tirage est fait
au hasard, on a eee (chaque combinaison de 8 nombres a la même proba d’être tirée). Et pour
tout évènement E sur cette expérience on pourra appliquer P(E) = |E|/|S|
Supposons que l’on ait joué une combinaison de 8 nombres. Alors l’évènement F = « gagner »
est un singleton réduit à cette combinaison : on a |F|=1, et du fait de eee, P(F) = |F|/|S| = 1/
C498
Supposons maintenant que l’on ait joué non pas une combinaison de 8 nombres, mais une
« grille » de combinaisons, i.e. 8 combinaisons distinctes . Alors l’évènement G = « gagner »
est constitué de ces 8 combinaisons : on a |G|=8, et du fait de eee, P(G) = |G|/|S| = 8/ C498
3 8 chevaux, numérotés de 1 à 8 font une course. On considère que tous ont les mêmes chances de
gagner.
a) Répondez aux questions suivantes, en précisant le concept de dénombrement utilisé : donnez
le nombre de résultats possibles de la course (=>nb de permutations de 8 objets = 8!),
donnez le nombre de triplets ordonnés gagnants(=>nb d’arrangements de 3 objets parmi
8 = 8!/5!), donnez le nombre de triplets non ordonnés gagnants (=>nb de combinaisons de
3 objets parmi 8 = 8!/5!3!)
b) Parmi les huit chevaux, 3 sont noirs et 5 sont pommelés. On s’intéresse aux séquences de
robe des chevaux, i.e. aux séquences de caractères noirs ou pommelés dans le résultat d’une
course. Donnez le nombre de telles séquences possibles. => Formellement, il s’agit du cas
de permutations d’objets partiellement indiscernables : on a 8 objets, parmi lesquels
respectivement 5 et 3 sont indiscernables. Parmi les 8! permutations de chevaux, certaines
sont identiques lorsque l’on ne regarde que le caractère pommelé/noir. Appelons les
« permutations équivalentes ». On cherche le nb de groupes de permutations équivalentes.
Chaque groupe de permutations équivalentes contient 5!3! permutations, et donc le nb de
groupes est 8!/5!3!
1
c)
c1) Quelle est la probabilité que le cheval 3 gagne la course ? => Nb pour toutes les
questions de proba de cet exercice, on va avoir eee. On peut considèrer l’ens fondamental S des
8 ! permutations, et alors l’évt E = « le cheval 3 gagne » contient 7 ! éléments (toutes les
permutations pour lesquelles le premier élément est fixe, il reste à ordonner les 7 autres chavaux),
et on obtient P(E) = 7!/8! =1/8 du fait de eee. On peut plus simplement considérer simplement
l’expérience : un cheval arrive premier. L’ens. fondamental S’ contient les 8 chevaux possibles, et
l’évt E’ = « le cheval 3 gagne » contient un seul élément (1 cheval), et on retombe sur P(E’)=
1/8.
c2) Quelle est la probabilité que les 3 derniers de la course soient dans l’ordre 7,8,1 ? =>
Première solution : on garde l’ens. fondamental S des 8! permutations. Alors l’evt F= « les 3
derniers sont 7,8,1 » contient 5! éléments (parmi les 8!, il y en a 5! : le nb de façons d’ordonner
les 5 premiers chevaux) et donc P(F)=5!/8!
Deuxième solution : on ne considère comme expérience que l’ordre d’arrivée des 3 derniers
chevaux. Alors l’ens. fondamental S’’ contient les A83 = 8!/5! arrangements de 3 chevaux parmi
8. L’évènement F’’= « les 3 derniers sont 7,8,1 » contient un seul de ces arrangements et donc on
retrouve P(F’’) =1 / (8!/5!) = 5!/8!
c3) Quelle est la probabilité que l’un ou l’autre de ces évènements soit réalisé ? => on
cherche sur l’ens. fondamental S, P(E U F) = P(E) + P(F) – P(EF)
Il ne nous manque que P(EF) qui vaut 4!/8! (cf. on a 4! façons d’ordonner les chevaux arrivant en
position 2, 3, 4 et 5. D’où P(E U F) = 1/8 + 5!/8! – 4!/8!
Quelle est la probabilité d’un triplet gagnant, par exemple (7, 4, 5), parmi tous les triplets
possibles ? Proposez plusieurs solutions en définissant différents ensembles fondamentaux. =>
En fait si on considère « triplet » comme « triplet ordonné », on a exactement la même
situation qu’à la question (c2). Si on considère les triplets non ordonnés, alors la solution en
utilisant l’ens. fondamental S est 5!3!/8!, en effet il y a 5 ! façons d’ordonner les 5 derniers
chevaux, et 3 ! façons d’ordonner les chevaux 7,4,5 en tête.
Deuxième solution : on ne considère que l’arrivée des 3 premiers chevaux. L’ens. fondamental
S’’’ contient C83 combinaisons de 3 chevaux parmi 8, et l’évt (7,4,5) non ordonné arrive en
tête contient une seule combinaison, et on retrouve 1/ C83 = 5!3!/8!
4 A la requête d’un utilisateur, un moteur de recherche retourne un ensemble de 2000 documents.
Pour pouvoir visualiser mieux ces documents, le moteur propose une fonctionnalité de
« clustering », c’est-a-dire de regroupement des documents par paquets de documents considérés
comme similaires.
a) Combien de façons a le moteur de choisir un groupe de 500 documents parmi les 2000 ?
=> il s’agit du nb de combinaisons de 500 docs parmi 2000, soit C2000500
b) Combien de façons y-a-t-il partitionner les 2000 documents en 2 groupes de 1000
documents ? et en 4 groupes de 500 documents ?
Partition en 2 groupes de 1000 : on a C20001000 façons de choisir un groupe de 1000 parmi les
2000. On peut associer chacun de ces groupes à son groupe complémentaire (les 1000
restants), cette paire de groupes constitue une seule façon de diviser les 2000 docs en 2
groupes. On a donc C20001000/2 façons de le faire.
2
Partition en 4 groupes de 500 chacuns : Attention : le nombre e demandé est le nombre
d’ensembles de groupes de 500 documents, et pas le nombre s de séquences de groupes de
500 documents.
Calculons d’abord s : On peut considérer l’expérience « choisir 500 docs parmi 2000, puis
500 autres parmi les 1500 restants, puis 500 autres parmi les 1000 restants, puis 500 autres
parmi les 500 restants », on obtient ainsi des séquences de 4 groupes de 500 documents. Leur
500
500
500
nombre vaut s = C2000
C1500
C1000
Puis e : Donc pour obtenir le nb d’ens. de 4 groupes de 500 documents, on divise par le nb de
façon de permuter les mêmes 4 groupes entre eux.
500
500
500
C2000
C1500
C1000
Le !
résultat est donc
4!
5 Soit un restaurant qui propose comme entrées soupe ou bruschetta, comme plat gnocchi, poulet
!
basquaise ou couscous,
et comme dessert glace, tarte, fruits ou tiramisu.
a) Soit l’expérience choisir un menu complet (une entrée, un plat, un dessert). Donnez la
cardinalité de l’ensemble fondamental S.
=> par le principe fondamental de dénombrement : 2 entrées *3plats*4desserts=24 menus
b) Soit l’évènement A=choisir comme dessert une tarte. Donnez P(A) si on fait l’hypothèse
d’équiprobabilité des évènements élémentaires.
 L’ens fondamental contient les 24 menus, et A contient 2*3 menus, d’où du fait de eee,
P(A)=6/24=1/4
 on peut aussi utiliser une autre exp. consistant simplement à choisir un dessert parmi 4
c) Soit l’évènement B=choisir comme entrée la soupe. Donnez P(AB) et P(AUB)
 evenement AB : il reste à choisir un plat, ce qui donne 2 menus possibles, d’où
P(AB)=3/24=1/8
 evenement A U B : P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/4 + ½ -1/8 = 5/8
6 On lance deux dés parfaits.
Quelle est la probabilité que les deux dés n’aient pas la même face ?
=> On peut considérer comme ensemble fondamental les couples de face : face du 1er dé, face
du 2ème dé :
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), ...}. Il y en a 6x 6 = 36.
Sur cet ensemble, on peut bien considérer que chaque face de chaque dé étant équiprobable,
alors les couples de face seront équiprobables. D’où la probabilité que les deux dés aient la
même face = 6/36 = 1/6
Remarque : on peut être tenté de prendre comme ensemble fondamental non pas les couples
ordonnés, mais les couples non ordonnés : S = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, ...{2, 2}, ..}. Il y en a 6x 6
moins le nb de paires qui s’avèrent égales si l’ordre n’est plus considéré, i.e. (6x 5)/2 = 15, donc
il y a en tout 36 − 15 = 21 paires de faces non ordonnées. Mais le problème est que sur cet
ensemble fondamental, on ne peut pas supposer l’équiprobabilité des évènements élémentaires.
En effet {1, 1} est moins probable que {1, 2} qui peut être obtenu via (1, 2) et (2, 1). Donc il est
plus judicieux de considérer l’ens fondamental avec paires ordonnées.
a)
b) Quelle est la probabilité que la somme des dés fasse 8 ?
=> P ({(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}) = 5/36
3
7 On tire trois fois de suite un dé parfait à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 faces
paires ?
L’ens. fondamental contient 6x6x6 triplets (ordonnés) de faces, parmi lesquels 3x3x3 ne
contiennent que des faces paires. Le dé est parfait, on a donc équiprobabilité des évènements
élémentaires. Et donc la probabilité cherchée est 3x3x3/6x6x6 = 1/8
Autre solution : On peut aussi considérer l’ens fondamental des triplets ordonnés de pair ou
impair, au nombre de 2x2x2=8, parmi lesquels un seul contient pair/pair/pair, d’où la proba 1/8
Autre solution : l’évènement « obtenir 3 faces paires » est l’intersection de 3 évènements : la
E1=1ère face est paire, E2=la seconde face est paire, E3= la 3eme face est paire, chacun de
probabilité ½. Ces 3 évènements sont indépendants, donc
P(E1E2E3) = P(E1)P(E2)P(E3) = ½ ½ ½ =1/8
8 Pour un jeu télévisé où vont participer 10 candidats (6 femmes et 4 hommes), on choisit au hasard
un ordre de passage des 10 candidats.
a) Quelle est la probabilité d’une séquence de candidats donnée ?
=> L’ensemble fondamental est constitué des permutations des 10 candidats. On a |S| = 10! On
choisit au hasard, donc on a équiprobabilité de chaque permutation. et donc la proba d’une
permutation données est 1/10!
ème
b) Quelle est la probabilité que le 2
candidat soit une candidate ?
 On peut résoudre en comptant le nb de permutations des 10 candidats pour lesquelles le
numéro 2 est une femme : 6 x 9! (cf. 6 possibilités pour la candidate, et 9! d’ordonner les 9
autres candidats). La probabilité cherchée est donc 6x9! / 10! = 6/10
 ou bien changer d’expérience : on considère en premier le choix du 2eme candidat parmi
les 10, il y a une proba de 6/10 que ce soit une femme.
c) Quelle est la probabilité que dans la séquence choisie la première candidate femme soit
en 3ème position ?
=> 4 x 3 possibilités de choisir les 2 premiers hommes (nb d’arrangments de 2 hommes parmi
4), puis 6 possibilités de choisir la femme en 3eme position, et 7! possibilités de choisir les 7
candidats restants, d’où 4x3x6x 7! / 10! = 0,1
9 On note E et F deux évènements quelconques sur un ensemble fondamental S. Montrez les
propriétés élémentaires suivantes :
1) S = E " E et ces 2 ens sont disjoints, donc P(S) = P(E) + P(E ), donc P(E ) = 1# P(E)
2) F = FE " FE , et ces 2 ens sont disjoints, donc P(F) = P(FE) + P(FE ),
or E $ F, donc FE = E, d’où P(F) = P(E) + P(FE ) et donc P(E) % P(F)
3) P(E " F) = P(E) + P(F) # P(EF)
4) E " F = E + F # EF
!
10 Cinq boules vont être tirées sans remise au hasard d’une urne contenant 5 boules rouges, 6 boules
vertes, 7 boules bleues. Calculez la probabilité de l’évènement E=on tire au moins une boule
rouge et au moins une verte. Utilisez pour cela les évènements R et V correspondant à « on ne
tire aucune boule rouge » et « aucune boule verte ».
Correction : L’ens. fondamental S est constitué des combinaisons de 5 boules parmi 18, i.e.
|S|= C185
4
On a R U V qui vaut « aucune boule rouge » ou « aucune boule verte », dont le
complémentaire est « au moins une rouge » et « au moins une verte », c’est-à-dire l’évènement
E, donc P(E)=1-P(R U V)
P(R U V) = P(R)+P(V)-P(RV) et comme on a eee, P(R U V) = ( |R| + |V| - |RV| ) / |S|
|R| = C135
|V] = C125
RV correspond à l’évènement « toutes les boules sont bleues » donc |RV| = C75
5