Transcript Maîtrise statistique des procédés

MSP
Maˆıtrise statistique des proc´ed´es
Universit´
e de Caen Basse-Normandie
4 d´ecembre 2014
[email protected] UCBN
MSP
4 d´
ecembre 2014
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Premi`ere partie I
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Capabilit´es des processus et des
syst`emes de mesures
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Index
Bibliographie
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ecembre 2014
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Section
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Hypoth`eses
Etude de capabilit´e
Indices de capabilit´es
Intervalles de confiance
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ecembre 2014
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Subsection
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Hypoth`eses
Etude de capabilit´e
Indices de capabilit´es
Intervalles de confiance
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ecembre 2014
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Processus stable et sous-contrˆole
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
On suppose que le processus est contrˆ
ol´e par une statistique de
qualit´e quantitative Xt avec nt mesures pour l’´echantillon t. On
suppose que les mesures individuelles doivent ˆetre toutes
comprises
Biblio
I
entre une valeur maximale Ts (tol´erance sup´erieure) ou
USL (Upper Specification Limit) et
I
une valeur minimale Ti (tol´erance inf´erieure) ou LSL
(Lower Specification Limit).
On construit une carte aux mesures avec un risque de premi`ere
esp`ece α = 0.27%.
I
est stable : la loi de Xt est constante gaussienne de
moyenne µ0 et d’´ecart type σ0
I
est sous-contrˆ
ole toutes les statistiques sont dans entre les
limites de contrˆ
ole ∀tYt ∈ [LCLt , UCLt ]
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Subsection
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Hypoth`eses
Etude de capabilit´e
Indices de capabilit´es
Intervalles de confiance
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Etude de capabilit´e
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Etude de la capabilit´e d’un proc´ed´e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, c’est `a dire le proc´ed´e n’est
affect´e que des causes communes, toute les causes sp´eciales
pouvant affecter le processus ayant ´et´e ´elimin´ees. Cette
situation correspond `a la meilleure performance de
fabrication possible.
I
Est ce que le processus est stable ?
I
Est ce que la distribution des mesures est une loi normale
constante ?
I
La proportion de non conformes, c’est `a dire ne respectant
pas les tol´erances.
I
Calcul d’indices de capabilit´es mesurant la capacit´e du
proc´ed´e `a respecter les tol´erances.
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Mesure d’une longueur d’une pi`ece
Une machine fabrique des pi`eces dont on mesure une
dimension. Cette axe doit respecter les sp´ecifications suivantes
78mm ± 12. 100 ´echantillons de 5 mesures ont ´et´e effectu´ees.
Etudier la capabilit´e de cette machine.
Fichier :http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/data/msp-capabilite-etude.csv
1
2
3
4
5
6
X1
74.38
77.38
73.61
82.60
77.92
73.66
X2
74.40
76.86
73.33
77.28
74.28
83.24
X3
78.21
82.95
82.57
75.48
68.24
85.94
X4
80.01
72.82
83.99
75.28
82.82
82.30
X5
80.68
83.71
74.47
75.25
75.16
75.31
xbar
77.54
78.74
77.59
77.18
75.68
80.09
R
6.30
10.89
10.66
7.35
14.58
12.28
Table : Premiers ´echantillons
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Exercice
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Etudier la stabilit´e, la maitrise statistique du processus ?
Calculer l’´etendue de chaque ´echantillon
¯
Calculer la moyenne et l’´etendue de chaque ´echantillon R.
Calculer la moyenne des moyennes x¯
¯
R
Calculer une estimation de l’´ecart type σ
b = s = d2 (n=5)
Construire un histogramme de toutes les observations,
ajouter la densit´e d’une loi normale de moyenne x¯ et
d’´ecart type s. Est ce que la distribution des donn´ees est
bien approxim´ee par une loi normale.
7. Construire un diagramme de type ”probability plot”,
doit-on refuser l’hypoth`ese que les observations suivent
une loi normale ?
8. Calculer P1 = Pr ([X < Ti ]), P2 = Pr ([X > Ts ]) ou
X ∼ N (x¯, s). En d´eduire la proportion moyenne de pi`eces
d´efectueuses. Si on fabrique un million de pi`eces quel sera
le nombre moyen de pi`eces d´efectueuses.
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Histogram of X.vecteur
Etude de capabilit´
e
0.12
Capabilit´
es
Int. Confiance
0.10
Index
0.06
0.00
0.02
0.04
Density
0.08
Biblio
65
70
75
80
85
90
X.vecteur
Figure : Densit´e
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
normal probability plot
Capabilit´
es
Int. Confiance
●
●
●
0.99
Index
probability
Biblio
●
●●
●
●●
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●
●
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●
●
●
●
0.95
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
0.01
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
normal
mean 76.78
sd 3.66
AD 0.33
pvalue 0.51
●
●
●
65 70 75 80 85 90
x
Figure : Probability plot
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Ti
65
Ts
70
75
80
85
90
Figure : Densit´e
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Exemple
Capabilit´
e
xbar Chart
for X[, variables]
Hypoth`
eses
82
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
UCL
Int. Confiance
●
80
●
Index
●
●
●
●
●
●
78
●
●
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●
●
●
●
●
●
●
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●
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●
●
CL
●
●
●
●
●
●
●
●
●
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●
●
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●
●
●
●
76
●
●
●
●
● ●
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●
●
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●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●●
74
Group summary statistics
●
Biblio
●
●
●
●
●
●
●
●
72
●
LCL
●
●
1
6
12
19
26
33
40
47
54
61
68
75
82
89
96
Group
Number of groups = 100
Center = 76.78358
StdDev = 3.65546
LCL = 71.87927
UCL = 81.68789
Number beyond limits = 1
Number violating runs = 3
Figure : Carte xbar
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Subsection
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Hypoth`eses
Etude de capabilit´e
Indices de capabilit´es
Intervalles de confiance
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Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Indice de capabilit´e Cp
On consid`ere un processus stable et sous-contrˆole contrˆol´e par
une mesure X avec un risque de premi`ere esp`ece de α = 0.27%
On suppose que
Int. Confiance
Index
I
la distribution de X peut ˆetre mod´elis´ee par une normale
de moyenne µ et d’´ecart type σ.
I
Ces mesures doivent satisfaire les sp´ecifications suivantes
Ti ≤ X ≤ Ts .
Biblio
On appelle indice de capabilit´e Cp du processus contrˆole par X
Cp =
Ts − Ti
6σ
Si l’´ecart type est inconnu, on le remplace par une estimation
cp = Ts − Ti
C
6b
σ
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Indice Cp
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
L’indice de capabilit´e est le rapport entre
I la longueur Ts − Ti de l’intervalle de tol´
erance [Ti , Ts ].
I la longueur UCL − LCL = 6σ de l’intervalle de contrˆ
ole
[LCL, UCL] d’une carte aux mesures avec un risque de
premi`ere esp`ece α = 0.27%.
Ts − Ti
90 − 66
Cp =
=
=∼ 1.28
6σ
87 − 69
LCL= 69
mu= 78
UCL= 87
TI= 66
65
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TS= 90
70
MSP
75
80
85
90
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Processus Cp -capable
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
D´efinition
On dit que le processus stable et sous-contrˆole ayant un indice
de capabilit´e Cp est Cp -capable si Cp ≥ 1, on peut le qualifier
de
2 ≤ Cp
4/3 <≤ Cp 2
1.0 ≤ Cp < 4/3
Cp < 1
tr`es performant
bon
acceptable
inaceptable
Table : Qualification de la Cp -capabilit´e
Dans l’exemple pr´ec´edent la capabilit´e Cp est de 1.28, on peut
dire que le processus est acceptable.
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Indice de capabilit´e Cpk
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Avec les mˆemes hypoth`eses que pr´ec´edemment On appelle
indice de capabilit´e Cpk du processus contrˆ
ole par X
Int. Confiance
Index
Biblio
Cpl =
µ − Ti
3σ
Cpk
Ts − µ
3σ
= min(Cpl , Cpu )
µ − Ti Ts − µ
)
= min(
3σ
3σ
Cpu =
Si µ, σ sont inconnus on les remplace des estimations
b − Ti Ts − µ
b
bpk = min( µ
C
)
3b
σ
3b
σ
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Processus Cpk -capable
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
D´efinition
On dit que le processus stable et sous-contrˆole ayant un indice
de capabilit´e Cpk est Cpk -capable si Cpk ≥ 1, on peut le
qualifier de
capabilit´e
2.5 < Cp
2 ≤ Cp < 2.5
4/3 ≤ Cp < 2
1.0 ≤ Cp < 4/3
Cp < 1
qualit´e
excellent
tr`es performant
bon
acceptable
inaceptable
intervalle
±7.5σ
±6σ
±4σ
±3σ
trop de pi`eces d´efecteuses
Table : Qualification de la Cpk -capabilit´e
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Exemple d´ecentrage
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Une sp´ecification pour une longueur d’une monture est de
50mm ± 6mm La statistique de qualit´e longueur est suppos´ee
statistiquement maitris´ee et l’estimation de l’´ecart type est de
1.15mm. Par contre la moyenne va varier de 48.5 mm `a 53 mm,
le processus n’est donc pas stable. On va voir que les indices de
capabilit´es peuvent nous aider `a d´etecter ce changement.
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Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Cp= 1.74
Cpk= 1.16
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
LCL= 44.6
mu= 48
TI= 44
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UCL= 51.4
TS= 56
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Subsection
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e des processus
Hypoth`eses
Etude de capabilit´e
Indices de capabilit´es
Intervalles de confiance
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Intervalle de confiance de Cp
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
On consid`ere que l’on a processus stable contrˆol´e par par la
statistique X Si la statistique de contrˆ
ole X peut ˆetre
mod´elis´ee par une loi normale de moyenne µ et d’´ecart type σ
alors un intervalle de confiance de niveau α de Cp est :
s
s
χ2(1−α)/2,n−1
χ21−(1−α)/2,n−1
cp
cp
≤ Cp ≤ C
C
n−1
n−1
ou
I
I
χ2(1−α)/2,n−1 est le quantile d’ordre (1 − α)/2 d’une loi du
χ2 `a n − 1 degr´es de libert´es.
cp est estim´e `a partir de l’´ecart type d’´echantillonage s
C
fond´e sur n ´echantillons.
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
On dispose d’une estimation du coeffient de capabilit´e de
cp = 1.58 calcul´e `a partir de n = 20 ´echantillons. Calculer un
C
intervalle de confiance de niveau 95% de Cp .
I
Biblio
1 − α = 0.05. Il faut calculer les quantiles d’ordre
(1 − α)/2 = 2.5% et 1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du
χ2 `a 19 degr´es de libert´es.
χ20.025,n−1 ∼ 8.9, χ20.975,n−1 ∼ 32.8
I
un
de confiance de niveau α = 95% est de
q
q intervalle
32.8
[ 8.9
,
19
19 ] ∗ 1.58 On a donc 95 chances sur cent que le
vrai coefficient de capabilit´e Cp se trouve dans l’intervalle
[1.08, 2.076]
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cp
Valeurs minimales C
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cp (ref )
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
3.00
n=10
1.32
1.65
1.97
2.30
2.63
2.96
3.29
3.62
3.95
4.94
n=20
1.10
1.37
1.64
1.92
2.19
2.47
2.74
3.01
3.29
4.11
n=30
1.02
1.28
1.54
1.79
2.05
2.30
2.56
2.82
3.07
3.84
n=40
0.99
1.23
1.48
1.72
1.97
2.22
2.46
2.71
2.96
3.70
n=50
0.96
1.20
1.44
1.68
1.92
2.16
2.40
2.64
2.88
3.61
n=60
0.94
1.18
1.42
1.65
1.89
2.12
2.36
2.60
2.83
3.54
n=
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
cp requises pour avoir
Table : Valeurs minimales de C
H0 (Cp > Cp (ref )) avec un risque de se tromper de moins de α = 5%
en fonction du nombre d’´echantillons.
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Intervalle de confiance de Cpk
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Soit un processus stable contrˆ
ol´e par par la statistique X qui
ˆetre mod´elis´ee par r
une loi normale de moyenne µ et d’´ecart type
1
1
alors une approximation
σ. En posant A =
+ 2(n−1)
d
2
9nCpk
qui de devient de plus en plus pr´
ecise quand n devient
grand de l’ intervalle de confiance de niveau α de Cpk est
d
d
C
pk (1 − z1−(1−α)/2 A) ≤ Cpk ≤ Cpk (1 + z1−(1−α)/2 A)
I
I
z1−(1−α)/2 est le quantile d’ordre 1 − (1 − α)/2 d’une loi
normale centr´ee r´eduite
cp est estim´e `a partir de l’´ecart type d’´echantillonage s
C
fond´e sur n ´echantillons.
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Exemple
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
On dispose d’une estimation du coeffient de capabilit´e de
d
C
e `a partir de n = 20 ´echantillons. Les
pk = 1.58 calcul´
tol´erances sont [740, 760], calculer un intervalle de confiance de
niveau 95% de Cpk .
I
1 − α = 0.05. Il faut calculer le quantile d’ordre
1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du normale centr´ee
r´eduite z0.975 ∼ 1.98.
I
A ∼ 0.169
I
un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de
[1 − 1.98 ∗ 0.169, 1 + 1.98 ∗ 0.169] ∗ 1.58 = On a donc 95
chances sur cent que le vrai coefficient de capabilit´e Cpk se
trouve dans l’intervalle
[1.03, 2.06]
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MSP
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Cpk(ref)
0.80
1.00
1.21
1.40
1.60
1.80
2.00
1.34
2.50
3.00
4.00
n10
1.36
1.68
2.00
2.32
2.64
2.97
3.29
2.21
4.10
4.92
6.55
n20
1.13
1.40
1.66
1.93
2.20
2.48
2.75
1.84
3.43
4.11
5.47
n50
0.99
1.22
1.46
1.70
1.93
2.17
2.41
1.62
3.01
3.61
4.81
n100
0.93
1.15
1.37
1.60
1.82
2.05
2.28
1.52
2.84
3.41
4.54
n250
0.88
1.09
1.31
1.52
1.74
1.95
2.17
1.45
2.71
3.25
4.33
n500
0.86
1.07
1.28
1.49
1.70
1.91
2.12
1.42
2.64
3.17
4.23
n1000
0.84
1.05
1.25
1.46
1.67
1.88
2.08
1.39
2.60
3.12
4.16
d
Table : Valeurs minimales requises pour l’indice C
pk permettant
d’affirmer que le processus est Cpk -capable selon l’indice souhait´e
dans 95% des cas
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Capabilit´
e
6
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
5
Int. Confiance
n10
n20
n50
n100
n250
n500
n1000
4
1
2
3
Biblio
Cpk.chap
Index
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Cpk
d
Figure : C
pk minimale dans 95% des cas
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Section
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Index
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Index I
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Capabilit´e
risque α, 5
sous contrˆole, 5
stabilit´e, 5
Tol´erance, 5
inf´erieure, LSL , Ti, 5
sup´erieure, USL,Ts, 5
Indice de capabilit´e
Cp
Cp capable, 17
d´efinition, 16
exemple, 20
intervalle de confiance, 23
Intervalle de confiance Cp > Cp (ref ), 25
Cpk
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Index II
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Cpk capable, 19
d´efinition, 18
Intervalle de confiance, 26
Intervalle de confiance Cpk > Cpk (ref ), 28
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Section
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Bibliographie
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MSP
Bibliographie I
Capabilit´
e
Hypoth`
eses
Etude de capabilit´
e
Capabilit´
es
Int. Confiance
Index
Biblio
Douglas C. Montgomery.
Statistical quality control.
Wiley, 2009.
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