Transcript DM n°3 - MPSI

MPSI3 2014–2015 DM No 3
Vendredi 10/10/2014
Q1) Préliminaires :
a) Rappeler la définition de arccos(𝑥). On notera 𝒟 son ensemble de définition. Sur quel l’ensemble est-elle dérivable, et quelle est sa dérivée (on attend une démonstration) ?
b) Dresser le tableau de variation de arccos et donner l’allure de la courbe représentative.
c) Montrer que ∀𝑥 ∈ 𝒟 , arccos(−𝑥) = π − arccos(𝑥).
d) Simplifier (en justifiant) : cos(arccos(𝑥)) et sin(arccos(𝑥)).
Q2)
a) Exprimer pour tout réel 𝑥, cos(2𝑥) et cos(3𝑥) en fonction de cos(𝑥).
b) Démontrer que pour tous réels 𝑥 et 𝑦, cos(𝑥) + cos(𝑦) = 2 cos(
est-elle vraie avec la fonction ch à la place de la fonction cos ?
𝑥+𝑦
2
) cos(
𝑥−𝑦
2
). Cette formule
Pour 𝑛 entier naturel et 𝑥 ∈ 𝒟 , on note T𝑛 (𝑥) = cos(𝑛 arccos(𝑥)).
Q3)
a) Calculer T𝑛 (1), T𝑛 (0) et T𝑛 (−1).
b) Soit 𝑔(𝑥) = T𝑛 (cos(𝑥)) − cos(𝑛𝑥) pour 𝑥 réel. Que vaut 𝑔(𝑥) pour 𝑥 ∈ [0; π] ? Quelle est la parité
de 𝑔 ? Sa périodicité ? En déduire que ∀𝑥 ∈ ℝ, T𝑛 (cos(𝑥)) = cos(𝑛𝑥).
c) Montrer que T𝑛 (−𝑥) = (−1)𝑛 T𝑛 (𝑥). Que peut-on en déduire lorsque 𝑛 est pair ? Lorsque 𝑛 est
impair ?
d) Montrer que T0 (𝑥), T1 (𝑥), T2 (𝑥) et T3 (𝑥) sont des polynômes en 𝑥, préciser lesquels.
Q4)
a) Soit 𝑎 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℕ, montrer que cos((𝑛 + 2)𝑎) = 2 cos((𝑛 + 1)𝑎) cos(𝑎) − cos(𝑛𝑎).
b) En déduire que pour 𝑥 ∈ 𝒟 , T𝑛+2 (𝑥) = 2𝑥T𝑛+1 (𝑥) − T𝑛 (𝑥).
c) Retrouver ainsi l’expression de T3 (𝑥), puis calculer T4 (𝑥) et T5 (𝑥).
Q5) Soit 𝑛 ⩾ 1.
a) Démontrer que les solutions de l’équation T𝑛 (𝑥) = 0 sont les réels 𝑥𝑘 = cos(
entre 0 et 𝑛 − 1.
(2𝑘+1)π
2𝑛
) avec 𝑘
b) Pour 𝑥 ∈] − 1; 1[, calculer la dérivée de T𝑛 (𝑥), et résoudre T𝑛′ (𝑥) = 0.
Q6)
a) Justfier pour tout réel 𝑎, l’égalité (cos(𝑎) + 𝑖 sin(𝑎))𝑛 + (cos(𝑎) − 𝑖 sin(𝑎))𝑛 = 2 cos(𝑛𝑎).
𝑛
b) En déduire que pour 𝑥 ∈ 𝒟 , T𝑛 (𝑥) =
𝑛
􏿴𝑥 + 𝑖√1 − 𝑥2 􏿷 + 􏿴𝑥 − 𝑖√1 − 𝑥2 􏿷
Q7) Soit 𝑛 ∈ ℕ, on pose pour 𝑥 réel tel que |𝑥| ⩾ 1, Q 𝑛 (𝑥) =
2
.
𝑛
𝑛
􏿴𝑥 + √𝑥2 − 1􏿷 + 􏿴𝑥 − √𝑥2 − 1􏿷
a) Calculer Q 0 (𝑥), Q 1 (𝑥) et Q 2 (𝑥) avec |𝑥| ⩾ 1. Que constatez-vous ?
2
b) Comparer Q 𝑛 (𝑥) avec T𝑛 (𝑥) lorsque |𝑥| = 1.
c) Montrer que pour 𝑥 ∈ ℝ, Q 𝑛 (ch(𝑥)) = ch(𝑛𝑥) et Q 𝑛 (−ch(𝑥)) = (−1)𝑛 ch(𝑛𝑥).
d) En déduire que pour |𝑥| ⩾ 1, Q𝑛+2 (𝑥) = 2𝑥Q𝑛+1 (𝑥) − Q 𝑛 (𝑥).
.