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OPTIQUE II Section de Physique Professeur : R. Houdré Exercices : M. Tonin Série 5 17 mars 2014 Corps noir Ex 1 : Densité d'états quantique et classique 1D, 2D et 3D d'un milieu uniforme a) Déterminer la relation de dispersion entre la fréquence angulaire ω et le vecteur d’onde k pour un électron de masse m dans un milieu uniforme. On notera V le potentiel uniforme. €
On considère pour la suite de l'exercice que V=0. €
€
€
b) Même question que a) pour une onde électromagnétique. c) Donner la définition de la densité d’état ρ 0 (ν ) . d) En utilisant l’approche développée dans le cours, déterminer la densité d’état électronique pour un système d€e dimension 3, 2 et 1. e) Même question que d) pour le cas d’une onde électromagnétique. f) Tracer les résultats obtenus aux questions d) et e). On va reprendre les calculs précédents avec une approche plus général et plus formelle. g) Montrer que la  densité d’état peut s’écrire de manière générale 
dk 2 (ω )
dk '
2
2
ρ 0 (ω ) =
δ
k
(
ω
)
−
k'
a
vec en coordonnées cartésiennes d
k
'= dk x ' [
]
∫
(2π ) d
 dω

en 1D, dk '= dk x ' dky ' en 2D et dk '= dk x ' dky ' dk z ' en 3D €
€
h)
€ Calculer 2
dk (ω )
pour € l’électron et pour l’onde électromagnétique. dω
i) €Déterminer la densité d’état électronique. On rappel que +∞
∫
f (x)δ [ x − a] dx = f (a) . −∞
€
1 j) Même question que i) pour une onde électromagnétique. Ex 2: Rayonnement dans une sphère en expansion On considère un rayonnement électromagnétique dans une enceinte de volume L3 dont la paroi est à une température T. a) A partir de la loi de Planck, montrer que l'énergie interne volumique totale W=(4/c)×σT4. b) Tout rayonnement exerce sur une surface une force et donc une pression de radiation. Sachant que l’énergie et la quantité de mouvement d’un photon sont respectivement hν et hν/c et que les photons sont réfléchis sur la paroi de l'enceinte, montrer que la pression de radiation p exercée par un rayonnement isotrope est donnée par P=W/3 c) En déduire l’équation d’état du gaz de photon qui relie la pression à la température. On va maintenant supposer que l'enceinte est une sphère dont le rayon R augmente au cours du temps d) L'expansion de la sphère est isentropique (i.e. adiabatique et réversible). En utilisant le bilan énergétique du premier principe de la thermodynamique et la relation P=W/3 (question b)), montrer que la température T de l'enceinte varie comme 1/R e) Selon le modèle standard, 700'000 ans après le Big-­‐Bang, la température du rayonnement cosmique valait Te=3000K. Aujourd'hui, la température du rayonnement cosmique ne vaut plus que 2.72K. En déduire le rapport de l'expansion de l'univers. f) On multiplie le rayon de la sphère par un facteur α. Montrer que la loi de Planck est invariante. g) On sait que selon le modèle standard l’univers était en expansion. Qu’en déduit-­‐
on sur le décalage spectral du rayonnement cosmologique dans l'univers ? 2 Correction Ex 1 : Densité d'états quantique et classique 1D, 2D et 3D d'un milieu uniforme a) Pour un l’électron on peut relier l’énergie E au vecteur d’onde par: E = ω =
p2
2k 2
+V =
+ V 2m
2m
On en déduit la relation de dispersion €
€
ω=
 2 V
k + 2m

2m( ω − V )
= k 2 qui s’écrit encore 2

c 
b) Pour l’onde électromagnétique on €a ω = k avec n l’indice du milieu et c la n
vitesse de la lumière dans le vide. Pour s’affranchir de la valeur absolue on peut # c &2 2
2
réécrire: ω = % ( k $n'
€
c) La densité d’état ρ 0 (ν ) est le nombre de modes par unité de fréquence et par unité de volume. Pour la calculer il suffit de compter tous les états propres dans le milieu uniforme. €
d) 3D signifie € ici que la particule est libre de se propager dans les 3 directions de l’espace. 2D signifie ici que la particule est libre de se propager dans seulement 2 directions de l’espace: il y a 2 degrés de liberté, x et y (par exemple) dans l’espace réel, et donc kx et ky dans l’espace réciproque (encore appelé l’espace des k). Cela correspond par exemple à un puits quantique pour l’électron (il peut se propager dans le plan du puits) ou à une cavité Fabry-­‐Perot dans le cas du photon. 1D signifie ici que la particule est libre de se propager dans seulement 1 directions de l’espace: il y a 1 seul degré de liberté. Cela correspond par exemple à un fil quantique pour l’électron (il peut se propager le long du fil) ou à une fibre optique dans le cas du photon. 0D signifie ici que la particule ne se propage pas: elle est confinée dans les trois directions de l’espace. Cela correspond par exemple à une boîte quantique pour l’électron ou à une micro cavité sphérique dans le cas du photon. Cas 3D: soit un cube de dimensions Lx, Ly, Lz (très grandes). Les fréquences nπ
spatiales de modes sont ki = i , ni = 1, 2,... Li
π3
un état occupe un volume dans l’espace réciproque. Lx Ly Lz
€
3 Quand on passe de k à k+dk le volume de l’espace réciproque s’accroît de !4
$
dV = d # π k 3 & = 4π k 2 dk . "3
%
On ne prends en compte que les valeurs de k qui sont positives. De ce fait, le volume de la sphere est divisée par 8, tout comme le volume dV, ce qui donne: dV =
π 2
k dk 2
Le nombre d’états permis par unité de volume dans l'espace réel est donc: π 2
k dk
dn
k2
2
=2
=
dk
π3
L x L y Lz
π2
L x L y Lz
L x L y Lz
Le facteur 2 vient du fait qu'il faut prendre en compte les deux états de spin possibles pour un electron.
comme 2m( ω − V )
= k 2 on en déduit: 2

ρ ω3 D (ω ) =
€
2m 3/2
ω π 2 3/2
Cas 2D: π
kdk
dn
k
= 2 22
= dk et donc: π
Lx Ly
π
Lx Ly
Lx Ly
ρ2ωD (ω ) =
€
m
π
Cas 1D: dn 1
= dk et donc: Lx π
ω
ρ1D
(ω ) =
1
π
m 1
2 ω
# c &2
e) La seule chose qui change est la relation de dispersion ω 2 = % ( k 2 . On obtient (en $n'
prenant en compte les deux polarisations de la lumière): €
4 ν
ρ3D
(ν ) =
8π n 3ν 2
, c3
ρ2ν D (ν ) =
4π n 2ν
c2
ν
ρ1D
(ν ) =
4n
c
ρ ν0D (ν ) = δ (ν ) Remarque importante: on a utilisé les notations ρ ν (ν ) et ρ ω (ω ) pour bien faire la distinction entre un nombre d’états N par unité de fréquence et un nombre € d’états N par unité de fréquence angulaire . En effet dN = ρ ν (ν )dν = ρ ω (ω )dω et comme dν = dω /(2π ) on a ρ ν (ν ) = 2π × ρ ω (ω ) . €
€
€
f) Quand il y a plusieurs niveaux confinés il faut considéré la somme sur tous les € niveaux. Par exemple dans le cas de l’électrons € 1D on obtient: €
€
1 m
1
ω
ρ1D (ω ) = ∑
, ω > ω i avec ω i les énergies confinées dans le fil 2 ω − ω i
i π
quantique. €
et dans le cas du photon 1D: ν
ρ1D
(ν ) = ∑
i
4nν
c ν 2 − ν i2
, ν > ν i avec ν i les fréquences de coupure du guide d’onde. Les courbes sont alors: €
Electro
n ρ3
D Photon ρ2
D E ρ3
D E g) On a par définition ρ ω0 (ω ) =
ρ0
D E ρ2
D E fréquence ω . ρ1
D ρ1
D E E ρ0
D E E 1 dN(ω )
avec N(ω ) le nombre de modes à la Ld dω
2
Par ailleurs dN(k) = ρ k0 (k)dk = ρ k0 (k 2 )dk 2 avec N(k) le nombre de modes à la €
fréquence k .€
€
€
€
€
5 2
ρ k0 (k 2 ) =
€
∫

dk '
2
2
d δ [ k (ω ) − k' ]
(2π /L)
En écrivant dN(ω ) = dN(k) on obtient: 
2
dk
(
ω
)
d
k
'
ρ ω0 (ω ) =
δ [ k 2 (ω ) − k'2 ] ∫
dω
(2π ) d
€
dk 2 (ω ) 2m
h) Pour l’onde associée à l’électron: =
dω

€
Pour l’onde électromagnétique: i) Il faut évaluer ∫
dk 2 (ω )
2ω
=
2
dω
(c /n)
 €
dk '
2
2
d δ [ k (ω ) − k' ]
(2π )
€
en 1D on obtient: €
+∞
+∞
+∞
dk'
dk'2 dk'
dk'2 1
2
2
2
2
δ
k
(
ω
)
−
k'
=
2
δ
k
(
ω
)
−
k'
=
] ∫ (2π ) dk'2 [
] ∫ (2π ) k' δ[k 2 (ω ) − k'2 ] ∫ (2π ) [
−∞
0
0
en utilisant
€
0
dk'
2
2
+∞
dkx ' dk y '
(2π )
2
+∞
δ [ k (ω ) − k' ] = 2π
en utilisant
+∞
∫
2
∫
0
+∞
k' dk'
dk'2
2
2
δ
k
(
ω
)
−
k'
=
δ [ k 2 (ω ) − k'2 ] [
]
∫
2
(2π )
0 (4 π )
f (x)δ [ x − a] dx = f (a) : +∞
dk'2
1
∫ (4π ) δ [k 2 (ω ) − k'2 ] = 4π 0
€
en 3D on obtient en utilisant le passage en coordonnées sphériques: +∞
∫
dkx ' dk y ' dk z '
(2π )
−∞
3
en utilisant
+∞
∫
+∞
δ [ k (ω ) − k' ] =
2
2
∫
0
2πk' dk'2
2
2
3 δ [ k (ω ) − k' ]
(2π )
f (x)δ [ x − a] dx = f (a) : −∞
+∞
∫
−∞
dkx ' dk y ' dk z '
€
€
2
−∞
€
1
2πk(ω )
en 2D on obtient en utilisant le passage en coordonnées cylindriques: ∫
€
(ω ) − k'2 ] =
€
−∞
€
f (x)δ [ x − a] dx = f (a) : ∫
−∞
+∞
∫ (2π ) δ [k
€
+∞
(2π )
3
δ [ k 2 (ω ) − k'2 ] =
k(ω )
4π 2
6 En utilisant la relation de dispersion 0, on obtient: 2m( ω − V )
= k 2 et en fixant le potentiel V à 2
€
3D
% m3/2
ω
'
2 3/2
'' 2π 
m
ρ ω0 (ω ) = &
' 2π
'1 m 1
'( π 2π ω
2D 1D
Ces densités d'états pour les électrons sont à multiplier par 2 pour prendre en compte les deux spins autorisés pour chaque niveau électroniques €
Cela donne bien au final: !
3/2
# 2m
ω
# π 2 3/2
##
m
ρ0ω (ω ) = "
π
#
# 1 m 1
#
#$ π 2 ω
j) On utilise les résultats de la question précédente pour le calcul de 
dk '
∫ 2π d δ [k 2 (ω ) − k'2 ] ainsi que ceux de la question e) pour une onde ( )
électromagnétique. On obtient avec la relation de dispersion adéquate: €
€
%
ω2
' 2
3
' 2π (c /n)
'
ω
ρ ω0 (ω ) = &
2
' 2π (c /n)
' 1
'( π (c /n)
3D
2D 1D
Remarque: ici on n'a considéré qu’une seule polarisation, et par ailleurs ρ ν (ν ) = 2π × ρ ω (ω ) (c.f. dν = dω /(2π ) et ρ ν (ν )dν = ρ ω (ω )dω ) € Ex 2: Rayonnement dans une sphère en expansion €
€
a) La loi de Planck donne la densité d'énergie par unité de fréquence et par unité de volume. Pour retrouver l'énergie interne volumique totale, il nous faut donc intégrer la loi de Planck sur l'ensemble des radiations émises par l'enceinte: 7 U
W= 3=
L
∞
∫ρ
0
∞
em
∞
(ν )dν = ∫ ρem (λ )d λ = ∫
0
0
8π hc
λ5
1
hc
λ k BT
d λ e
−1
De la même façon dont la Loi de Stefan-­‐Boltzmann à été démontré dans le cours, 8π 5 (kBT )4
on peut résoudre cette intégrale pour trouver le résultat suivant: W =
15(hc)3
Ce résultat peut être simplifié en utilisant la définition du coefficient de Stefan 2π 5k 4B
. σ=
15c 2 h 3
4
On obtient alors la relation recherchée: W = σ T 4 c
b) On considère une surface A de l'enceinte qui est percutée par les photons contenus dans l'enceinte. En ne prenant en compte que les photons se déplaçant selon un axe (par exemple dans l'axe normal à la surface A que l'on fait coïncider avec l'axe x), la pression 1 dp
est égale au changement de la quantité de mouvement par unité d'aire: P =
. A dt
Les photons qui vont heurter la paroi se trouvent dans le volume A ⋅ vx . Comme les photons ne vont pas être absorbés par la paroi mais être réémis, la pression P 1
peut donc s'écrire: P = 2npx ⋅ Avx = 2npx vx A
avec n est la densité volumique de photons N/V avec N le nombre de photons dans l'enceinte et V le volume de l'enceinte. Il faut toutefois ne pas oublier de prendre en compte le fait que les photons n'ont pas tous la même vitesse selon x (trajectoire inclinée) et que la moitié d'entre eux ne se dirigent pas vers la paroi. Il faut donc faire la moyenne et diviser par deux l'équation précédente. N
L'équation de la pression s'écrit donc: P = n px vx =
px vx V
En rajoutant les 2 autres dimensions, comme les photons ont des distributions de vitesse isotrope : px vx = py vy = pz vz 1
1  
Alors, on peut écrire: px vx = px vx + py vy + pz vz = p ⋅ v . 3
3
 
p ⋅ v correspond à l'énergie E d'un photon. L'énergie totale U des N photons est  
donc U = N p ⋅ v 1N  
U W
p⋅v =
= 3V
3V 3
c) On combine simplement les réponses des questions a) et b) pour trouver:
4
P = W / 3 = σ T 4 3c
Contrairement à l'équation d'état des gaz parfaits PV=nRT, l'équation d'état pour un gaz de photon ne fait pas intervenir le volume. Donc contrairement au fluides, r et T ne sont pas indépendants. Finalement, la pression se note: P =
8 d) Le bilan énergétique du premier principe de la thermodynamique donne : dU=dWt=-­‐pdV soit d(4πR3W/3)=-­‐W/3d(4πR3/3) avec dWt le travail élémentaire comme d(R3W)=R3dW+3WR2dR on en déduit : dW/W=-­‐4dR/R ce qui donne en intégrant :lnW=ln(1/R4)+cte et donc W=Cte/R4 par ailleurs W=(4/c)×sT4 donc T=Cte/R Ainsi, la température T associée au rayonnement diminue au fur et à mesure que le rayon R augmente. e) Soit Re le rayon de la sphère lorsque T=Te. Le rapport d’expansion de l’univers R/Re est donné par : R/Re=Te/T≈1100 f) Le nombre nλ de photons par unité de volume est multiplié par 1/α3. La température est multipliée par 1/α (démontré aux points d et e) puisqu’elle est inversement proportionnelle à R et l’énergie volumique totale W est multipliée par 1/α4 d’après la loi de Stefan. Il en résulte que l’énergie de chaque photon W/nλ est multipliée par 1/ α et donc la longueur d’onde par α: T’=T/α ;W’=W/α4 ; λ’=αλ
En divisant l’expression de Wλdλ par α4, il vient : Wλdλ
8πhc
αdλ
= Wλ$$dλ $ = 5 5
4
α
λ α exp[αhc /(αλk BT)] −1
d’où : €
Wλ""dλ " =
8πhc
dλ "
5
λ " exp[hc /( λ "k BT")] −1
La formule de Planck est invariante par changement d’échelle. €
g) L’expansion isentropique produit un décalage spectral de son rayonnement vers le rouge : λ’max/λmax = R’/R = T/T’ = α>1 Remarque: Appliqué à l'univers en expansion ce calcul non relativiste décrit le refroidissement (et donc le décalage du maximum du spectre vers les grandes longueurs d'ondes) du rayonnement cosmique, c'est à dire un refroidissement du rayonnement du corps noir. Il ne faut pas confondre ce décalage vers le rouge avec un autre décalage vers le rouge également causé par l'expansion de l'univers, celui des spectres d'émission provenant d'étoiles éloignées qui s'éloignent les unes des autres. Dans ce dernier cas le décalage spectral est dû à l'effet Doppler. 9