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INTERFERENCE13
On considère le dispositif des fentes d’Young utilisé en
lumière parallèle monochromatique de longueur d’onde λ = 598 nm.
(S) est une fente source fine, les fentes (F1) et (F2) sont également
fines et parallèles à (S). Elles dévient la lumière dans toutes les
directions. Entre les lentilles (L1 ) et (L2 ) sont disposées deux cuves
(C1) et (C2), de longueur ℓ = 190 cm, terminées par des lames transpa-
C1
F1
E
M
O
S
rentes.. L’indice de l’air dans les conditions de l’expérience est
n = 1,0002926.
L1
F2
C2
1) Les deux cuves contiennent initialement de l’air. Étudier la figure d’interférences sur un écran situé dans le plan focal image de la lentille L2, de distance focale f ’.
L2
2) On remplace alors progressivement l’air de la cuve (C1) par du monoxyde de carbone d’indice n’. Au cours de cette opération, on voit
au centre O du champ défiler vers le haut 134,0 franges lumineuses.
a) Calculer la valeur numérique de n’.
b) Calculer la plus petite fraction molaire de CO que l’on peut apprécier dans un mélange CO + air, sachant que l’on petit déceler le passage de 0,l frange. On rappelle que les variation de l’indice du mélange sont proportionnelles aux fractions molaires de CO dans le mélange.
Corrigé
1) Les fentes F1 et F2 sont des sources secondaires cohérentes car issues de la même source
réelle S.
Deux points de ces fentes dans un plan parallèle au plan de figure constituent deux sources
ponctuelles cohérente. Les faisceaux qui en sortent interfèrent dans leur zone de recouvrement et y
créent des franges.
Un autre point d’une fente donnée est une source incohérente avec le point source étudié
plus haut. Avec un point équivalent appartenant à l’autre fente, il constitue une paire de sources
cohérentes qui vont créer les mêmes franges que ci-dessus. Les éclairements des différentes paires
de sources s’ajoutent donc pour donner les franges d’une seule paire, en plus lumineux.
La lentille L2 projette sur l’écran (E) placé dans son
x
plan focal image l’image des franges situés à l’infini. En un
u
M
point M de l’écran convergent donc deux rayons qui ont proα
F1
gresser parallèlement entre eux à la sortie des fentes en faiα
a
sant un angle α avec l’axe optique. On a donc le schéma ciα
contre :
H
F2
(E)
Le déphasage en M entre les deux rayons est
2π
L2
f’
∆ϕ( M ) =
( SM ) 2 − ( SM )1 . On peut écrire
λ0
b
g
(SM)2 – (SM)1 = [(SF1) + (F1M)] – [(SF2) + (F2M)]
Comme les cuves sont remplies d’air, on a (SF1) = (SF2) puisque F1 et F2 sont à égale distance de S.
Par définition de la lentille, on a l’égalité des chemin optiques (F1M) et (HM) car H et F1
sont dans un plan perpendiculaire aux rayons.
Il reste donc (SM)2 – (SM)1 = (F2H)

→ Dans l’air ; on a (F2H) = n. F1 F2 . u = n.|F2H| = n.|F1F2|sin(α) avec |F1F2| = a.
Dans les conditions de Gauss, l’angle α est petit et l’on peut écrire sin(α) = α + ... et
x
x
2π
x
tan(α) = α + ... Or tan(α ) = . On a donc ( F2 H ) = na
et il reste ∆ϕ( M ) =
na .
f'
f'
λ0
f'
Comme on a deux ondes de même valeur maximale qui se superposent en M (car les fentes
2π
x
na
F1 et F2 ont la même largeur), l’éclairement en M est de la forme E ( x ) = 2E0 1 + cos
.
λ0
f'
F
GH
FG
H
IJ I
K JK
Les franges sur l’écran sont donc des droites perpendiculaires à l’axe Ox et l’interfrange vaut
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λ0 f '
na
2-a) Quand on a de l’air dans la cuve C1, on a (SO)2 = (SO)1 car le point O est sur l’axe optique. On a donc ∆ϕ(O) = 0.
Lorsque l’on met un gaz différent de l’air dans la cuve C1, on n’a plus (SF1) = (SF2). Comme
les cuves ont même longueur ℓ, on peut écrire (SF2) – (SF1) = (n – n’)ℓ. Comme (F1O) = (F2O), il
2π
reste ∆ϕ(O) =
n − n' ℓ . L’ordre d’interférence en O, qui était p(O) = 0, est devenu
λ0
n − n' ℓ
. Puisque N franges lumineuses ont défilé en O, on a |p’(O) – p(O))| = N.
p' ( O ) =
λ0
i=
b
b
g
g
Les franges défilent vers le haut donc la frange d’ordre 0 se retrouve au point M0 d’abscisse
positive et l’on a (SM0)2 – (SM0)1 = 0.
On peut écrire (SM0)2 – (SM0)1 = (n – n’)ℓ + [(F2M0) – (F1M0)].
Comme [(F2M0) – (F1M0)] > 0, on en déduit (n – n’)ℓ < 0 soit n’ > n. On a donc p’(O) < 0 et
λ
ℓ
l’on peut écrire (n'− n)
= N d’où n' = n + N 0 .
ℓ
λ0
A.N. n’ – n = 134
598 × 10−9
= 4,2×10-5.
−2
190 × 10
∆n
= 4×10–5 soit 4×10–3%.
n
b) Si l’on considère un mélange air-CO de fraction molaire x en CO.
Son indice de réfraction est nMEL = n’.x + n(1 – x).
n − nMEL ℓ n − n' x − n(1 − x ) ℓ
L’ordre d’interférence en O devient alors p"(O) =
=
λ0
λ0
n − n ' xℓ
= p’(O).x.
=
λ0
Comme n ≈ 1, la précision de la mesure est
b
b
g b
g
g
Si l’on note Nm la fraction minimale de frange que l’on peut voir défiler, on a xm =
soit xm =
pm "(O)
p'(O)
Nm
.
N
0,1
= 7,5×10–4.
134
Ce dispositif permet donc de détecter la présence de trace de CO dans l’air dès que sa fraction molaire dépasse la valeur 7,5×10–4 soit 0,75 ppm.
A.N. xm =
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