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PC - Lyc´ee Dumont D’Urville
TD 2 optique ondulatoire
I. Retour `
a la formule de Fresnel
M
Soit deux sources lumineuses S1 et S2 qui ´emettent
des ondes lumineuses dont les amplitudes sont
donn´ees par:
S1
a(M,t)
a1(t)
a1 (t) = A1 cos(ω1 t + φ1 ) et a2 (t) = A2 cos(ω2 t + φ2 ).
a2(t)
S2
1. Exprimer l’intensit´e moyenne de l’onde ´emise par S1 puis celle ´emise par S2 en fonction d’une constante
k et de A1 et A2 . Pourquoi s’int´eresse-t-on particuli`erement `a l’intensit´e moyenne?
2. Soit un point M qui re¸coit les ondes ´emises par S1 et S2 . L’onde ´emise par S1 et re¸cue en M `a l’instant
t, a ´et´e ´emise `
a l’instant t1 . Exprimer t1 . L’onde ´emise par S2 et re¸cue en M `a l’instant t, a ´et´e ´emise `a
l’instant t2 . Exprimer t2 . En d´eduire l’amplitude a(M, t) de l’onde lumineuse r´esultante en M `a l’instant t.
3. Exprimer l’intensit´e moyenne I(M ) de l’onde en M . Montrer qu’elle est diff´erente de I1 + I2 `a condition
que ω1 = ω2 et que φ1 − φ2 soit constante (ind´ependante du temps). Exprimer I(M ) lorsque ces deux
conditions sont v´erifi´ees. Que signifient physiquement les conditions ω1 = ω2 et φ1 − φ2 est une constante
ind´ependante du temps?
II. Coh´
erence
On ´etudie exp´erimentalement des interf´erences avec la radiation de longueur d’onde λ0 = 589, 3 nm et on
observe que la diff´erence de marche ne peut pas d´epasser une valeur de l’ordre de 3 cm. Quel est l’ordre
d’interf´erences maximum et quel est l’ordre de grandeur de la largeur spectrale not´ee ∆λ de la raie ?
III. Utilisation de la longueur de coh´
erence d’une source
Soit une lampe spectrale HP (haute pression) `a
vapeur de sodium de longueur d’onde λ = 589 nm.
Elle ´eclaire deux fentes qui jouent le rˆole de sources
secondaires S1 et S2 . Les sources sont distantes de
a = 2 mm. On observe les franges d’interf´erences
dans le plan focal image d’une lentille de focale f ′ =
50 cm.
Ox
S1
θ
a
F’
ao
S2
1. Construire les rayons lumineux issus de S1 et S2 ´emergents de la lentille. Placer le point M d’abscisse
x, intersection de ces deux rayons.
ax
2. Montrer que la diff´erence de marche (S2 M ) − (S1 M ) s’´ecrit δ2/1 (M ) = ′ .
f
3. Rappeler le temps de coh´erence τ de la source utilis´ee et en d´eduire la longueur de coh´erence lc de cette
source. En d´eduire la valeur limite de xlim pour laquelle on peut observer des interf´erences.
4. Que devient xlim lorsque l’on remplace la source par une source de lumi`ere blanche. Conclure.
1
IV. Utilisation de la formule de Fresnel
Une source laser S (λ = 638 nm) ´eclaire un interf´erom`etre de Michelson qui comprend une lame
s´eparatrice L et deux miroirs plans M1 et M2 Le
rayon incident d’intensit´e I0 se divise en deux rayons
I0
sur la lame semi-r´efl´echissante.
de mˆeme intensit´e
2
Le rayon not´e 1 est r´efl´echi sur la lame, puis sur M1 ,
puis transmis par la lame. Le rayon not´e 2 est transmis par la lame, puis r´efl´echi sur M2 puis sur L.
M1
L
d1
M2
S
d2
M
1. Tracer les rayons 1 et 2 et calculer la diff´erence de marche δ = (SM )2 − (SM )1 en fonction de d1 et d2 .
2. Calculer la valeur minimale de d2 − d1 pour laquelle M est sur une frange sombre.
I(M )
3. Calculer le rapport des intensit´es
pour d2 − d1 = 1, 5 µm.
I0
4. La source laser ´emet deux ondes de mˆeme intensit´e I0 et de longueurs d’onde λ et λ′ = 580 nm. Calculer
I(M )
pour d2 − d1 = 1, 9 µm.
le rapport des intensit´es
I0
V. Questions de base sur les fentes d’Young
1. Deux fentes ´etroites distantes de a = 0, 6 mm sont ´eclair´ees par de la lumi`ere de longueur d’onde
λ = 480 nm. On observe la figure d’interf´erences sur un ´ecran `a une distance D = 1, 25 m des fentes.
1.a.
Quelle est l’intensit´e lumineuse en un point du centre de l’´ecran par rapport `a celle que
produirait une seule fente? Mˆeme question en un point situ´e `a 0, 45 mm du centre de l’´ecran (au-dessous et
au-dessus du centre de l’´ecran).
1.b.
Ox
La source S est d´eplac´ee d’une distance e = 1 mm
de l’axe optique (axe de sym´etrie des deux fentes
d’Young). La distance entre la source et le plan
des fentes d’Young est d = 0, 5 cm. Exprimer la
diff´erence de marche δ2/1 (M ) = (SS2 M ) − (SS1 M )
en fonction de a, x, D, e et d.
M(x)
S1
S
a
e
O
ao
S2
d
D
Quelle est l’intensit´e lumineuse en un point du centre de l’´ecran par rapport `a celle que produirait une seule
fente? Mˆeme question en un point situ´e `
a 0, 45 mm du centre de l’´ecran (au-dessous et au-dessus du centre
de l’´ecran).
2. Dans l’exp´erience des fentes d’Young, la frange brillante d’ordre 3 est `a 16 mm du centre de l’´ecran situ´e
`a 2 m des fentes. Pour une longueur d’onde λ = 590 nm, calculer la distance entre les franges et la distance
entre les fentes.
3. Dans l’exp´erience des fentes d’Young, la source principale est compos´ee de deux longueurs d’onde
λ1 = 500 nm et λ2 = 530 nm. Les ondes associ´ees `a ces deux longueurs d’onde ont la mˆeme intensit´e
I0 . On a D = 1 m et a = 1 mm. Calculer les interfranges li´ees aux deux longueurs d’onde. Calculer, en
fonction de I0 : l’intensit´e totale au centre de l’´ecran, puis l’intensit´e totale `a une distance de 4 cm du centre
de l’´ecran.
2
4. Les deux fentes d’un montage d’interf´erence d’Young ont une largeur b = 0, 15 mm. On observe 7 franges
brillantes `a l’int´erieur du maximum central de diffraction. Quelle est la distance entre les fentes?
5. On suppose que l’exp´erience des fentes d’Young est r´ealis´ee sous l’eau. La figure obtenue change-t-elle?
si oui, comment?
VI. Exp´
erience des fentes d’Young
Dans l’exp´erience des fentes d’Young, avec une source ponctuelle et monochromatique, les sources secondaires
sont distantes de a = S1 S2 = 1 mm et la distance des fentes `a l’´ecran est D = 2 m. La distance `a l’´ecran
entre les ordres −3 et +3 est ∆x = 3 mm.
Ox
M(x)
S1
S
a
0
S2
D’
D
1. En d´eduire l’interfrange et la longueur d’onde.
2. On ajoute sur S1 , une lame de verre d’´epaisseur e = 20 µm et d’indice n = 1, 5. D´eterminer la position
de la frange d’ordre 0. On d´eplace d’une distance d′ la source principale S de fa¸con `a ce que la frange d’ordre
0 soit en x = 0. Pr´eciser le sens dans lequel on doit d´eplacer S et calculer d′ pour D′ = 0, 2 m.
3. On retire la lame de verre et on place devant l’´ecran une lentille convergente de focale image f ′ = 50 cm.
O`
u faut-il mettre la lentille pour observer les interf´erences? quel est le rˆole de la lentille? calculer le nouvel
interfrange i′ .
R´eponses: λ = 0, 5 µm, d′ = 2 mm et i′ = 0, 25 mm
VII. Interf´
erom`
etre de Rayleigh
L’interf´erom`etre de Rayleigh est un d´eriv´e du dispositif d’Young. Lorsque les tubes T et T ′ sont remplis d’air dans les conditions normales, le montage
est sym´etrique et l’on observe une frange brillante au
centre I de l’´ecran.
T
M
I
S
La source S ´emet la radiation λ = 577 nm, la
longueur commune des tubes est l = 0, 2 m.
T’
′
T ´etant toujours rempli d’air, on fait progressivement le vide dans T.
1. Dans quel sens d´efilent les franges en I ?
2. Pendant le pompage, 101 franges brillantes d´efilent en I et, lorsque la pression dans T est quasi- nulle,
on observe en I une frange sombre. En d´eduire l’indice de l’air dans les conditions normales.
R´eponse: n − 1 =
101, 5.λ
l
3
VIII. Bilentilles `
a obturation
Une fente source S fine, monochromatique (λ = 589, 3 nm) est plac´ee dans le plan focal d’une lentille
convergente. Un peu plus loin sont plac´ees les deux moiti´es d’une lentille convergente L de focale image f ′ =
25 cm. Cette lentille a ´et´e sci´ee en deux suivant un diam`etre. Les deux moiti´es sont ´ecart´ees sym´etriquement
par rapport `a l’axe optique d’une distance 2ǫ = 2 mm. L’intervalle ainsi cr´e´e entre les demi-lentilles est
obtur´e par un cache opaque.
plan focal
image de
LA et LB
Oy
LA
2ε
S=F1
Ox
LB
f’
d
ecran
1. Construire les images SA et SB de S par les demi-lentilles LA et LB . Exprimer la distance l = SA SB en
fonction de ǫ.
2. On observe dans le plan situ´e `
a d = 1/m de L.
2.a.
Pr´eciser par un dessin, la zone d’interf´erences. En d´eduire la taille de cette zone en fonction
de ǫ.
2.b. En un point M (y) sur l’´ecran calculer la diff´erence de marche des rayons qui interf`erent en M
en fonction de ǫ, d, f ′ et y.
2.c.
En d´eduire l’interfrange et le nombre de franges visibles.
3. La lumi`ere ´emise par la source est en fait constitu´e d’un doublet λ1 = 589, 0 nm et λ2 = 589, 6 nm. Au
bout de combien d’interfanges, compt´ees `
a partir de O, les deux syst`emes de franges vont-ils se brouiller?
(soit une frange brillante d’un syst`eme de franges se superpose avec une frange sombre de l’autre syst`eme
de franges). Ce ph´enom`ene est-il observable ici?
R´eponses : i =
λ(d − f ′ )
, largeur du champ d’interf´erences 2ǫ et on observe 27 franges.
2ǫ
IX. Miroir de Lloyd 1
Un faisceau incident monochromatique limit´e par les
deux rayons qui apparaissent sur le sch´ema tombe sur
le miroir plan ci-contre.
Ox
M(x)
θ
O
1. Repr´esenter les rayons lumineux qui vont interf´erer en M. Exprimer la diff´erence de marche entre ces
λ
deux rayons lumineux. On ajoute `
a cette diff´erence de marche
pour tenir compte du d´ephasage li´e `a la
2
r´eflexion sur le miroir.
2. Calculer la distance d entre deux maxima successifs d’intensit´e sur l’´ecran.
3. Dans le cas o`
u le coefficient de r´eflexion en ´energie sur le miroir est de 80 %, calculer le contraste des
franges apr`es l’avoir d´efini.
4
X. Miroir de Lloyd 2
Le dispositif interf´erentiel ´etudi´e est appel´e miroir de Lloyd. Une source ponctuelle S monochromatique
(λ = 600 nm) est situ´ee `
a une distance h d’un miroir plan (orthogonal au plan de figure) de cˆ
ot´e AB = l =
24 cm. On note H le projet´e de S sur le plan du miroir : d = HA = 1 cm et h << d. Le plan d’observation
est le plan (P ).
(P)
S
h
H
B
d
l
1. Repr´esenter le champ d’interf´erences, donner l’expression litt´erale de sa largeur hi dans le plan d’observation.
Porter sur le dessin les sources coh´erentes qui donnent des interf´erences sur l’´ecran, pr´eciser la forme des
franges sur l’´ecran et d´eterminer l’expression litt´erale de l’interfrange dans le plan d’observation.
2. On forme l’image de (P) `
a l’aide d’une lentille mince convergente de focale 10 cm qu’on dispose `a 12 cm
de (P). L’interfrange mesur´ee dans le plan image est de 1, 5 mm.
2.a.
D´eterminer la position de l’image de (P) par la lentille, en d´eduire le grandissement et
l’interfrange mesur´ee sur l’´ecran (P).
2.b. En d´eduire h et le nombre de franges brillantes observ´ees, sachant que la frange en B est noire
en raison d’un d´ephasage suppl´ementaire de π dˆ
u `a la r´eflexion sur le miroir.
R´eponses : hi =
lh
λ(l + d)
, sur l’´ecran (P) : i = 0, 3 mm, h =
= 0, 25 mm, on compte 20 franges brillantes
d
2i
5