Transcript Document 4585439

Université de Caen
LMNO
Le tenseur Energie-Impulsion
C. LONGUEMARE
28 octobre 2014
Résumé : Qu'est-ce que dans l'équation d'Einstein?
T µν
Equation d'Einstein Référence [1]
Tr R )
( Rµν −
1
gµν
2
Tr R
= −a
Conséquences
∗
− gµν Λ = a Tµν
Tr T − 4Λ
R00 = a (T00 − g200
Tr T ) − g00 Λ
En principe, le programme est simple mais ...
(courbure) (eq di) géodésique
Equation aux dimensions (physiques) soit à vérier
Tµν → Rµν
→ gµν
→
→ Tµν
Rij ∼ L−2
a = 8πG c−4
G ∼ LM −2 W
R∼
cqfd
.
∗
a=
8πG
c4
∂2
∂x2
⇒ a ∼ LW −1
T00 ∼ W L−3 ⇒ R00 ∼ a T00 ∼ L−2
g
∼ L W −1 = 2, 0 10−43 m J −1
0-a
Conventions
c=ℏ=1
sauf ...
gµν = g µν = (1, −1, −1, −1)
avec
µ = 0, 1, 2, 3
et
ϵ0123 = 1
et
ϵ123 = 1
i = 1, 2, 3
p 2 = m2 c 4 ≥ 0
2≥0
c2τ 2 = x2
−
x
0
ϵ0 = µ0 = 1
2
e
1
α = 4π ℏc = 137,036
∼ 10−2
unités électromagnétiques
Statique
∆V = −ρ ⇒ WEM = q V
Gravitation
∆ϕ = ρ ⇒ WGr =
qq ′
= 4π r
′
mm
m ϕ = −G 4π r
⃗EM =
F
qq ′
⃗
u
4π r 2
′
mm
⃗
FGr = −G 4π r2 ⃗
u
Plan
1. La conservation de l'énergie
2. La conservation de l'énergie-impulsion classique
3. Le théorème de Noether
Le tenseur énergie-impulsion en théorie des champs.
4. Les uides acoustiques
5. Les ondes électromagnétiques classiques
6. La gravitation relativiste d'Einstein
propriétés générales de
cas d'un gaz de poussières à la pression p
cas d'un gaz relativiste
7. Diérentes hypothèses en cosmologie
Tµν
1
Conservation de l'énergie ↔ invariance / temps
1. Un point matériel (m) dans un potentiel
2. l'espace de phase est ou
Le formalisme lagrangien et hamiltonien
(x, x)
˙
L(x, x)
˙ =
m
2
U (x) x ∈ R(3)
(x, p)
x˙ 2 − U (x)
p =
H(x, p) =
∂L
∂ x˙
x˙ − L =
p2
2m
∂L(x,x)
˙
∂ x˙
= mx˙
+ U (x)
Dynamique : principe de moindre ∫action
Conséquence
A=
d
∂L
H(x, p) =
= 0
dt
∂t
L(x, x)
˙ dt
L(x, x,
˙ t′) = L(x, x,
˙ t)
2
L'énergie-impulsion ↔ invariance / espace-temps
1. deux points matériels (m) en interaction
2. l'espace
de
phase
est
ou
avec
Le formalisme lagrangien et hamiltonien
U (x1 − x2 )
(xi , x˙ i )
(xi , pi )
L(x, x)
˙ =
∑
m
i 2
i = 1, 2
x˙ 2i − U (x1 − x2 )
3. Théorème de Noether :
soit une "symétrie"∑continue, paramétre ∑ ( telque
)
ϵ∼0
dL
dϵ
∂L ∂x
∂x ∂ϵ
=
∑ ( ∂L
)
∂x
∂ x˙ ∂ϵ ϵ=0
+
∂L ∂ x˙
∂ x˙ ∂ϵ
=
d
dt
x(t, ϵ)
∂L ∂x
∂ x˙ ∂ϵ ϵ=0
= 0
= Cte
4. Exemple : La translation dans , dans chaque direction spatiale
R3
x(t, ϵ) = x(t) + ϵ
constantes du mouvement
∑
H(x, p) =
∂x
= 1
∂ϵ
∑ ∂L
1 2
p + U (x1 − x2 )
2m i
∂ x˙
=
∑
mx˙ = Cte
⃗ (x, p) =
P
∑
p
⃗i
3
Conclusion : Systèmes conservatifs
1. Espace de phase pour points
n
2. Equations de Lagrange-Euler :
˙
(x(t), x(t))
i
L(x, x)
˙
d ∂L(x, x)
˙
∂L(x, x)
˙
=
dt
∂ x˙
∂x
3. Invariance par translation dans les directions
i = 0..3 ∗
⃗ = Cte
⃗
P
H = Cte
4. Equations dynamiques de Hamilton :
p˙ = − ∂H
∂x
x˙ =
H(x, p)
) ( )
(
( )
∂x
0 1
x˙
H
=
∂p
−1 0
p˙
∂H
∂p
. pour le temps il faut tenir compte le la variation des bornes
∗
4
En théorie des champs
Le
système
est
déni
par
des
fonctions
et
les
variations
associées
à
chacune des directions de l'espace temps.
avec
Equation de Lagrange
(expression
du
principe
de
moindre
action)
(
)
∫
u(x)
(u(x), uµ (x))
A =
L(u, uµ , x) d4 x
Exemple : une onde( scalaire
L =
(
∂µ
∂L
∂uµ
uµ = ∂µ u(x) =
⇒
)
1
2
soit l'équation de D'Alembert : (avec
avec
Avec une source : (interaction)
=
∂L
∂u
−(ui )2 + β −2 (u0 )2
= −∂i (ui ) + β −2 ∂0 u0 =
□ u = 0
∂L
∂uµ
libre, sans
source!
(
u(x) ∗
)
ui ui + β −2 u0 u0 =
1
2
∂µ
∂u(x)
∂xµ
∂L
∂u
x0 = βt
)
)
= 0
□ = ∇µ ∇µ = −△ + ∂02
S(x)
Lint = S(x) u(x)
∂L
= S(x) ⇒ □ u = S(x)
∂u
. La dimension physique de est xée par = densité d'énergie
∗
u
L
L ∼ W.L−3
5
.
Le théorème de Noether
La dynamique du système( )est invariante
dans
la
symétrie
(
)
u(x)
x
u(x)
x(ϵ)
u(x(ϵ), ϵ)
→
si l'action est stable
par
rapport
à
la
transformation
∫
(
)
au 1er ordre en
Les variations :
)
(
L(u, uµ , x) d4 x
δ
δxµ
δu
ϵ
∼0
=
=
ϵ
Λµ δϵ
M δϵ
Le courant conservé dans la "direction" :
δϵ
Θµ =
Θ0
∂L
(−M
∂uµ
+ uν Λ ν ) − L Λ µ
∂µ Θµ = 0
est conservé et est le courant associé
Θi
6
Démonstration
est
La dynamique
du
système
est
invariante
dans
la
symétrie
si
l'action
stable par rapport à la transformation
u(x)
∫
A =
∫
L(x) d4 x ∼
analyse des diérentes variations
1. changement de variable :
δϵ
L′(x′) d4 x′
δx
δxµ = Λµ δϵ
d4 x′ = |J| d4 x = (1 + ∂µ (δxµ )) d4 x
2. changement de fonction :
u′(x′) = u(x) + M δϵ
⇒ u′(x) − u(x) = δu(x) = (M − Λν uν ) δϵ
3. changement de∫ (l'action
δA ∼
)
∂L
∂L
δu +
δuµ + ∂µ L δxµ + L ∂µ (δxµ ) d4 x
∂u
∂uµ
4. Utilisant l'équation de Lagrange
Euler
(
∫
δA ∼
∂µ
∂L
δu + L δxµ
∂uµ
)
d4 x
7
5. Soit
∀ δϵ ∼ 0
:
δA ∼ 0 ⇒
∫
∂µ Θµ δϵ d4 x
avec
est conservé dans symétrie
est la densité de courant de
Pour les quatre translations,
à
xé
)
(
Θµ =
∂L
∂uµ
Θ0
= 0 ⇒ ∂µ Θµ = 0
(M − Λν uν ) + L Λµ
ϵ
Θi
Θ0
ρ
Λν
M
=
=
Θµρ =
∂L
∂uµ
= 0, 1, 2, 3
− gρν δϵ
0
gρν uν − L gρµ =
D'après le théorème de Noether :
∂µ Θµρ = 0
et
Θ0ρ
∂L
∂uµ
uρ − L gρµ
conservé
Le tenseur énergie impulsion
Le tenseur énergie - impulsion (non symétrique) :
est conservé
apriori non-symétrique
Théorème de Noether : conservation de
Θµν =
∂L
∂uµ
uν − L gνµ
Θ0ν
ν = 0, 1, 2, 3 [1]
Θµν ̸= Θνµ
Θ0ν
∂µ Θµν = 0 = ∂0 Θ0ν + ∂i Θiν
Lois de conservation
dans
R
(énergie
et
impulsion)
∫
3
Qν =
Θ0ν
d3 x
d
Qν = −F lux(Θiν )
dt
ν = 0, 1, 2, 3
Interprétation physique des termes du tenseur (réf 1 page 111) :
1. : densité d'énergie
2. : densité de quantité de mvt
3. : courant d'énergie
4. : tenseur de contraintes dans R
Θ00
Θ0i
Θi0
Θij
3
8
Θµν =
∂L
∂uµ
Exemple : une onde scalaire
(∑
1
2
Θ00 =
ui
(
1
2
ui
u(x) ∗
β −2 u
+
β −2 u20 +
∑
Θ0i =
−β −2 u0 ui
Tr (Θ)
=
.
le
courant
d'énergie
est
mouvement
∗
Θ0ν
)
( 00
Θ
Θ0i
=
Θi0 Θij
Θµν
L =
uν − L g µν
3
2
Θi0
(
u2i
0
u0
)
)
u2i − β 2 u20
conservé
H = Θ00
Θi0 = ui u0
Θij = ui uj − L gji
)
tandis que
Θ0i
est la densité de quantité de
Cas d'un uide acoustique : u(x) ≡ ϕ(x)
Approximation linéaire avec le potentiel des vitesses : dimension
Ecart à l'équilibre : pression température densité vitesse
ϕ
ϕ
L2 t−1
•
p˜ = p(x) − p0 ,
•
∂⃗v
⃗ p˜
= − grad
∂t
ρ˜ = χs ρ0 p˜
⃗v (x) ∼ 0
ρ˜˙ = −ρ0 div(⃗v )
hypothèses : mvt irrotationnel, sans viscosité..., vitesse des ondes
⃗ ϕ
⃗v = −grad
•
ρ˜ = ρ(x) − ρ0 ,
Equation d'Euler et thermodynamique (linéarité, réversibilité)
ρ0
•
T˜ = T (x) − T0 ,
p˜ = ρ0 ϕ˙ ⇒ β =
Dynamique lagrangienne
et
tenseur
E-P
(
)
L =
1
2
1
2
Θ0j = β −2 p˜ vj
(
ρ0⃗v 2 + χs p˜2
χs ρ0
△ϕ − β −2 ∂t2 ϕ = 0
ρ0⃗v 2 − χs p˜2
Θ00 = H =
√
−1/2
)
Θi0 =
p˜ v i
Θij = ρ0 v i vj − L gji
9
Physique de l'acoustique
L'équation de conservation
Interprétation
•
∂0 Θ0ν = −∂j Θjν
•
en intégrant sur
le
volume
fermé
de
limite
dans
∫
∫
théorème de Stockes
Les grandeurs conservées
:
(
)
est la densité d'énergie
est la densité de quantité de mvt
les actions dynamiques
est le courant d'énergie l'intensité incidente
est le tenseur des contraintes dans
V
Qν =
•
Θ0ν d3 x
V
Θ00 =
1
2
d
dt
Qν = −
δV
R3
j
Θ
ν dsj
δV
ρ0⃗v 2 + χs p˜2
−Θ0i = Θ0i = β −2 p˜ ⃗v
•
Θj0 = p˜ ⃗v
Θji = ρ0 v i vj − L gji
∼
R3
10
Tenseur Θ : matière non-relativiste
à partir de points matériels sans interaction
Le Lagrangien
(
•
dA = L dt d3x =
est la densité de points dans
La densité du tenseur ( symétrique)
Θ00 = n mc2
v µ = (c, v i )
Θi0 = n mc v i
En moyenne, localement (gaz parfait
isotrope)
(
)
Autres composantes
Θji = −
1
mv¯2
3
Θi0 ∝ v¯i = 0
•
n d4 x
Θµν Θµν
Θµν = m ( v µ vν ) n
•
1
mv 2
2
R3
n
•
−mc2 +
)
Trace de ?
n δij = −p δji
Θ0j ∝ v¯j = 0
Θ00 = ϵ = m ( c2 +
Θ
(
Θµν =
ϵ 0
0 −p
)
Θij = n m v i vj
1
2
v 2 ) n + ...
Tr Θ
= ϵ−3 p
11
Généralisation relativiste : uide en mouvement à la pression interne
•
Θµν = (ϵ + p) U µ Uν − p gνµ
Tr Θ
Θµν
= ϵ − 3p
compatible avec l'approximation statique pour
. référence : 1 page 118
∗
Uµ =
p∗
dxµ
dτ
U µ = (1, ⃗
0)
et
ϵ = (mc2 ) n
Les ondes électromagnétiques en relativité restreinte
L'électromagnétisme classique de Maxwell (rappels )
est le tenseur électromagnétique 6 composantes (
•
•
Fµν
Interprétation du tenseur
Fµν
Equations de J.C. Maxwell
∂ ν Fνµ
•
= Jµ
[1]
F i0 = E i
∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0
[2]
Une
particule
chargée
interagit
avec
un
champ
classique
et
la
dynamique
peut
être extraite du principe de moindre action ( ).
Amin
dA = −mdτ − q Aµ dxµ
⇒
dpµ
dτ
= Fµ = q (Fµν .v ν )
avec
La
dynamique
du
champ
EM
(équations
de
Maxwell)
obéit
au
principe
de
moindre action. (
)
pµ = m v µ = m
•
).
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
Fij = −ϵijk Bk
•
⃗
E⃗ , B
L =
avec
− 14 F 2 +
m2
2
dxµ
ds
A2 − J.A
F 2 = F µν Fµν
dA = L
A2 = Aµ Aµ
d4 x
J.A = J µ Aµ
12
Le champ E.M libre, sans masse
Le tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique classique
et
et
Le tenseur énergie.impulsion .
est conservé
composante symétrique
Explicitement en( fonction
de
et
:
)
(
)
∗
u(x) = Aρ(x)
J(x) = 0
L = −
1 2
F
4
Θµν
•
Θµν =
∂L
∂Aρµ
Aρν − L gνµ
Θµν = −Fρν F ρµ +
1
4
Θ0ν
F 2 gνµ = Θνµ
•
E2
L = − 14
F2
Θ00 = H =
=
1
2
(
1
2
B
E 2 − B2
E 2 + B2
)
Θ0i = − (E ∧ B)i
Θji = −Ei E j − Bi Bj −
Θ0i = Θi0
Propriété du tenseur EM
•
Tr Θ
. référence 1 page 111-112
= 0
1
2
gij (E 2 + B2 )
ϵ − 3p = 0
∗
13
La cosmologie
La métrique de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (appendice 1)
∗
ds2 = c2 dτ 2 = c2 dt2 − λ(t)2 dΣ2
où
dΣ2 = A(r)dr2 + r2 dΩ2 ,
avec
dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2 .
A(r) = (1 − k r2 )−1
this metric ranges over a 3-dimensional space of uniform curvature, that
is, elliptical, Euclidian , or hyperbolic space.
dΣ does not depend on t, all of the time dependence is in the function
λ(t), known as the "scale factor".
hypothèse d'isotropie espace à courbure
Σ
hypothèse euclidienne : espace à courbure nulle :
Σ
Les coordonnées sont :
R3
d
2
−6k
= A(r)dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
R3
d
2
ct
r
θ
g00 = 1
g22 = −λ(t)2 r2
k = 0
= dx2 + dy 2 + dz 2
ϕ
g11 = −λ(t)2 A(r)
g33 = −λ(t)2 r2 sin2 (θ)
. http :/en.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker metric
∗
14
Le tenseur de Ricci ∗
Rµν = ∂ℓΓℓµν − ∂ν Γℓµℓ + ΓℓℓsΓsµν − ΓℓνsΓsµℓ = ∇ℓℓsΓsµν − ∇ℓνsΓsµℓ
Calcul de
R00
Calcul des
R00
Rii
R11 =
R22 =
r 2 λ2
c2
R33 =
r 2 λ2
c2
Tr R
R00
−
=
1
2
g11 = −λ2 A(r)
(
)
¨
λ˙ 2
2kc2
λ
( λ ) + 2( λ ) + λ2
(
2
sin θ
R00
Tr R
+
¨
( λλ )
∑
=
+
˙
2( λλ )2
i
i=1..3 Ri
+ c32
(1)
g00 = 1
(
)
¨
λ
λ˙ 2
2kc2
( λ ) + 2( λ ) + λ2
Aλ2
c2
Conséquences
3 ¨
λ
= − 2 ( )
c
λ
=
g22 = −λ2 r2
+
2kc2
λ2
− c62
(
)
λ˙ 2
kc2
( λ ) + λ2
)
g33 = −λ2 r2 sin2 (θ)
(
)
¨
λ˙ 2
kc2
λ
( λ ) + ( λ ) + λ2
¨
R00 = − c32 ( λλ )
http
://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/slides.
GD.pdf pages 40-42
∗
15
La physique de l'équation d'Einstein
Equations d'Einstein( (réf 1 page 363,
réf
2
page
199
...)
)
∗
Rµν −
⇒−
conséquences :
R00
R00
−
Tr R
gµν
Tr R
=
1
2
1
2
a
2
= a
Tr R
= a
(T00 −
T00
∑
= a Tµν + gµν Λ
Tr T + 4 Λ
Tii ) − Λ
+Λ
=
Univers homogène de matière( statique
:
)
ϵ(t) 0
0
0
Tµν =
¨
= − c32 ( λλ )
+ c32
ϵ(t) = ρ(t)c2
Equations
de
Friedmann
sur les fonctions et avec paramétres
†
λ(t)
ρ(t)
˙
λ 2
) +
3(( cλ
k
)
λ2
(
)
λ˙ 2
kc2
( λ ) + λ2
Λ ,k
.
= (a ρc2 + Λ)
¨
−3( cλ2 λ ) = ( 2a ρc2 − Λ)
.
. http :/en.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric
∗ a=
†
8π G
c4
∼ t2 L−1 M −1
16
Quelques résultats numériques ∗
constante de Hubble : les mesures les plus récentes, en 2008,
donnent
9 a
h−1
=
12,
2
10
0
h0 = 80, 0 ± 2, 7 (km/s)/M pc
Mégaparsec
La densité d'énergie critique :
1. univers plat
2. en expansion
3. de matière non-relativiste
4. avec
M pc =
= 3, 086 1019 km
† ϵ
2
0 = ρ0 c
k=0
h0
Λ=0
2
3 c h2 = 6, 74 GeV /m3 ∼ 7, 2
ϵ0 = 8π
G 0
(nucléons)
/m3
.
http
://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/slidesGD.pdf page 31
.
(proton)
Giga électron-volt
∗
†
mp =
1, 602 10−10 J
0, 938 GeV /c2
GeV
=
=
17
Quelques situations particulières
(comme Hubble)
En fonction de
L'univers stationnaire :
L'univers plat et composé de matière statique :
h(t) =
λ˙
λ
λ = 1
¨
λ = λ˙ = 0
h = 0
2k = ac2 ρ
∗
Λ = k
¨
λ≤0
λ ∼ t2/3
ac2
2
˙
Λ = 0 k = 0 − h(t)
=
ρc2 h(t) ∼ t−1 ρλ3 = Cte
2
3
¨
λ ≥ 0 λ ∼ exp(h0 t)
√
Λ 2
˙
ρ = 0 k = 0 Λ > 0 h(t)
= 0
h(t) = ±h0 h0 =
c
3
L'univers inationnaire sans matière :
.
http
://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/slidesGD.pdf page 31
∗
18
Retour sur le tenseur Energie-Impulsion
Univers homogène de matière
en
mouvement
"brownien"
à
la
pression
:
)
(
p∗
Tµν =
Tr T
ϵ(t)
0
−p(t)
0
= ϵ − 3p
Equations d'état de la matière qui contribue au tenseur
hypothèse!
avec
Equations de Friedmann sur
paramétres
p(ϵ) = w ϵ
ϵ(t)
R00
R00
=
−
1
2
Tr R
a
2
= a ϵ+Λ
La constante cosmologique
w = cte
p(t)
(ϵ + 3p) − Λ
¨
= − c32 ( λλ )
=
Λ∼
3
c2
Λ
k
[F 1]
(
)
kc2
λ˙ 2
( λ ) + λ2
une pression négative
pΛ = −
Tνµ
[F 2]
2Λ
3a
Conséquence indépendante de ! ( eq [F1]+eq [F2] et dérivée [F2])
Λ
ϵ˙ = −3(ϵ + p)
. réf 1 page 118
λ˙
λ
∗
19
Diérents modèles :
Diérents univers homogènes réf 12 page 39
équation d'état
p = w ϵ
ϵ˙ = −3(ϵ + p)
λ˙
λ
ϵ˙
ϵ
= −3(1 + w)
λ˙
λ
ϵ ∼ λ−3(1+w)
hypothèse
w
scaling
with
radiation
1/3
matter
0
dark energy -1
Evolution en fonction du temps dans l'hypothèse réf 10 page 64
ϵ
λ
λ−4
λ−3
λ0
λ ∼ tβ
a
2
√
h0 =
Λc2
3
¨
ϵ (1 + 3w) − Λ = − c32 ( λλ )
hypothèse
radiation
matter
dark energy
λ ∼ tβ
t1/2
t2/3
exp h0 t
¨
λ
−
−
+
20
gure 1
gure 2 (réf wikipedia)
Estimated
relative
distribution
for
components
of
the
energy
density
of
the
Universe :
Dark
energy
dominates
the
total
energy
(74%)
While
dark
matter
(22%)
constitutes
most
of
the
mass.
Of the remaining baryonic matter (4%), only one tenth is compact.
On
21
March
2013,
the
European-led
research
team
behind
the
Planck
cosmology
probe
released
new
data
rening
these
values
to
4.9%
ordinary
matter, 26.8% dark matter and 68.3% dark energy.
∗
. http ://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann equations
∗
Conclusion
Retour sur l'équation d'Einstein
Comparaison de la gravitation relativiste avec l'électromagnétisme
Le interaction
courant électromagnétique
=
source
du
champ
E-M
vectorielle
Le interaction
tenseur énergie-impulsion
=
source
du
champ
de
gravitation
tensorielle
Les ondes gravitationnelles et la quantication
à suivre
21
références
1 L. Landau & E. Lifchitz , Théorie des champs , Ed MIR , 1970
2 R. Feynman , Leçons sur la gravitation , Ed Odile Jacob,2001
3 C. Missner & al , Gravitation , Ed W.H. Freeman & Co, 1973
4 J. Rich , Principes de la cosmologie , Ed Ecole Polytechnique, 2002
5 C.D. Walecka , Introduction to general relativity , Ed World Scientic, 2007
6 P. Dirac , General theory of relativity , Ed Princeton, 1975
7 P. Peter & al , Cosmologie primordiale , Ed Belin, 2005
8 R. Omnès , Théorie du champ électromagnétique , Poly Orsay, 1967
9 L. Ryder , Introduction to general relativity , Cambridge U Press,2009
10 L. Bergstrom & al , Cosmology and particle astrophysics , Wiley & Sons, 1999
11 Scott Dodelson, Modern Cosmology , Academic Press, London, 2003
12 Balsa Terzic, http ://www.nicadd.niu.edu/ bterzic/PHYS652/ , Northern Illinois Univ, 2008
22
Appendice 1 : : La métrique de FLRW
La métrique de Robertson Walker (réf 1 page 442)
ds2 = c2dτ 2 = c2dt2 − λ(t)2dΣ2
hypothèse d'isotropie dans :
Σ
Ω
où
avec
R3
d 2 = A(r)dr2 + r2d 2,
dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2.
A(r) = (1 − k r2)−1
Les coordonnées sont :
q 0 = ct
q1 = r q2 = θ
q3 = ϕ
g00 = 1
g11 = −λ(t)2A(r)
g22 = −λ(t)2r2
g33 = −λ(t)2r2 sin2(θ)
23
Forme de la métrique (réf 1 page 442 et suivantes)
Soit une hyper-sphére à 3D dans
R4
2
2
2
a2 = x2
1 + x2 + x3 + x4
2
2
2
dl2 = dx2
1 + dx2 + dx3 + dx4
a
sur la sphère de rayon
x1 dx1 + ...
dx4 = −
x4
En remplaçant dans et en passant en sphériques
dl2
2
dl2 = (r2 + a2r−r2 ) dr2 + r2 dΩ2 = (1 − k r2)−1dr2 + r2dΩ2
k = a−2
dans l'espace-temps
ds2 = c2dτ 2 = c2dt2 − λ(t)2dΣ2
dΣ2 ≡ dl2