Transcript 重力波解析 - 東京大学宇宙線研究所

2015年度
天体素粒子物理学
特論II
（重力波：その導出・発生・検出・応用）
2015年6月23日～7月14日（火曜）3限
三代木伸二
東京大学宇宙線研究所
宇宙物理学研究部門
重力波推進室
Contents
1. General Introduction of Challenge to Direct
Detection of Gravitational Waves (GWs).
2. Expected Sources of Gravitational Waves.
3. Small signal measurement (General Knowledge)
4. Interferometric Technology for GW Detection (1).
• Power Recycled Fabry-Perot Michelson Interferometer
using Resonant Sideband Extraction Technique
• Practical noise sources and their suppression
5. Interferometric Technology for GW Detection (2).
•
Interferometer Control as GWDs
6. Data Analysis.
7. New Fields Driven by the GW detection technique.
Data Analysis




データ解析スクールで詳しく解説。
大阪市立大学：田越先生（連星合体）の資料より
東大ビッグバンセンター：伊藤先生（連続波）の資料より
各種 解析に関する論文より
重力波データの解析
- パイプライン  得られた時系列データから、重力波の信号を抽出。
ただし、ほとんどの場合、非定常雑音に埋もれた信号を抽出することを想定。
 典型的な重力波信号のデータ解析の流れ（パイプライン）は、
1.
2.
3.
4.
5.
前処理
 データのホワイトニング、キャリブレーション(Strainへの変換)
 装置の安定運転時間帯のデータの選択
 既知雑音周辺周波数のデータの除去
フィルタリングによる信号候補抽出
 重力波発生源に応じたフィルタリング法を適用
コインシデンス解析（各検出器で相関を見る）
Veto解析
 単一装置の状態・環境データとのVeto、他重力波観測装置とのVeto、他チ
ャンネル観測装置とのVetoによる信号候補のふるい分け
統計的解釈
 信号の優位性の評価、上限値の決定
重力波データの解析
- コインシデンス解析  複数台での観測結果を用いて、到達時間の整合性、推定パラメ
ータの整合性を検査
 コインシデンス
1.
2.
ウインドウの種類
イベント間隔
星の質量
 ウインドウを小さくすれば、False Alarm Rateが小さくできるが、そ
の分計算量は増える。
 検出効率のロスも考慮する（Trade Offの関係ではあるが、、、、）
判定結果の正誤
 フィルター出力があるパラメータセットで閾値を超えたとする
 その判定の正誤パターン
判定結果
信号あり
信号なし
重力波到来
正しい
誤り（とりこぼし）
(False Dismissal)
重力波なし
誤り（偽信号）
(False Alarm)
正しい
閾値
 実際のところ、信号があると思えば、閾値は低めでVeto解析
へ、ないと思えば閾値は高めで上限値推定となる。
χ二乗検定
(1) 重力波の解析においては、信号波形の振舞の信頼度チェックに使用される。
(2) 今までは、重力波の信号が「ない」と仮定した時における、大きなSNR出力に対する信頼度
を評価することが多い。
(3) 雑音優位のχ二乗検定では、雑音だけを仮定した時に、その雑音だけで、大きなSNR（χ二乗
値）つまり信号のように見える場合を確率計算する。当然、大きな出力ほど、その確率は小さく
なっていく。
(4) それでもなお、大きな信号が出ていたとしたら、それは「信号」である可能性が高くなる。
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/chi2.html
誤判定とは？
 二種類の誤り発生率（信号のSNRに依存）
False Dismissal probability
False Alarm Probability
∞
1 − 𝑃1 𝜌𝑡ℎ = 1 −
𝜌𝑡ℎ
∞
𝑝1 𝜌 𝑑𝜌
𝑃0 𝜌𝑡ℎ =
𝜌𝑡ℎ
𝑝0 𝜌 𝑑𝜌
𝑝1 𝜌
𝑝0 𝜌
𝜌𝑡ℎ
𝜌
信号が有る場合のフィルター出力分布：𝑝1 𝜌
信号がない場合のフィルター出力分布：𝑝0 𝜌
設定閾値を 𝜌𝑡ℎ とすると、
明らかに、 𝜌𝑡ℎ が大きいと、FAPは減るが、FDPは増える。
False Alarm Rate による閾値設定
 尤度比検定（Likelihood Ratio）
𝑝1 𝜌
𝑝 𝑥|𝑠
Λ 𝜌 ≡
=
𝑝0 𝜌
𝑝 𝑥|0
信号がある時にｘを得る確率
信号がない時にｘを得る確率
∞
𝛼=
𝜌𝑡ℎ
𝑝0 𝜌 𝑑𝜌
False Alarm Rate 値としてαを仮定し、その時のαを導く𝜌𝑡ℎ で決ま
るΛ 𝜌𝑡ℎ の値（βとす）を超えた時に、「重力波の信号がある」と判
定すると、最大の検出効率が得られるはず、という理論。
 最尤推定法（Maximum Likelihood Test and Estimation）
max Λ 𝜌 𝑎1, 𝑎2 ⋯
𝑎1, 𝑎2 ⋯
≥𝛽
閾値としてβを仮定し、その時のβを超えるΛ 𝜌𝑡ℎ を実現するパラ
メータ 𝑎1, 𝑎2 ⋯ の組を重力波信号を可能にするパラメータ候補とす
る。
テンプレートとパラメーター空間
 Parameter Space
 各𝑎𝑛 を有限範囲内で有限個選定したn個のパラメーターの全組み合わ
せ 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 に対して尤度比検定を行い、閾値を超えるパラメー
タセットを抽出し、重力波信号とみなす。
 （広く、細かいパラメータ空
間）と（計算時間）はトレー
ドオフ。
(Fig. from D.Brown 2011)
パラメーターの推定誤差
 仮定
 パラメーターの一次の摂動の範囲のみ考える。
 データはガウス統計に従う
 （広く、細かいパラメータ空間）と（計算時間）はトレードオフ。
連星中性子星合体からのチャープ信号解析
 Matched Filtering
Matched Filtering
- time domain  波形がわかっている信号に対する信号検出方法の一つ
 連星中性子星合体、パルサーからの重力波の解析で利用
検出器のデータ
𝑥 𝑡 = 𝑛 𝑡 + 𝑠(𝑡)
重力波信号
雑音：Gaussian
𝑛 𝑡 =0
検出器のデータは実際には、有限周波数間隔で離散的にサンプリングされる。
時間 𝒕 = 𝑡𝑖 でのデータを
𝑛𝑖 の確率密度関数
𝑥𝑖 = 𝑥 𝑡𝑖
𝑛𝑖 = 𝑛 𝑡𝑖
1
𝑝 𝑛 = 𝑁exp −
2
𝑠𝑖 = 𝑠 𝑡𝑖
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑛𝑖 𝑛𝑗
𝑖,𝑗
𝐶𝑖,𝑗 は𝑛𝑖 の自己相関関数, 𝑁 規格化定数
𝐶𝑖,𝑗 = 𝑛 𝑡𝑖 𝑛 𝑡𝑗
= 𝐶 𝑡𝑖 , 𝑡𝑗
Matched Filtering
- time domain -
 Likelihoodの計算
Λ=
𝑝 𝑥|𝑠
𝑝 𝑥 − 𝑠|0
1
=
= exp −
𝑝 𝑥|0
𝑝 𝑥|0
2
雑音のみの
自己相関関数
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑥𝑖 − 𝑠𝑖 𝑥𝑗 − 𝑠𝑗 +
𝑖,𝑗
1
𝑝 𝑛 = 𝑁exp −
2
対数を取ったものを
1
ln Λ = −
尤度比
2
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑖,𝑗
𝑖,𝑗
𝑥𝑖 − 𝑠𝑖
𝑖,𝑗
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑠𝑖 𝑥𝑗
=
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑛𝑖 𝑛𝑗
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑖,𝑗
の n に x や x-s
を代入
1
𝑥𝑗 − 𝑠𝑗 +
2
1 −1
− 𝐶𝑖,𝑗 𝑠𝑖 𝑠𝑗
2
1
2
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑖,𝑗
−1
−1
𝐶𝑖,𝑗
= 𝐶𝑗,𝑖
Matched Filtering
- time domain -
 Matched Filter
次のような関係を満たす 𝑞𝑖 を定義する。
𝑞𝑖 =
−1
𝐶𝑖,𝑗
𝑠𝑗 Δ𝑡 −1
𝑇0
𝑠 𝑡 =
𝐶 𝑡, 𝑡′ 𝑞 𝑡′ 𝑑𝑡′
𝑇0
𝑛=
Δ𝑡
0
𝑛
𝑠 𝑡𝑖 =
𝐶 𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 𝑞 𝑡𝑗 Δ𝑡 = 𝐶𝑖,𝑗 𝑞𝑖 Δ𝑡
𝑗=1
𝑛
ln Λ =
=
1
𝑞 𝑡𝑖 𝑥 𝑡𝑖 Δ𝑡 −
2
𝑖=1
𝑇0
0
1
𝑞 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −
2
𝑛
𝑞 𝑡𝑖 𝑠 𝑡𝑖 Δ𝑡
𝑖=1
𝑇0
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
0
Matched Filtering
- time domain -
 Signal to Noise Ratio (SNR)
ln Λ =
𝑇0
0
𝜆=
1
𝑞 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −
2
𝑇0
𝑇0
のうち、 𝑥 𝑡 が寄与す
る部分を考える
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
0
𝑞 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡
とすると、
0
平均：
分散：
𝑇0
𝜆 =
𝑞 𝑡 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 +
0
𝜆− 𝜆
𝑇0
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡 =
0
2
𝑇0
=
=
0
2
𝑞 𝑡 𝑛 𝑡 𝑑𝑡
=
SNRに相当：
𝜆
𝜆− 𝜆
2
𝑇0
0
𝑞 𝑡1 𝑠 𝑡1 𝑑𝑡1
=
𝑇0
0
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
0
0
𝑇0
𝑇0
𝑇0
0
𝑞 𝑡1 𝑞 𝑡2 𝑛 𝑡1 𝑛 𝑡2 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2
𝐶𝑖 = 𝑛 𝑡𝑖 𝑛 𝑡𝑗
𝑠 𝑡 =
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑇0
0
= 𝐶 𝑡𝑖 , 𝑡𝑗
𝐶 𝑡, 𝑡′ 𝑞 𝑡′ 𝑑𝑡′
Matched Filtering
- frequency domain -
 定常性
𝑛 𝑡𝑖 𝑛 𝑡𝑗
すると
であらわせる。
= 𝐶 𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 = 𝐶 𝑡𝑗 − 𝑡𝑖
𝑠 𝑡 =
𝑇0
𝐶 𝑡, 𝑡′ 𝑞 𝑡′ 𝑑𝑡′ =
0
𝑇0
𝐶 𝑡 − 𝑡′ 𝑞 𝑡′ 𝑑𝑡′
0
1
𝐶 𝑡 − 𝑡′ =
2
∞
𝑆𝑛 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓
𝑡−𝑡′
𝑑𝑓
−∞
↑片側パワースペクトル密度
フーリエ変換
∞
𝑞 𝑡 =
𝑞 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
−∞
Matched Filtering
- frequency domain -
 定常性
𝑠 𝑡 =
𝑇0
𝐶 𝑡 − 𝑡′ 𝑞 𝑡′ 𝑑𝑡′
の両辺を変形。
0
∞
𝑠 𝑓
∞
1
2
𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
−∞
1
2
∞
∞
𝑞 𝑓′ 𝑒 2𝜋𝑖𝑓′𝑡′ 𝑑𝑓′ 𝑑𝑡′
−∞
∞
𝑆𝑛 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
𝑆𝑛 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
𝑞 𝑓′ 𝑑𝑓′ 𝑒 2𝜋𝑖
−∞
∞
𝑞 𝑓′ 𝛿 𝑓 − 𝑓′ 𝑑𝑓′
−∞
𝑆𝑛 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑞 𝑓 𝑑𝑓
−∞
2𝑠 𝑓
∴ 𝑞 𝑓 =
𝑆𝑛 𝑓
𝑑𝑓
−∞
−∞
∞
𝑡−𝑡′
−∞
1
2
1
2
𝑆𝑛 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓
∞
𝑓′−𝑓 ′𝑡′
𝑑𝑡′
Matched Filtering
- frequency domain -
 尤度比
ln Λ =
𝑞 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −
1
𝑞 𝑡 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
𝑞 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
=
𝑒 2𝜋𝑖
𝑓−𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡
=
𝑞 𝑓 𝑑𝑓
𝑞 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =
∞
=
𝑥 ∗ 𝑓′ 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓`𝑡 𝑑𝑓′
𝑞 𝑓 𝑑𝑓
𝑥 ∗ 𝑓′ 𝑑𝑓′
𝑥 ∗ 𝑓′ 𝛿 𝑓 − 𝑓′ 𝑑𝑓′
∗
𝑞 𝑓 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
−∞
∞
𝑠, 𝑠
ln Λ = 𝑠, 𝑥 −
2
のうち、 𝑥 𝑡 が寄与す
る部分を考える
𝑠 𝑓 𝑥∗ 𝑓
=2
𝑑𝑓 ≡ 𝑠, 𝑥
𝑆
𝑓
𝑛
−∞
2𝑠 𝑓
𝑞 𝑓 =
𝑆𝑛 𝑓
Matched Filtering
- Optimal Filter (time domain) -
 Matched FilterのSNRを最大化する条件について
検出器のデータ 𝑥 𝑡 = 𝑛 𝑡 + 𝑠(𝑡)
フィルター
𝑔 𝑡
フィルター出力 𝑧 𝑡 =
𝑥 𝑡′ 𝑔 𝑡 + 𝑡′ 𝑑𝑡′
′
=
𝑑𝑡 ′ 𝑑𝑓𝑑𝑓 ′ 𝑥 𝑓 𝑒 2𝜋𝑓𝑡 𝑔∗ 𝑓′ 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓
=
𝑑𝑓𝑑𝑓 ′ 𝑥 𝑓 𝑔∗ 𝑓′ 𝛿 𝑓 − 𝑓′ 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓
=
𝑥 𝑓 𝑔∗ 𝑓 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
′ (𝑡+𝑡 ′ )
′𝑡
Matched Filtering
- Optimal Filter (time domain) 𝑛 =0
平均
𝑥 𝑓
なので
𝑧 𝑡
∗
=
= 𝑠 𝑓
𝑠 𝑓 𝑔 𝑓 𝑒
−2𝜋𝑖𝑓𝑡
𝑑𝑓 =
𝑆𝑛 𝑓 2𝑠 𝑓
𝑔∗ 𝑓 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
2 𝑆𝑛 𝑓
2
分散
𝑧− 𝑧
2
=
𝑛 𝑓 𝑔∗ 𝑓 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
=
𝑑𝑓𝑑𝑓 ′ 𝑛 𝑓 𝑛∗ 𝑓′ 𝑔∗ 𝑓 𝑔 𝑓′ 𝑒 2𝜋𝑖(𝑓
=
𝑆𝑛
′
𝑑𝑓𝑑𝑓
=
′ −𝑓)𝑡
𝑓
′
𝛿 𝑓 − 𝑓′ 𝑔∗ 𝑓 𝑔 𝑓′ 𝑒 2𝜋𝑖(𝑓 −𝑓)𝑡
2
𝑆𝑛 𝑓
𝑔 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑔∗ 𝑓 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑓
2
Matched Filtering
- Optimal Filter (time domain) 𝜌2
=
2
𝑧 𝑡
𝑧− 𝑧
2
1
2𝜋𝑖𝑓𝑡
=
𝑞
𝑓
,
𝑔
𝑓
𝑒
𝑔 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 , 𝑔 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡
2𝑠 𝑓
ここで、 𝑞 𝑓 =
𝑆𝑛 𝑓
∞
𝑥 𝑓 ,𝑦 𝑓
≡
最大になるのは、 𝑔 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡 = 𝑘𝑞 𝑓
𝜌2
1
=
𝑘𝑞 𝑓 , 𝑘𝑞 𝑓
𝑞 𝑓 , 𝑘𝑞 𝑓
∞
2
𝑠 𝑓 2
=2
𝑑𝑓 = 𝑠, 𝑠
𝑆
𝑓
𝑛
−∞
𝑆𝑛 𝑓
𝑥 𝑓 𝑦 ∗ 𝑓 𝑑𝑓
2
−∞
のとき。
𝑘は信号の大きさの
ようなもの。
= 𝑞 𝑓 ,𝑞 𝑓
𝑆𝑛 𝑓
=
𝑞 𝑓 𝑞∗ 𝑓 𝑑𝑓 =
2
−∞
∞
2
∞
𝑆𝑛 𝑓 2𝑠 𝑓 2𝑠 ∗ 𝑓
𝑑𝑓
2
𝑆
𝑓
𝑆
𝑓
𝑛
𝑛
−∞
Matched Filtering
- parameter 探索重力波の解析では、尤度比を最大にする、連星のパラメーターを求める。
𝑠, 𝑠
2
ln Λ = 𝑠, 𝑥 −
𝑠, 𝑠
＝𝑏2
𝑠
とする。
とし、 規格化された信号 𝑠＝
𝑏
𝑏2
1
ln Λ = 𝑏 𝑥, 𝑠 −
= − 𝑏 − 𝑥, 𝑠
2
2
2
1
+ 𝑥, 𝑠
2
2
最大値。これをさらに大
きくするパラメータを空
間を決めて探索。
ここで、イベント発生を特徴づける基準時刻 𝒕𝟎 を決める。これにより、信号は
𝑠 𝑡; 𝑡0 = 𝑠′ 𝑡 − 𝑡0
∞
𝑠 𝑓 =
𝑠′ 𝑡 − 𝑡0 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡0
−∞
∞
′
𝑠′ 𝑡′ 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑡′ = 𝑠′ 𝑓 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡0
−∞
𝑡 = 𝑡 ′ + 𝑡0
Matched Filtering
- parameter 探索さらに、
𝑠′
𝑓
∞
=
𝑠′ 𝑡 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑡 =
−∞
∞
𝑠 𝑡; 𝑡0 = 0 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠 𝑓; 𝑡0 = 0
−∞
よって、
𝑠 𝑓 = 𝑠 𝑓; 𝑡0 = 0 𝑒 −2𝜋𝑖𝑓𝑡0
𝑠 ∗ 𝑓 = 𝑠 ∗ 𝑓; 𝑡0 = 0 𝑒 2𝜋𝑖𝑓𝑡0
∞
𝑥 𝑓 𝑠 ∗ 𝑓; 𝑡0 = 0 2𝜋𝑖𝑓𝑡
0 𝑑𝑓
𝑥, 𝑠 = 2
𝑒
𝑆𝑛 𝑓
−∞
イベント発生時刻 𝒕𝟎 を時刻スイープで探索で可能であることを示している。
かつ、逆フーリエ変換なので、FFTで効率よく行える。
Matched Filtering
- 検出器のObservable Range の計算 Chirp Signalの近似スペクトル:
𝑠 𝑓 =2 2
𝑐 × 4.9255 ×
𝑟 × 1pc
5
−6 6
10
5 𝑀 𝑀⨀
192
3
2(𝑀 𝑀⨀ ) −7
𝑓 6
𝜋2
𝑀 unit is 𝑀⨀ ,
𝑟 unit is pc,
𝑐 ∶ light speed
検出器の雑音スペクトル : 𝑛𝐺𝑊𝐷 𝑓
∞
∗ 𝑓; 𝑡 = 0
𝑥
𝑓
𝑠
0
𝜌2 = 2
𝑑𝑓
𝑆𝑛 𝑓
−∞
Signal to Noise Ration (𝜌)
~ 2
𝑓𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑚𝑖𝑛
𝑠 𝑓
2
𝑛𝐺𝑊𝐷 𝑓
2
𝑑𝑓
𝑐3
𝑓𝑚𝑎𝑥 ~ 1.5
6 𝜋𝐺 × 2𝑀
𝑓𝑚𝑖𝑛 ~106 × 𝑀 𝑀⨀
注：この星の質量は単位がkg
−0.59
この星の質量は単位が𝑀⨀
Matched Filtering
- 複数検出器によるSNR改善 ? 検出器が複数あり、それぞれから無相関なデータが得られる場合、
検出器のデータ 𝑥𝛼 𝑡 = 𝑛𝛼 𝑡 + 𝑠𝛼 (𝑡)
（１）複数検出器のデータを一つに合わせた場合の対数尤度比の改善？
𝑁
ln Λ =
𝑁
ln Λ𝛼 =
𝛼=1
𝛼=1
1
Max ln Λ =
2
𝑠𝛼 , 𝑠𝛼
𝑠𝛼 , 𝑥𝛼 𝛼 −
2
𝑁
2
𝛼=1 𝑠𝛼 , 𝑥𝛼 𝛼
𝑁
𝛼=1 𝑠𝛼 , 𝑠𝛼 𝛼
𝛼
∞
𝑠 𝑓 𝑥∗ 𝑓
2
𝑑𝑓 ≡ 𝑠, 𝑥
𝑆
𝑓
𝑛
−∞
1 2
≡ 𝜌𝑠𝑢𝑚
2
検出器の感度に差があると、感度の悪い検出器からの寄与は少なくなる。
もし、検出器の感度が同一なら、SNR (𝝆)は 𝟏 𝑵 になる。
2
𝜌𝑠𝑢𝑚
=
1
𝑁
𝑁
𝛼=1
2
𝑁
𝑠, 𝑠
𝑠𝛼 , 𝑥𝛼
𝛼=1
𝛼
Matched Filtering
- 複数検出器によるSNR改善（１）複数検出器のデータで個別にSNRを計算し、それらを二乗和した時の改善？
𝑁
2
𝜌𝑠𝑢𝑚
=
𝜌𝛼2 = 𝑁𝐴 𝑠, 𝑠 + 𝑁
𝛼=1
𝐴
重力波信号の振幅。0は信号なしを意味する。
2
つまり、𝜌𝑠𝑢𝑚
を規格化されたSNRと解釈するには、 𝑁 で割る必要がある。しかし、
信号がある時のSNRは
𝐴 𝑠, 𝑠 + 1
となり、1台の検出器のときと変わらない！！
中性子星からの「連続波」重力波解析
 “発生時”はほぼ固定周波数の正弦波 (𝒉𝑪𝑾 𝒕 = 𝑨𝟎 𝒆−𝒊𝝎𝒈𝒘 𝒕 )
 既知の中性子星（パルスが地球をSweep。別名パルサー）からの重力波探
索
• 位置、周波数、スピンダウン等の情報有り
• 振幅と位相が変調された信号が届くので、未知パラメータを含んだ予
想波形を仮定し、信号の長時間積分（実際は上記理由で周波数変化す
るので、工夫が必要）後、Matched Filteringを適用
• χ二乗検定。振幅上限値。
 既知の中性子星（パルスが地球をSweepしない）からの重力波探索
• 超新星残骸から光学的に探査：位置のみ判別
→ 既知以外のパラメータ空間でスキャンし、χ二乗検定。振幅上限値。
 未知の中性子星（手がかりなし）からの重力波探索
• 全く見えない：ジェットが星間物質を照らすのが見えたら発見できる
かも、、、
→ すべてのパラメータ空間でスキャンし、χ二乗検定。振幅上限値。
中性子星からの「連続波」重力波解析
パラメーター
 考慮すべき補正項
•
•
地球の自転(Ω𝐸 )・・・アンテナパターンと相対速度の変化
公転・・・相対速度変化
パルサーのSpin Down・・・周波数・位相変化
𝜉𝐸𝑆
固有運動・・・位相変化
Neutron
Star
 パルサーを記述するパラメータ群
重力波振幅
観測時初期位相
重力波周波数：自転周期の2倍
重力波周波数の変化：グリッチな
ど
自転軸と対称軸間角度
Luminosity Distance
𝐷𝐿
Inclination Angle
𝜉𝐸𝑆
𝛼, 𝛿
Source Sky Position
𝜓
Polarization Angle
r𝑑 𝑡
IFO Position
ℎ0 sin 𝜃𝑆𝑆
𝜙0
𝑓𝑔𝑤 = 2𝑓𝑠 , (𝑓𝑖𝑛𝑖 )
𝑑𝑓𝑔𝑤 𝑑𝑡 ,
𝜃𝑆𝑆
干渉計の地球での配置
（緯度、経度、腕角、両腕中心角方向）
𝜆,
𝐿,
𝜁~ 𝜋 2 ,
𝛾
Sun
n0
𝜓
r𝑑 𝑡
𝛿
𝛼
𝜋
𝜁~ , 𝛾
2
𝜆, 𝐿
Earth
中性子星からの「連続波」重力波解析
P. Jaranowski, A. Krolak and B. F. Schutz, Phys. Rev.D 58, 063001 (1998)
 Template Wave
Form
𝒉𝑪𝑾 𝒕 = 𝑨𝟎 𝒆−𝒊𝝎𝒈𝒘 𝒕
偏光を考慮
振幅変調
ℎ𝐶𝑊 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑒
位相変調 (𝝓𝒊𝒏𝒊 )
−𝑖 𝑖𝜔𝑔𝑤 𝑡−𝜙 𝑡
ℎ𝐶𝑊 𝑡 = 𝐹+ 𝑡 ℎ+ 𝑡 + 𝐹× 𝑡 ℎ× 𝑡
𝐹+ 𝑡 = sin 𝜁 𝑎 𝑡 cos 2𝜓 + 𝑏 𝑡 sin 2𝜓
𝐹× 𝑡 = sin 𝜁 𝑏 𝑡 cos 2𝜓 − 𝑎 𝑡 sin 2𝜓
𝑎 𝑡 ,𝑏 𝑡
→ See Phys. Rev.D 58, 063001 (1998)
中性子星からの「連続波」重力波解析
P. Jaranowski, A. Krolak and B. F. Schutz, Phys. Rev.D 58, 063001 (1998)
 Practical Gravitational Wave Model
ℎ𝐶𝑊 𝑡 = ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 ∶ GWs from Wobble and triaxial mechanism
ℎ1 𝑡 = 𝐹+ 𝑡 ℎ1+ 𝑡 + 𝐹× 𝑡 ℎ1× 𝑡
1
ℎ sin 2𝜃𝑆𝑆 sin 2𝜉𝐸𝑆 cos Ψ 𝑡
8 0
1
𝑡 = ℎ0 sin 2𝜃𝑆𝑆 sin 𝜉𝐸𝑆 sin Ψ 𝑡
4
ℎ2 𝑡 = 𝐹+ 𝑡 ℎ2+ 𝑡 + 𝐹× 𝑡 ℎ2× 𝑡
1
ℎ0 sin2 𝜃𝑆𝑆 1 + cos 2 𝜉𝐸𝑆 cos 2Ψ 𝑡
2
1
𝑡 = ℎ0 sin2 𝜃𝑆𝑆 cos 𝜉𝐸𝑆 sin 2Ψ 𝑡
2
ℎ1+ 𝑡 =
ℎ2+ 𝑡 =
ℎ1×
ℎ2×
𝑠
Ψ 𝑡 = Ψ0 + 2𝜋
𝑘=0
𝜏 𝑘+1
2𝜋
(𝑘)
𝑓0
+
n ∙r 𝑡
(𝑘 + 1!)
𝑐 0 𝑑
(𝑘)
𝑓0
𝑠
𝑘=0
𝑘
(𝑘) 𝜏
𝑓0
(𝑘!)
周波数時間変化のk回時間微分 @ t = 0,
n0
太陽系重心から見たNSの方向
ベクトル
r𝑑 𝑡
太陽系重心から見た干渉計の
方向ベクトル
中性子星からの「連続波」重力波解析
P. Jaranowski, A. Krolak and B. F. Schutz, Phys. Rev.D 58, 063001 (1998)
 「対数尤度(log 𝛬)は以下の4つのパラメータについては解析的に最大化でき
る」ということを発見した論文。なので、探索は、それ以外のパラメータ
で行えばよいことになる。
ℎ0 sin 𝜃𝑆𝑆
Inclination Angle 𝜉𝐸𝑆 Amplitude
𝜙0
Initial Phase
Polarization Angle
𝜓
 F–Statics:Fを最大にするその他 (𝒇𝒈𝒘 , 𝒇𝒈𝒘 … 𝜶, 𝜹) パラメータの探索
𝑇0 𝐵 𝐹𝑛𝑎
𝐹=
𝑆ℎ 𝑛𝑓0
𝐹𝑛𝑎
2
=
𝑇0
𝐹𝑛𝑏
2
=
𝑇0
𝑇0 2
2
∗
+ 𝐴 𝐹𝑛𝑏 2 − 2𝐶𝑅 𝐹𝑛𝑎 𝐹𝑛𝑏
𝐴𝐵 − 𝐶 2
𝑑𝑡 𝑥 𝑡 𝑎 𝑡 𝑒 −𝑖𝑛Φ𝑠
𝑡
𝑒 −𝑖2𝜋𝑛𝑓0
𝑡+Φ𝑚 𝑡
𝑑𝑡 𝑥 𝑡 𝑏 𝑡 𝑒 −𝑖𝑛Φ𝑠
𝑡
𝑒 −𝑖2𝜋𝑛𝑓0
𝑡+Φ𝑚 𝑡
−𝑇0 2
𝑇0 2
−𝑇0 2
Φ 𝑡 = 2𝜋𝑓0 𝑡 + Φ𝑚 𝑡; 𝛼, 𝛿
+ Φ𝑠 𝑡; 𝑓 (𝑘) , 𝛼, 𝛿
𝑛 = 1 ∶ wobble
𝑛 = 4 3 ∶ r−mode
𝑛 = 2 ∶ triaxial
𝐴 = 𝑎||𝑎
𝐵 = 𝑏||𝑏
𝐶 = 𝑎||𝑏
2
𝑥||𝑦 ≡
𝑇0
𝑇0 2
𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡
−𝑇0 2
中性子星からの「連続波」重力波解析
F-Statics by JKS98
(𝑘)
 重力波信号のPhase Parameter (𝑓0 , 𝛼, 𝛿)が近似的にわかっていて、その
ノイズが、Gaussian分布に従うと仮定する。
 信号がないときは、2𝐹 が自由度 𝑛 (4) の 𝜒 2 の分布に従う。
2
𝜒𝐶,4
𝐹 = 𝐹𝑒 𝐹
平均： 2𝐹 = 𝑛
分散： 2𝐹 − 2𝐹
2
=𝑛
 信号があるときは、2𝐹 が自由度 𝑛 (4) の、非中心パラメータ𝑑 2 の非中心
𝜒 2 分布に従う。
2
𝜒𝑁𝐶,4
𝐹, 𝑑 2 = 𝐼1
2𝐹𝑑
2𝐹 −
𝑒
𝑑2
𝑑2
𝐹+ 2
𝑑2
平均： 2𝐹 = 𝑛 + 𝑑 2
2
= ℎ|ℎ ≈
𝑆ℎ 𝑛𝑓0
𝑇0 2
−𝑇0 2
分散： 2𝐹 − 2𝐹
2
ℎ𝑛 𝑡
2
𝑇0 ℎ02
𝑑𝑡 ∝
𝑆ℎ
= 2𝑛 + 4𝑑 2
中性子星からの「連続波」重力波解析
FAR, FDR, 振幅上限値
 FARとFDRの評価と重力波振幅上限値の計算
False Alarm Rate
(信号でないが信号と間違う確率)
False Disimissal Rate
(信号なのに雑音と間違う確率)
自由度4の 𝝌𝟐𝑪,𝟒 の分布
重力波振幅に対する95％上限値
ℎ095% =
𝑑 2 𝑆ℎ
𝑄 𝒇𝒈𝒘 , 𝒇𝒈𝒘 … 𝜶, 𝜹
自由度4の𝝌𝟐𝑵𝑪,𝟒 の分布
(𝒅𝟐 = 𝟏𝟔. 𝟐とする)
2F値を決めると、 信号に対して、
FARとFDRで評価できる。
8
中性子星からの「連続波」重力波解析
未知中性子星からの重力波探査の場合・・・
 ほとんどすべてのパラメータで構成される空間でのスイープが必要。
 さらに、探索範囲が、広帯域、広天域
 実際問題、計算時間も計算資源も膨大になる
• 積分時間Ｔとすると、必要分解能は T2 に比例して増大。
• 天球上で探査すべき領域は T4 に比例して増大。
• (Ex.) 800CPU (2GHz)クラスタで全天探査 1ヶ月分のデータを解析
に2000年かかる.orz
 対策
• コヒーレント解析をあきらめる。
• 民間 CPU パワーの活用 → Einstein @ HOME
(http://Einstein。phys.uwm.edu)
中性子星からの「連続波」重力波解析
未知中性子星からの重力波探査の場合・・・
 1017 different wave forms searched for LIGO S6 (255 days),
Parameters are:
– Sky position : all sky
– GW emission Frequency : 50 Hz < f < 510 Hz
– First order spin down : -2.6 x 10-9 Hz/s ~ 3.1 x 10-10 Hz/s
 Computing Power : ~ 1Peta FLOPS
1: TENGA II : 54.9 Peta flops max
2: Titan
: 27.1 Peta flops max
3: KEI
: 11.28 Peta flops max
 It is important to remove “artifacts” data from searching.
中性子星からの「連続波」重力波解析
未知中性子星からの重力波探査の場合・・・
中性子星からの「連続波」重力波解析
最近の成果
 やっと、実際のデータが、重力波振幅の理論的上限値を超え始める。
Crab Pulsar (Radio Pulsar)
Frequency : ~60Hz
Spin Down Rate : ~ 5 x 10-9 Hz/s
Max amp : 2 x 10-25 (C.L. 95%)
The Astrophysical Journal, 713:671–685,
2010
Vela Pulsar (Radio Pulsar)
Frequency : ~22Hz
Spin Down Rate : ~ 5 x 10-11 Hz/s
Max amp : 2 x 10-24 (C.L. 95%)
The Astrophysical Journal, 737:93 2011
Cassiopea Pulsar (Neutron Star after SN)
Frequency : ? Hz (search 100 ~ 300 Hz)
Max amp : 1.2 x 10-24 (C.L. 95%)
The Astrophysical Journal, 722:1504, 2010
超新星爆発からの「パルス波」重力波解析
 II型超新星爆発のコア崩壊からの重力波は、継続時間が数ミリ秒程度のパルス波形
が予想されている。
 明快な光学的観測との時刻突合せが可能なので、重力波信号との比較同定に有利。
 超新星爆発の理論は、２D,３D含め完成されてはいない（が、着々と進歩してい
る）。
 球対称な爆発では、重力波に転嫁されるエネルギー量は小さく、検出可能な重力波
は期待できないが、最近の計算機シミュレーションで爆発に成功しているモデルで
は、非対称爆発を仮定するモデルが多い。
 波形が予想できていないので、Matched Filteringの手法は使えない。
 なので、ショートパルス波形を時系列データや周波数データから抽出する方法が必
要。
超新星爆発からの「パルス波」重力波解析
 バーストフィルターの利用
• 短時間のバースト的な波形を取り出すフィルター
• 短時間に集中した信号を取り出す方法
（Excess-Power Filter, ALF, Wavelet Filter など）
• 一般的な数学的波形を仮定する方法
（Sine-Gaussian, Pulse Correlation など）
• バーストトリガーに対して複数台でコインシデンス解析
 複数台での相関解析
• コヒーレント解析
• 天球上で様々な位置について相関解析
Excess Power Filter
ある時間-周波数領域に含まれる信号パワーを評価
Noise + signal
500
0
フーリエ変換
Time- Frequency plane
(spectrogram)
–500
Burst signal
2
6
Total power [arb. unit]
Amplitude [arb. unit]
 短時間に集中した信号を取り出す方法
 時間周波数平面の利用
3
4
5
Time [sec]
Total power in given T-F region
4
周波数積分
Threshold
2
パラメーター：周波数帯域、時間幅、信号検出閾値
0
2
3
4
Time [sec]
5
東大：安東さんのGWDAW2003の発表よ
Alternative Linear Fitting Filter
 重力波時系列データの信号の時間変化率の変化率（微分）の大きさと、オ
フセットの両方から、バースト的波形特性を抽出する方法（PHYSICAL
REVIEW D, VOLUME 63, 04200）
 サンプリング数セット（N個）を決め 𝑡𝑁+𝑖 , ~ 𝑡𝑖 、の時間データに対応する
データ (ℎ𝑁+𝑖 , ~ ℎ𝑖 )に線形 𝑎𝑡 + 𝑏 の線形フィッティングを行い、 𝑎, 𝑏 とそ
の分散を計算
𝑎
𝑋𝑎 =
𝜎𝑎
𝑋𝑎 , 𝑋𝑏 は非常に大きな相関を持っていることを考慮して、
次のような出力値（A）を定義する
𝑏
𝑋𝑏 =
𝜎𝑏
𝑋𝑎2 + 𝑋𝑏2 − 2𝛼𝑋𝑎 𝑋𝑏
𝐴=
1 − 𝛼2
𝛼 ∶ 𝑋𝑎 𝑋𝑏 の相関効率
ℎ 𝑡 がガウス雑音の場合
12𝑓02
𝜎𝑎 =
𝑁 𝑁2 − 1
4𝑁 + 2
𝜎𝑏 =
𝑁 𝑁−1
𝑓0 ∶ サンプリング周波数
1/𝑓0 ∶ サンプリング時間間隔
3 𝑁+1
𝛼=−
2 2𝑁 + 1
Alternative Linear Fitting Filter
- Pradier T et al 2001 Phys. Rev. D 63 042002 -
 同じhrssを与えるが、周波数の異なるhを仮定しても、最大のAを与えるサ
ンプリングセット数Nが異なる。（下記は、サインガウシアンシグナルを重
力波信号と仮定した場合のＡの値とＮの関係）
 サインガウシンアン信号で、周波数をスイープし、最大のＡをもたらすＮ
の数の候補をいくつか探し出し、そのＮの上位から幾つかを採用すれば、
検出効率が効率的になるかを調べて、採用すべき上位Ｎの組を選定するこ
とで、計算効率と検出効率の両立を図る。（Class. Quantum Grav. 22
(2005) S1303–S1309）
Signal Consistency Tests
 複数の検出器間で、同じ振幅、周波数、時間などの波形特性の同一性を
チェックする。
 相関を取る！
Coherent Analysis
 複数の検出器のデータは、各検出器の重力波の二つの偏波に対する応答特
性と雑音の和である
𝑋 = 𝐴ℎ + 𝑁
𝑥1 𝑡
⋮
𝑥𝑑 𝑡
 重力波の再構成
𝐹1+ 𝜃, 𝜙
⋮
=𝐴
𝐹𝑑+ 𝜃, 𝜙
𝐹1× 𝜃, 𝜙
⋮
𝐹𝑑× 𝜃, 𝜙
ℎ = 𝐴𝑇 𝐴
ℎ+ 𝑡
ℎ× 𝑡
𝑛1 𝑡
⋮
+
𝑛𝑑 𝑡
−1 𝐴𝑇 𝑥
 もし雑音がなく、方向がわかっていたら
波の両偏波を決定できる。
→
最低限二台の検出器で、重力
 3台以上であれば、方向も含めて、重力波の両偏波もわかる。
 重力波の探索：𝜃、𝜙を変えながら、最ももっともらしい重力波信号を探る
バースト波探索の実例
- 一般的スパイク雑音  実際は、他の観測チャンネルとのコインシデンスがないと、単独ではなか
なか重力波信号と宣言しにくい → 上限値の導出になりがち。
 PRD 81 (2010)
102001
• 波源や波形を仮定しない条件
• LIGO-VIRGO 4kx2 ,2kmx1,
3kmx1 の計4台で最低2台が動
いているときのデータを利用
（266日）
• コインシデンス解析
• かろうじて、銀河中心での超新
星爆発からの重力波なら受けら
れそうな感度（とはいえ、モデ
ルによる）
重力波の観測可能なエネルギー
と周波数とその波源までの距離
バースト波探索の実例
- 一般的スパイク雑音 -
 得られた、重力波発生頻度と、hrss感度の関係
 153Hzでの感度を採用。
 ～2x10–8 M◉ c2 at 10 kpc , ～0.05 M◉ c2 at 16 Mpc
マルチメッセンジャーによる
ガンマ線バースト
 ガンマ線バーストのうち、継続時間が短いものの波源としての最有力候補
は連星中性子星合体である。
 一方継続時間が長いガンマ線バーストは、超新星爆発の重力崩壊と強く関
連していると考察されている。
マルチメッセンジャーによる
ガンマ線バースト
 GRB070201 Event!!
 スイフト観測衛星により、アンドロメダ
銀河（770kpc）の方向から、最強光量の
ガンマ線バーストが観測される。
 もしアンドロメダ銀河内での連星中性子
星合体によるものなら、重力波が確実に
観測できるレベル！！
Abbott et al., ApJ 681, 1419 (2008)
 チャープ信号解析 → 無検出
 バースト信号解析
• 時間窓25 ～ 100msec での相関解
析
• 信号のない時間帯とのバックグラウ
ンド雑音レベルとの比較
→無検出
 5 x 10-4 M◉ が上限エネルギー

6.38 et
x al.,
10-22
Mazets
ApJ1/rHz
680, 545 ; Ofek et al., ApJ
681, 1464
M31内での
SGRでは？
Inter-Planetary Network 3sigma error region from
Mazets et al., ApJ 680, 545
マルチメッセンジャーによる
他の137例のγ線バースト（連星中性子星合体からと仮定）
Abbott et al., ApJ 715, 14138(2010)
 LIGO 3台, VIRGO 1台による同時観測中
に発生した137件のGRBイベントについて
解析
 GRBが発生した時間前後 -120msec ～
80msecの間でバースト信号の有無を探索
 複数検出器によるコヒーレントバースト
サーチを行い「最大エベント探索」を行う。
→
無検出
 仮にGRBが1.8x1052 erg のエネルギーを
持つ150Hzの重力波が放たれたとした場
合の、各GRBの距離の限界値のヒストグ
ラム。
マルチメッセンジャーによる
γ線バースト（マグネターからと仮定）
 Soft Gamma Ray Burst は非常に強い磁
場を持った中性子星（マグネター）と信じ
られている
-

20天体程度が見つかっている.
1015 [G]の磁場
Soft Gamma-ray repeater (SGR)
Anomalous X-ray pulsar (AXP)
突発的に起きるGiant flare が原因の一つと
して考えられている(2004, SGR 180620)



大エネルギー(1042 erg)のガンマ線放射.
いくつかは1046 ergに達する
クラストの破壊
 星震の励起と重力波放射をしている可
性がある.
 6個のマグネターからの重力波探査→無検出
30 sec
マルチメッセンジャーによる
γ線バースト（パルサーのグリッチ）
 パルサーの自転周期が、突然不連続に変化することが観測されている
-

クラストのクラッキング？
差動で動いた回転クラスターか核の運動？
超流動渦の遷移？
おそらく上記の運動は、中性子星に大きな振動を発生させているはず。そ
れは重力波を発生させうる。
 2006 ベラパルサーにおけるグリッチ（dν/ν = 2.6 x 10-6）に関する重力
波探査
背景重力波探索
 すべての方向方到来する.
 波源候補の一つは、原始重力波：初期宇宙の量子的揺らぎがイ
ンフレーションによって宇宙全体に拡張された「時空の永久ひ
ずみ」のようなもの
 様々な発生源からの重力波の重なり合わせ。
 宇宙初期に誕生したと予想されている30太陽質量くらいの水素
でできた星の末路としてのブラックホール同士の合体からの重
力波
背景重力波探索
 手法：特徴的な波形があるわけではないので、離れた複数検出器(data : d1, d2,
…)における相関を見るしかない(Allen & Romano (1999))。
∞
𝐴=
∞
𝑑𝑓
−∞
𝑑𝑓 ′ 𝛿𝑇 𝑓 − 𝑓 ′ 𝑠1∗ 𝑓 𝑠2 𝑓 ′ 𝑄 𝑓′
−∞
𝛿𝑇 ∶ Finite−time approximation to the Dirac delta function
𝑠1 , 𝑠2 ∶ 二つの検出器の重力波歪み信号換算データのフーリエ変換
𝑄 𝑓′ ∶ フィルター関数
SNR最大化の条件から最適フィルターが求まる
𝛾 𝑓 𝑆𝐺𝑊 𝑓
𝑄 𝑓 =𝑁
Optimal Filter
𝑃1 𝑓 𝑃2 𝑓
𝛾 𝑓 ∶ Overlap reduction function (近かったらほぼ１)
𝑃1 𝑓 , 𝑃2 𝑓 ∶ 検出器の雑音
𝑆𝐺𝑊
3𝐻02
𝑓 =
Ω
𝑓
10 𝜋 2 𝑓 3 𝐺𝑊
背景重力波探索
 LIGO S5で解析しBig Bang Nucleosynthesis (BBN) よ
り厳しい制限を得た。
Ω𝐺𝑊 𝑓 = 6.9 × 10−6 (95%)
LIGO and VIRGO collab.,
Nature 460 (2009) 08278.
Presentation Files





http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~miyoki/2015APPII-miyoki-1.pptx
http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~miyoki/2015APPII-miyoki-2.pptx
http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~miyoki/2015APPII-miyoki-3.pptx
http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~miyoki/2015APPII-miyoki-4.pptx
http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~miyoki/2015APPII-miyoki-report.pdf