Transcript A y

有効座席(出席と認められる座席)
左
列
中
列
右
列
前で1章宿題、アンケートを提出し、
1章小テスト問題、2章講義レポート課題
を受け取り、直ちに小テストを書き始めてください。
第2章 空間運動 講義
目 次
ページ
ベクトル
1
速度
2
例題１ 速度
3
加速度
4
例題２ 加速度
5
等加速度運動
6
「第2章 空間運動」要点
7
例題３ 最高点
8
9
例題４ 落下点
10 11
操 作 法
進むには キー
Enter
又は、マウス左クリック
戻るには キー
又は
Back space を押す
ページに跳ぶには
をクリック
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各ページ右下 目 をクリック
各章のファイルは スライド
フォルダから開いてください。
終了には キー Esc 又は
マウス右メニューで終了を選ぶ
ベクトル 大きさと方向を持つ量
例 速度、加速度、位置ベクトル、力


表記 A, A など 大きさの表記A, |A|, |A|
相等 A=B
A B
成分表示
A= (Ax,Ay,Az)
和 A+B
B
B
A
差
A-B
B
A
z 成分
定数倍
Az
kA
y
j
k
Ay
A
i Ax
A
x
i,j,k:単位ベクトル
A =Ax i +Ay j +Az k
A=B ⇔ (Ax,Ay,Az)= (Bx,By,Bz) ⇔ Ax=Bx , Ay=By , Az=Bz
A+B =(Ax,Ay,Az)+ (Bx,By,Bz)= ( Ax+Bx , Ay+By , Az+Bz )
kA =k(Ax,Ay,Az)= (kAx , kAy , kAz)
A,B のなす角q
内積 A･B = |A ||B |cosq = AxBx+AyBy+AzBz
成分で A = (Ax,Ay,Az), B = (Bx,By,Bz)
A θ
B
目
1
速度
=位置座標変化の割合
座標 r  r '
時刻t+ t
運動 軌跡 での位置
時間間隔 t
(成分表示)
変位  r = r '-r = (x , y , z )
r   x y  z 
,
,
平均速度 v =

=
t  t t t 
極限 t →0
y dz
dr  dx
z
x dy
,
,
速度 v =
= 
 原点
dt
 dtt dtt dtt 
dx
dz
dy
O
vx =
, vy =
, vz =
dt
dt
dt
逆に
x = v x dt , y =  v y dt , z =  v z dt
t = 2s
とする
t →0
r rt= r= '1-sr
r ' t
r
dr
rr' '
 r dt
r
t = 0.5s
時刻tで
の位置
速さ ：速度の大きさ v =|v |= v x 2 + v y 2 + v z 2
目
2
例題１ 時刻 t [s]の座標が(x, y) =(t/2, t–t2/4 ) [m]の質点
の時刻 t =0, 1, 2, 3, 4 [s]における速度ベクトルを図示せよ。
ただし、各時刻の物体の位置を速度ベクトルの始点とし、
1m/sを1mと同じ長さで図示せよ。 t = 2 x
(t 消去)
2 2
解答 x= 43t /2 y= 43t – 34t 2 /4 より軌跡は y= 2x
t ) /4
t – (x2x
t
t
skip
x,yをtで表す
y
t ( x , y ) [m]
t
=2
1
0
0
t =3
0
0 ( 0 , 0 )
3/4
t =1
1
111 ( 1/2 , 3/4 )
t =4
t =0
0
x
2222 ( 1 , 1 )
1/2 1
2
3 ( 3/2 , 3/4 )
目
4 ( 2 , 0 )
3
例題１ 時刻 t [s]の座標が(x, y) =(t/2, t–t2/4 ) [m]の質点
の時刻 t =0, 1, 2, 3, 4 [s]における速度ベクトルを図示せよ。
ただし、各時刻の物体の位置を速度ベクトルの始点とし、
1m/sを1mと同じ長さで図示せよ。
(t 消去)
解答 x= t /2 y= t – t 2 /4 より軌跡は y= 2x – x2
dt
d
微分 dt
2t
dt t
v =(vx, vy)=( 1/2 , 1– t43/4
2 ) [m/s]
/2
t ( x , y ) [m] (vx, vy) [m/s] y
t
=2
1
t =3
0
0 ( 0 , 0 ) ( 1/2 , 1 ) 3/4
t =1
1 ( 1/2 , 3/4 ) ( 1/2 , 1/2 )
t =4
t =0
0
x
2 2( 1 , 1 ) ( 1/2 , 0 )
1/2 1
2
3 ( 3/2 , 3/4 ) ( 1/2 , –1/2)
目
4 ( 2 , 0 ) ( 1/2 , –1 )
3
加速度
=速度変化の割合
時刻t+ tでの
位置と速度
速度 v  v '
時間間隔 t
v'
速度変化
(成分表示)
t = 2s
v = v '-v = (v x , vy , vz )
とする
平均加速度
t = 1s
 v x v y v z 
v
t = 0.5s

a=
= 
,
,
t t t 
t
v

v = v '-v
極限
dv
t →0
v
dv  dvv x dvv y dvv z 
dt

v
t
→0
,
,
a
=
=
加速度


v
t
dt
dt
dt
t
t
dt 

v
dv y
dv x
dv z
t
ax =
, ay =
, az =
dt
dt
dt
逆に
時刻tでの
v x =  a x dt , v y =  a y dt , v z =  a z dt
位置と速度目
4
例題２ 時刻 t [s]の座標がr =(t/2, t–t2/4 ) [m]の質点の
時刻 t =0, 1, 2, 3, 4 [s]における加速度ベクトルを図示せよ。
ただし、各時刻の物体の位置を加速度ベクトルの始点とし、
1m/s2を1mと同じ長さで図示せよ。
解答 v =(vx , vy)=( 1/2 , 1–t/2 ) [m/s]
座標、グラフ
(微分)
(微分)
を例題1解答
a =(ax, ay)=( 0 , –1/2 ) [m/s] skip
から再録
t
0
1
2
3
4
(x, y) [m]
( 0 , 0 )
( 1/2 , 3/4 )
( 1 , 1 )
( 3/2 , 3/4 )
( 2 , 0 )
(ax, ay) [m/s2]
t =2
( 0 , –1/2 )
t =1
t =3
次に2次元的な
( 0 , –1/2 )
( 0 , –1/2 ) t =0 等加速度運動の
t =4
特徴を調べ
( 0 , –1/2 )
速度、座標の
公式を導こう。 目
( 0 , –1/2 )
5
例題２ 時刻 t [s]の座標がr =(t/2, t–t2/4 ) [m]の質点の
時刻 t =0, 1, 2, 3, 4 [s]における加速度ベクトルを図示せよ。
ただし、各時刻の物体の位置を加速度ベクトルの始点とし、
1m/s2を1mと同じ長さで図示せよ。
次に2次元的な
等加速度運動の
特徴を調べ
速度、座標の
公式を導こう。 目
5
等加速度運動
加速度aが一定。 aに平行にy軸をとる。
xy平面が初速度v0を含むようにx軸をとる。 v0=(v0x , v0y , 0)
初期座標(x0, y0, 0) このとき運動はxy平面内にとどまる。
加速度 ax=
公式 積分
∴速度 vx =
積分
∴座標 x =
y
v0y
y0
0
aa
x0
0
v0x
ay= a0
(a0は定数)
積分
vy = - ag0 t + v0y
v0x t + x0
v0
地表付近の
放物運動では
積分
1
2
y = - ag0t +v0y t + y0
2
v0x
x
a0= - g
次に2次元的な
等加速度運動の
特徴を調べ
速度、座標の
公式を導こう。 目
6
等加速度運動
加速度aが一定。 aに平行にy軸をとる。
xy平面が初速度v0を含むようにx軸をとる。 v0=(v0x , v0y, 0)
初期座標(x0, y0, 0) このとき運動はxy平面内にとどまる。
加速度 ax=
公式 積分
∴速度 vx =
積分
∴座標 x =
y
v0y
y0
0
a
x0
0
v0x
ay= a0
vy = - ag0 t + v0y
v0x t + x0
v0 v
v0x
(a0は定数)
積分
地表付近の
放物運動では
積分
1
2
y = - ag0t +v0y t + y0
2
最高点の条件
a0= - g
vy = 0
落下点の条件 y = 0
x
目
6
座標 r = (x, y, z)
dz
dy
dx
dr
vx =
vz =
vy =
速度 v =
dt
dt
dt
dt
dv y
dv z
dv
dv x
ay =
az =
ax =
加速度 a =
dt
dt
dt
dt
等加速度運動
初速度 (v0x , v0y) 初期座標(x0, y0)
加速度 ax= 0 ay= a0 (a0は定数)
地表付近の
速度 vx = v0x
vy = -ag0t + v0y
放物運動では
1
2
v
t+x
a
t
+ v 0y t + y 0
g
座標 x = 0x 0 y =
0
a0= - g
2
v0y v0
y
最高点の条件 vy =0
y0
v0x
a
目
落下点の条件 y =0
x0
x
7
「第2章 空間運動」 要点
例題3 斜方投射 最高点
ボールを地上 1.0 mの高さ
から速度の水平成分3.0 m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。 空気抵抗は無視する。
y
最高点
次のものを求めよ。
(vx ,vy)
(a)最高点に達する時間。
初め
y0
(b)最高点の高さ。
x
(c) 投射点から最高点までの水平距離。 0
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( ？ , ？ )、(x0, y0)=( ？ , ？ )
最高点t = ？ (vx , vy)=( ？ , ？ ), (x , y )=( ？ , ？ )
打上げ時、最高点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
8
m
例題3 斜方投射 最高点
ボールを地上 1.0 mの高さ
4.0m/s
3.0 m/s
から速度の水平成分3.0
m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。 空気抵抗は無視する。
y
次のものを求めよ。
(a)最高点に達する時間。
初め v0y
y0
v0x
(b)最高点の高さ。
x
(c) 投射点から最高点までの水平距離。 0
x0=00
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
0 , 1.0 m )
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( ？
,
)
(vx , vy)=(
,
), (x , y )=(
最高点t =
打上げ時、最高点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
8
例題3 斜方投射 最高点
ボールを地上 1.0 mの高さ
から速度の水平成分3.0 m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。 空気抵抗は無視する。
y t ? 最高点
次のものを求めよ。
=0
(a)最高点に達する時間。
条件 vy？
y?
(b)最高点の高さ。
x
(c) 投射点から最高点までの水平距離。 0
x?
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
)
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
vxは定数
初めt=0の時 (v0x ,v0y))=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( 0 , 1.0 m )
(x , y )=( 未知 , 未知 )
最高点t = 未知 (vx , vy)=( v？
0x , 0 ),
打上げ時、最高点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
8
2, (v ,最高点
g=
9.8m/s
4.0m/s), (x0,1.0
y0)=(0,
1.0m)
例題3
斜方投射
ボールを地上
mの高さ
0x v0y) =(3.0 m/s,
最高点
v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
t = 未知, (vx , vy)=(
から速度の水平成分3.0
m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。 空気抵抗は無視する。
y
次のものを求めよ。
(a)最高点に達する時間。
(b)最高点の高さ。
x
(c) 投射点から最高点までの水平距離。 0
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( 0 , 1.0 m )
最高点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
目
8
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s), (x0, y0)=(0, 1.0m)
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
y
y0
(a)最高点の時刻
最高点
公式より
vy = 0
0
0 = - g t + v0y
x
(数値代入) (計算) (有効数字2桁)
(解く)
g t = v0y /g = (4.0m/s)/(9.8m/s2) = 0.408s 答 0.41s
(b)最高点の高さ は(a)の時刻の y の値
未知数 t は
(数値代入)
公式
(式代入)
(計算)
既知になった
2
2
2
2
v 0y
 ( 4 .0 )

1 v0y2
vv0y
0y
+1.0  m  1.8m
t + y0 =
+ y0 = 
y= - g gt 2 + v 0y g
2
2g
答
 2(9.8)

未知数
y は既知になった
１未知数の式から解く
は(a)の時刻のx
の値。
(c)投射点から最高点までの水平距離
公式
v
=
gt
+
v
v
=
v
9
未知
y
0
y
x
0
x
v0y
目
1 2
x = v0x―
t +x0
g
x = v 0xt + x 0 y = - gt + v 0y t + y 0
2
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s), (x0, y0)=(0, 1.0m)
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
y
y0
(a)最高点の時刻
最高点
公式より
vy = 0
0
0 = - g t + v0y
x
(数値代入) (計算) (有効数字2桁)
(解く)
t = v0y /g = (4.0m/s)/(9.8m/s2) = 0.408s 答 0.41s
(b)最高点の高さ は(a)の時刻の y の値
(数値代入)
公式
(式代入)
(計算)
2
2
v 0y
 ( 4 .0 )

1
2
+1.0  m  1.8m
+ y0 = 
y= - g t + v 0y t + y 0 =
2
2g
答
 2(9.8)

(c)投射点から最高点までの水平距離は(a)の時刻のx の値。目
(式代入)
(数値代入)
公式
9
(計算)
(2桁)
v0y
v 0 xv 0y
 3 .0  4 .0

 1.2m
x = v0x―
0
+
m
t +x0 =
=
+
x
1.22m
=


0
g
g
答
 9 .8

例題4 斜方投射 落下点
ボールを地上 1.0 mの高さ
から速度の水平成分3.0 m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。空気抵抗は無視する。
y
(vx ,vy)
次のものを求めよ。
y0
(a)地上に落下するまでの時間。
初め
落下点
x
(b)投射点から落下点
0
までの水平距離。
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( ？ , ？ )、(x0, y0)=( ？ , ？ )
落下点t = ？ (vx , vy)=( ？ , ？ ), (x , y )=( ？ , ？ )
打上げ時、落下点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
10
m
例題4 斜方投射 落下点
ボールを地上 1.0 mの高さ
4.0m/s
3.0 m/s
から速度の水平成分3.0
m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。空気抵抗は無視する。
打ち上げた。
y
次のものを求めよ。
v0y
y0
はじめのデータは
(a)地上に落下するまでの時間。
v0x
初め
例題3(最高点の問題)
x
(b)投射点から落下点
0
とまったく同じ
x0=0
0
までの水平距離。
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
0 , 1.0 m )
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( ？
,
)
(vx , vy)=(
,
), (x , y )=(
落下点t =
打上げ時、落下点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
10
例題4 斜方投射 落下点
ボールを地上 1.0 mの高さ
この部分が例題3(最高点の問題)と異なる
から速度の水平成分3.0
m/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
打ち上げた。空気抵抗は無視する。
最高点の問題との比較y
落下点
次のものを求めよ。
=0
条件 y ？
(a)地上に落下するまでの時間。
(b)投射点から落下点
t? x
0
vyの記述なし
x?
までの水平距離。
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
)
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
vxは定数
初めt=0の時 (v0x ,v0y))=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( 0 , 1.0 m )
, ？ ), (x , y )=( 未知 , 0 )
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v？
0x 未知
打上げ時、落下点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
10
2, (v ,落下点
g=
9.8m/s
4.0m/s), (x0,1.0
y0)=(0,
1.0m)
例題4
斜方投射
ボールを地上
mの高さ
0x v0y) =(3.0 m/s,
から速度の水平成分3.0
落下点
t = 未知, (vx , vm/s、鉛直成分4.0m/sで斜め上方に
y)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
打ち上げた。空気抵抗は無視する。
y
次のものを求めよ。
(a)地上に落下するまでの時間。
x
(b)投射点から落下点
0
までの水平距離。
解 投射点直下の地上の点を原点、初速度水平方向をx軸、
鉛直上方をy軸、時間を t、速度を(vx , vy) とする。
鉛直下方へ重力
加速度( 0 , –g )の等加速度運動。
g = 9.8m/s2
初速度(v0x ,v0y) 初期座標(x0, y0)とする。
初めt=0の時 (v0x ,v0y)=( 3.0 m/s, 4.0m/s )、(x0, y0)=( 0 , 1.0 m )
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知 , 0 )
打上げ時、落下点の座標、速度の与えられた条件を整理
目
11
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s), (x0, y0)=(0, 1.0m)
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
y
(a)落下点に達する時間
落下点
公式より
y=0
1 2
y0
=
gt
+
v
t
+
y
0
0y
0
x
2
0
１未知数の式から解く
v x = v 0x
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
目
vy = -gt + v 0y
11
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
2
v x = v 0x
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
=
=
=
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s),
(x0, y0)=(0, 1.0m)
2次方程式の解
2
y )=(
+,bt
+ c 未知
=0 ,0 )
), (x
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知at
-gy 2 v0y y0 落下点
-g/2
(a)落下点に達する時間
2
公式より
v
v
g0yc0
- b0y b0y +y- 2gy
4=a
1 2
t=
y
0
(-g/2)
0 = - gt + v 0yt + y 0
g/2
2
a
x
2
0
(2次方程式の解)
2
v 0y  v 0y + 2gy0
∴t =
g
目
vy = -gt + v 0y
11
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
2
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s), (x0, y0)=(0, 1.0m)
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
y
(a)落下点に達する時間
落下点
公式より
y=0
1 2
y0
=
gt
+
v
t
+
y
0
0y
0
x
2
0
√ 35.6 = 5.966
(2次方程式の解)
(数値代入)
2
v 0y  v 0y + 2gy0
4 .0  4 .0 2 + 2(9.8) (1.0 )
∴t =
s
=
g
9 .8
(有効数字2桁)
(計算)
– 0.201s , 1.02s 負の値は題意に適さないので 1.0s 答
=
(b)投射点から落下点までの水平距離は(a)の時刻のx の値。
目
公式
vy = -gt + v 0y
v x = v 0x
11
x = v0xt + x0
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
2
g= 9.8m/s2, (v0x , v0y) =(3.0 m/s, 4.0m/s), (x0, y0)=(0, 1.0m)
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
y
(a)落下点に達する時間
落下点
公式より
y=0
1 2
y0
=
gt
+
v
t
+
y
0
0y
0
x
2
0
√ 35.6 = 5.966
(2次方程式の解)
(数値代入)
2
v 0y  v 0y + 2gy0
4.0  4.0 2 + 2(9.8) (1.0)
∴t = ・・・・・
s
=
g
9 .8
(有効数字2桁)
(計算)
– 0.201s , 1.02s 負の値は題意に適さないので 1.0s 答
=
(b)投射点から落下点までの水平距離は(a)の時刻のx の値。
公式
(t代入、数値代入) (計算) (有効数字2桁)
x = v0xt + x0 = 3.0 m/s × 1.02s + 0 = 3.06m 答 3.1m
目
11
第2章 空間運動 講義 終り
前で2章講義レポートを提出し、
2章演習レポート課題
2章宿題課題
2章アンケート用紙
を受け取ってください。