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有効座席(出席と認められる座席)
左
列
中
列
右
列
第2章 空間運動 演習
目 次
ページ
「第2章 空間運動」要点
0
演習１ 最高点、落下点
1
最高点
落下点
演習２ 指定点落下
のための投射角
2
3
4
5
操 作 法
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座標 r = (x, y, z)
dz
dy
dx
dr
vy =
vx =
vz =
速度 v =
dt
dt
dt
dt
dv y
dv z
dv
dv x
ay =
az =
ax =
加速度 a =
dt
dt
dt
dt
等加速度運動
初速度 (v0x , v0y) 初期座標(x0, y0)
加速度 ax= 0 ay= a0 (a0は定数)
地表付近の
速度 vx = v0x
vy = -ag0t + v0y
放物運動では
1
2
v
t+x
a
t
+ v 0y t + y 0
g
座標 x = 0x 0 y =
0
a0= - g
2
v0y v0
y
最高点の条件 vy =0
y0
v0x
a
目
落下点の条件 y =0
x0
x
0
「第2章 空間運動」 要点
２章 演習１ 最高点、落下点 地上 10 mの高さから砲丸を
速さ20m/sで仰角30°の方向に打ち出す。最高点と最高点
までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メート
ル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。 最高点
y v0
解 投射点直下の地上の点を原点、
θ
鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に
x
y
0
x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。
初速度の大きさ v0 = 20m/s 仰角θ= 30° 0落下点
即ち、初速度(v0x , v0y) =( v0 cosθ , v0 sinθ ) v0y
v0
(数値) 10 3
=(
, 10 )m/s (v0 ,θで)
θ
v0x
鉛直下方に
初期座標(x0, y0)=( 0 , 10m )、 重力加速度g= 9.8m/s2
加速度 (ax, ay)=( 0 , –g )の 等加速度 運動。
目
1
２章 演習１ 最高点、落下点 地上 10 mの高さから砲丸を
速さ20m/sで仰角30°の方向に打ち出す。最高点と最高点
までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メート
ル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。 最高点 vy = 0
y v0
解
投射点直下の地上の点を原点、
落下時の速度鉛直成分の記述なし
最高点時刻の記述なし
θ
鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に
x
y
0
x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。
30° 0落下点 y = 0
初速度の大きさ v0 = 20m/s 仰角θ= 加速度は鉛直だから
即ち、初速度(v0x , v0y) =( v0 cosθ , v0 速度水平成分は不変
sinθ ) v0y
v0
vxは初速度と同じ
(数値) 10 3
(v
,θで)
0
=(
, 10 )m/s
θ
v0x
鉛直下方に
初期座標(x0, y0)=( 0 , 10m )、 重力加速度g= 9.8m/s2
加速度 (ax, ay)=( 0 , –g )の 等加速度 運動。
最高点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
目
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 未知),(x , y )=( 未知 , 0 ) 1
θ
鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0,y10m)、 g= 9.8m/sx2
0
x軸をとり、時間t
、
速度(v
,
v
)とする。
x
y
(x
,
y
)=(
未知 , 未知 )
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ),
0
初速度の大きさ v0 = 20m/s 仰角θ= 30° 落下点 y = 0
即ち、初速度(v0x , v0y) =( v0 cosθ , v0 sinθ ) v0y
v0
(数値) 10 3
=(
, 10 )m/s (v0 ,θで)
θ
v0x
鉛直下方に
初期座標(x0, y0)=( 0 , 10m )、 重力加速度g= 9.8m/s2
加速度 (ax, ay)=( 0 , –g )の 等加速度 運動。
最高点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知 , 0 )
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知),(x , y )=( 未知, 0)
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
y
y0
(a)最高点の時刻
最高点
公式より
vy = 0
0
0 = - g t + v0y
x
(数値代入)
(計算) (有効数字2桁)
(解く)
2
g t== v・・・・・
∴t
答 1.0s
0y /g = ( 10m/s) /(9.8m/s ) = 1.02s
(b)最高点の高さ は(a)の時刻 t の y の値
未知数(計算)
tは
(数値代入)
公式
(式代入)
既知になった
2
2
2
2
2
v 0y
 (10)

1 vv0y20y v0yv0y
―
― + v― ―
+ 10 m  15m
t + y 0 =・・・・・
y0 = 
=
+
y= - gt
2
0
y
gg
2 gg
2g
答
2(9.8)

は(a)の時刻のx の値。
(c)投射点から最高点までの水平距離１未知数の式から解く
目
公式
v y = -gt + v 0y
v
=
v
未知
2
x
0
x
v0y
1 2
x = v0x―
t +x0 =・・・・
g
x = v 0 x t + x 0 y = - gt + v 0y t + y 0
2
方針
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
最高点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 0 ), (x , y )=( 未知 , 未知 )
y
y0
(a)最高点の時刻
最高点
公式より
vy = 0
0
0 = - g t + v0y
x
(数値代入)
(計算) (有効数字2桁)
(解く)
t = v0y /g = ( 10m/s)/(9.8m/s2) = 1.02s
答 1.0s
(b)最高点の高さ は(a)の時刻 t の y の値
(計算)
(数値代入)
公式
(式代入)
2
2
v


(10)
1 2
0y
+ 10 m  15m
+ y0 = 
y= - gt + v 0y t + y 0 =
2
2g
答
2(9.8)

(c)投射点から最高点までの水平距離は(a)の時刻のx の値。
目
(式代入)
(数値代入)
公式
(計算) (2桁) 2
v 0 xv 0y
v0y
10 3 10

x = v0x―
+ 0 m = 17.7m  18m
t +x0 =
+ x0 = 
g
g
答
 9.8

(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
, 未知
, 0, 未知
), (x),, y(x)=(
, y未知
)=( 未知
,0 )
vy)=(
落下点
未知,(vx(v, xvy, )=(
v0xv0x
最高点 t t==未知,
y
y0
(a)最高点の時刻
最高点
公式より
vy = 0
0
0 = - g t + v0y
x
(数値代入)
(計算) (有効数字2桁)
(解く)
t = v0y /g = ( 10m/s)/(9.8m/s2) = 1.02s
答 1.0s
(b)最高点の高さ は(a)の時刻 t の y の値
(計算)
(数値代入)
公式
(式代入)
2
2
v


(10)
1 2
0y
+ 10 m  15m
+ y0 = 
y= - gt + v 0y t + y 0 =
2
2g
答
2(9.8)

(c)投射点から最高点までの水平距離は(a)の時刻のx の値。
(式代入)
(数値代入)
公式
(計算)
v 0 xv 0y
10 3 10

x = v0xt +x0 =
+ 0 m = 17.7m  18m
+ x0 = 
g
答
 9.8

(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
(d)落下点に達する時間
公式より
1 2
0 = - gt + v 0yt + y 0
2
y
方針
y0
0
落下点
y=0
x
∴t = ・・・・・
は(d)の時刻のx の値。
(e)投射点から落下点までの水平距離１未知数の式から解く
公式
目
v y = -gt + v 0y
v x = v 0x
3
x = v0xt + x0 =・・・
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
2
=
=
=
10m)、 g= 9.8m/s2
2次方程式の解
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0,
2 , y )=(
), (x
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知at
+ bt + c 未知
=0 ,0 )
-g/2
v0y y0 落下点
y
(d)落下点に達する時間
公式より
vb0y vb0y2+y
2gy
=a0c0
4
1 2
t
=
y
0
(-g/2)
0 = - gt + v 0yt + y 0
2
a
x
2
0
(2次方程式の解)
2
v 0y  v 0y + 2gy 0
∴t =
g
は(d)の時刻のx の値。
(e)投射点から落下点までの水平距離１未知数の式から解く
公式
目
v y = -gt + v 0y
v x = v 0x
3
x = v0xt + x0 =・・・
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
2
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
y
(d)落下点に達する時間
落下点
公式より
y=0
1 2
y0
=
gt
+
v
t
+
y
0
0y
0
x
2
0
√ 296 = 17.2
(2次方程式の解)
(数値代入)
2
v 0y  v 0y + 2gy 0
10  102 + 2(9.8) (10)
∴t =
s
=
g
9.8
(有効数字2桁)
(計算)
= – 0.735s , 2.78s 負の値は題意に適さないので 2.8s 答
(e)投射点から落下点までの水平距離は(d)の時刻のx の値。
公式
目
v y = -gt + v 0y
v x = v 0x
3
x = v0xt + x0 =・・・
1 2
y = - gt + v 0y t + y 0
x
=
v
t
+
x
0
x
0
未知
2
(v0x , v0y) =( 10 3 , 10 )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g= 9.8m/s2
落下点 t = 未知, (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 未知, 0 )
y
(d)落下点に達する時間
落下点
公式より
y=0
1 2
y0
=
gt
+
v
t
+
y
0
0y
0
x
2
0
√ 296 = 17.2
(2次方程式の解)
(数値代入)
2
v 0y  v 0y + 2gy 0
10  102 + 2(9.8) (10)
∴t =
s
=
g
9.8
(有効数字2桁)
(計算)
= – 0.735s , 2.78s 負の値は題意に適さないので 2.8s 答
(e)投射点から落下点までの水平距離は(d)の時刻のx の値。
(計算)
公式
(t代入、数値代入)
目
3
x = v0xt + x0 =・・・
= (10 3m/s) (2.78s ) + 0 = 48.2m
(有効数字2桁) 答 48m
２章 演習２ 指定点落下のための投射角
地上 0 mの高さから砲丸を速さ14m/sで打ち出す。前方10m
の地点に落下させるにはいくらの仰角で打ち出したらよいか。
発射何秒後に落下するか。空気抵抗は無視する。
落下時の速度鉛直成分の記述なし y v0
解 投射点直下の地上の点を原点、
θ
鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に
x
x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。
0
落下点 y = 0
初期座標(x0, y0)=( 0m , 0m )、
v0y
v0
初速度の大きさ v0 = 14m/s 仰角θ= 未知
θ
即ち、初速度(v0x , v0y) =( v0 cosθ , v0 sinθ )
v0x
(v0 ,θで)
鉛直下方に重力加速度g= 9.8m/s2
目
4
加速度 (ax, ay)=( 0 , –g )の 等加速度 運動。
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 10m ,
0
)
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0)
落下点 t =未知, (vx , vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 )
g= 9.8m/s2,
y v0
落下点
0
θ
y
0
初期座標(x0, y0)=( 0m , 0m )、
初速度の大きさ v0 = 14m/s 仰角θ= 未知
即ち、初速度(v0x , v0y) =( v0 cosθ , v0 sinθ )
v0
θ
x
y=0
x
落下点 y = 0
v0y
v0
θ
v0x
鉛直下方に重力加速度g= 9.8m/s2
加速度 (ax, ay)=( 0 , –g )の 等加速度 運動。
落下点t = 未知 (vx , vy)=( v0x , 未知), (x , y )=( 10m ,
目
4
0
)
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0)
落下点 t =未知, (vx , vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 )
g= 9.8m/s2,
y v0
落下点
未知
v x = v 0x
0
x = v 0xt + x 0
v0cosq
θ
x
y=0
v y = -gt + v 0y v0sinq
0 1 2
y
0 = - gt + v 0yt + y 0
2
v0sinq
目
5
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0)
落下点 t =未知, (vx , vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 )
g= 9.8m/s2,
落下点
1未知数の式 ない y v0
y=0
θ
x,y の公式から t を消去
0
x
未知
1 2
v y = -gt + v 0y v0sinq
0 = - g t =+ v 0y t
v x = v 0x
1 2
移項 2
y
=
gt
+
v
t
+
y
0
x
=
v
t
+
x
0
y
0
0x
0
(解く) t = 2v 0y / g
2
v0sinq
v cosq
(下式に代入してt 消去)
0
この2式から t を消去
x = v0xt = 2v 0 xv 0y / g = 2v 0v 0sin q cos q / g = v 0 sin 2q / g
sin2q
(2倍角の公式)
2
2
目
5
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0)
落下点 t =未知, (vx , vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 )
g= 9.8m/s2,
落下点
1未知数の式 ない y v0
y=0
θ
x,y の公式から t を消去
0
x
未知
1 2
v y = -gt + v 0y v0sinq
0 = - g t + v 0y t
v x = v 0x
1 2
2
y
=
gt
+
v
t
+
y
0
x
=
v
t
+
x
0
y
0
0x
0
(解く) t = 2v 0y / g
2
v0sinq
v cosq
(下式に代入してt 消去)
0
x = v0xt = 2v 0 xv 0y / g = 2v 0 sin q cos q / g = v 0 sin 2q / g
(解く) x g
10m 9.8m/s2
sin 2q =
=
= 0.50
2
2
(14m/s)
v0
目
5
2q = 30,150 q = 15, 75 答
2
14m/s
9.8m/s2
t = 2v 0 sin q / g
t = 0.74s, 2.8s
2
答
第2章 空間運動 演習 終り
前で1章演習レポートを提出し、
3章講義課題
返却物
再チャレンジの説明
を受け取ってください。