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第1章 直線運動 講義 目 次 ページ 操 作 法 変位と速度 1 平均速度と瞬間速度 2 速度とグラフ 3 加速度 4 加速度とグラフ 5 ページに跳ぶには 速度、加速度まとめ 6 各ページからここに戻るには 自由落下運動 7 各ページ右下 目 をクリック 等加速度運動 8 各章のファイルは スライド 「第1章 直線運動」要点 9 フォルダから開いてください。 例題１ 最高点 10 11 例題２ 落下点 12 13 進むには キー Enter 又は、マウス左クリック 戻るには キー 又は Back space を押す をクリック 終了には キー Esc 又は マウス右メニューで終了を選ぶ 科学 人類の知識の 論理的ネットワーク なぜ なぜ なぜ わけ なぜ 物理学 自然界の 基本法則 を 実証的方法 により探求し、 その 体系 を確立し、 それによって諸現象を解明し、 また応用に供する学問 例えば医者にいくと ････ 体温 聴診 血圧 心電図 X線 MRI ・・・・ わけ なぜ なぜ なぜ わけ わけ なぜ なぜ わけ わけ 医学 農学 工学 生物学 化学 物理学 根底には物理の概念・原理 内容 力学、電磁気学、波動学、熱学、近代物理学 力学 力と運動 に関する物理学 物理学各分野の基礎 0 力学 力と運動 に関する物理学 物理学各分野の基礎 力学 力と運動 に関する物理学 物理学各分野の基礎 変位と速度 力学 力と運動 に関する物理学 物理学各分野の基礎 1s 2s 3s 4s 例a t [s] = 0s xa[m]= 0m =4×0 4m=4×1 8m =4×4 =4×2 12m =4×3 16m 座標xa[m]を時間t[s]の関数として表す xa= 4 t [m] t [s] = 0s 1s 2s 例b x [m]= 0m 2 1m = 0 =22 =12 4m b 3s =32 9m xa 4s 16m=42 xb 座標xb[m]を時間t[s]の関数として表す xb= t 2 [m] 目 1 変位と速度 例a t [s] = 0s xa[m]= 0m 座標の変化= 変位 1s Dt =1s ? 2s 4m 8m Dxa =4m ? 変位 /時間= 速度 3s 4s 12m 16m xa 座標xa[m]を時間t[s]の関数として表す xa= 4 t [m] 4 [m] 変位 をDxa Dx a ms 速度 va = = = 4 [m/s] 時間 をDt とする。 Dt 1 [s] 1 t [s] = 0s 1s 2s 3s 速度の単位は 4s m/s 例b x [m]= 0m 1m 4m 9m 16m b xb 座標xb[m]を時間t[s]の関数として表す xb= t 2 [m] 運動の様子をもっと詳しく知るため 速度について考えよう 目 1 変位と速度 例a t [s] = 0s xa[m]= 0m 座標の変化= 変位 1s 2s 4m 8m 変位 /時間= 速度 3s 4s 12m 16m xa 座標xa[m]を時間t[s]の関数として表す xa= 4 t [m] 4 [m] 変位 をDxa Dx a ms 速度 va = = = 4 [m/s] 時間 をDt とする。 Dt 1 [s] t [s] = 0s 1s 2s 3s 速度の単位は 4s m/s 例b x [m]= 0m 1m 4m 9m 16m b 暗黙の約束 言葉、数値、単位は意味が決まっている。 xb 文字変数はその都度定義しなくてはならない。 2 座標xb[m]を時間t[s]の関数として表す xb= t [m] 文字変数が単位を含むかもその都度定義する。 目 単位に[ ]を付ける表記ではどちらにも取れる。 運動の様子をもっと詳しく知るため 速度について考えよう 1 変位と速度 座標の変化= 変位 変位 /時間= 速度 t [s] = 0s 1s 2s 3s 4s 例a例bではDtの間にも「速度」が変化してしまう xa[m]= 0m 4m 8m 12m 16m 一口に「速度」と言っても単純でない xa 座標xa[m]を時間t[s]の関数として表す xa= 4 t [m] 4 [m] 変位 をDxa Dx a ms 速度 va = = = 4 [m/s] 時間 をDt とする。 Dt 1 [s] では、例bでは? t [s] = 0s 1s 2s 3s 速度の単位は 4s m/s 例b x [m]= 0m 1m 4m 9m 16m b 速度 vb m/s = ? ? ? ? ? 座標xb[m]を時間t[s]の関数として表す xb= xb t 2 [m] 速度について考えよう 運動の様子をもっと詳しく知るため そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 1 t [s] = 0s 1s 例b x [m]= 0m 1m b xb= t2 vb m/s = ? ? 2s 4m 3s 9m ? ? ? 速度 v b = Dx b / Dt 速度 va = t [s] = 0s 1s 例b x [m]= 0m 1m b 速度 vb m/s = ? ? 2s 4m ? 4s 16m (変位をDxb とする) Dx a Dt 3s 9m 4s 16m ? ? xb= xb t2 そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 1 t [s] = 例b x [m]= b xb= t2 vb m/s = 2s 4m ? ? D t = 2s D x b = 12m ? ? ? 速度 v b = Dx b / Dt t =2sと t = 4s の間 v b = 4s 16m (変位をDxb とする) 12m / 2s = 6.0 [m/s] そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 2 t [s] = 例b x [m]= b xb= t2 vb m/s = 2s 4m 3s 9m Dt = Dx b 1s = 5m ? ? ? ? ? 平均 速度 vb = Dxb / Dt (変位をDxb とする) t =2sと t = 4s の間 v b = t =2sと t = 3s の間 v b = 12m / 2s 5m / 1s この時間間隔 の平均速度 = 6.0 [m/s] = 5.0 [m/s] 時間間隔に よって異なる!! そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 2 t [s] = 例b x [m]= b xb= t2 vb m/s = 2s 2.1s 4m (?2.1)2m = 4.41m Dt = Dx b = 0.1s 0.41m ? ? ? ? ? 平均 速度 vb = Dxb / Dt (変位をDxb とする) t =2sと t = 4s の間 v b = t =2sと t = 3s の間 v b = 12m / 2s 5m / 1s t =2sと t = 2.1s の間 v b = = 6.0 [m/s] = 5.0 [m/s] 0.41m / 0.1s = 4.1 [m/s] 時間間隔を もっと短く そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 2 t [s] = 例b x [m]= b xb= t2 vb m/s = 2s 2.01s 2 ) m 4m ( 2.01 ? =4.0401m D t = 0.01s D x b = 0.0401m ? 4m/s ? ? ? ? 平均 速度 vb = Dxb / Dt (変位をDxb とする) t =2sと t = 4s の間 v b = t =2sと t = 3s の間 v b = 12m / 2s 5m / 1s = 6.0 [m/s] = 5.0 [m/s] t =2sと t = 2.1s の間 v b = 0.41m / 0.1s = t =2sと t = 2.01sの間 v b = 0.0401m / 0.01s = 4.1 [m/s] 4.01 [m/s] t =2sの瞬間の速度 4.00 [m/s] v b = 4.00 [m/s] 時間間隔を Dt →0 もっと短く の極限 Dt →0 そこで、 Dt →0の極限の、各瞬間の速度を知りたい 目 2 t [s] = 0s 1s 例b x [m]= 0m 1m b 2s 4m 3s 9m 4s 16m xb= t2 vb m/s = 0m/s ? 4m/s ? ? 8m/s ? 2m/s 6m/s v b =2t 平均 速度 vb = Dxb / Dt (変位をDxb とする) t =2sと t = 4s の間 v b = t =2sと t = 3s の間 v b = 12m / 2s 5m / 1s = 6.0 [m/s] = 5.0 [m/s] t =2sと t = 2.1s の間 v b = 0.41m / 0.1s = t =2sと t = 2.01sの間 v b = 0.0401m / 0.01s = 4.1 [m/s] 4.01 [m/s] t =2sの瞬間の速度 4.00 [m/s] v b = 4.00 [m/s] Dt →0 Dxb dx b 速度は座標 = 一般に 瞬間の速度は v b = lim Dt 0 Dt dt の時間に ここでは x b = t 2 なので v b = 2t [m/s] 微分の定義 よる微分 目 2 速度とグラフ dx 座標x 時刻t とすると 速度v = dt 速度は座標のグラフ の接線の傾き Dxb dx b = 一般に 瞬間の速度は v b = lim Dt 0 Dt dt ここでは x b = t 2 なので v b = 2t [m/s] 速度は座標 の時間に よる微分 目 速度とグラフ dx 座標x 時刻t とすると 速度v = dt x a [m ] 16 グラフ x 座標 x b [m ] 16 傾き 8? 傾き 4? 4? 傾き ?4 t [s傾き ] 6 t [s4 傾き ?] 4 傾き 4? 傾き ? 4 8 va ? v b 傾き 2 ? 傾き 4速度一定 傾き 0? 6 [m/s ] 等速度運動 4 4 4 傾き t 速度 速度は座標のグラフ の接線の傾き v 4 4 4 4 4 2 t t [s ] 0 4 t [s ] 4 目 3 速度とグラフ dx 座標x 時刻t とすると 速度v = 速度は座標のグラフ の接線の傾き dt x a [m ] vdt x v ∴ 座標x= 16 グラフ x 座標 x b [m ] 変位は速度のグラフ 16 の下の部分の面積 座標の変化 変位 傾き t 速度 t [s ] v va [m/s ] 面積 t t [s ] 4 4 速度一定 v b 等速度運動 4 4 t [s ] 4 t [s ] 4 目 3 速度とグラフ 速度v 時刻t とすると 座標x= vdt 変位は速度のグラフ の下の部分の面積 x a [m ] ∴ 座標x= 16 vdt x b [m ] 変位は速度のグラフ 16 グラフ x 座標 変位 傾き t 速度 の下の部分の面積 t [s ] v va [m/s ] 面積 t t [s ] 4 4 速度一定 v b 等速度運動 4 4 t [s ] 4 t [s ] 4 目 3 速度とグラフ 変位は速度のグラフ の下の部分の面積 速度v 時刻t とすると 座標x= vdt x a [m ] 16 12 グラフ x 座標 x b [m ] 16 16 16 9 8 変位 傾き t 速度 4 4 1 t [s ] t [s ] 4 4 面積 面積 16 ? 16 ? 面積 12 ? va v 面積 8 ? 面積 9? b 速度一定 面積 面積 4 ? [m/s ] 面積 1? 4? v 等速度運動 面積 t 4 4 t [s ] 4 t [s ] 4 目 3 速度とグラフ ところで、これらの運動の特徴を見ると 速度一定 x a [m ] 16 グラフ x 座標 x b [m ] 16 速度変化の割合を 変位加速度という 傾き t 速度 速度が変化 t [s ] v va [m/s ] 面積 t t [s ] 4 4 速度一定 v b 等速度運動 4 4 t [s ] 4 t [s ] 4 目 3 加速度 = 速度変化の割合 速度変化の割合を 加速度という 加速度 = 速度変化の割合 = 速度変化/時間 Dv b 平均加速度 a b = 時間をDt 速度変化 をDvbとする t [s] = 0s 1s 例b x [m]= 0m 1m b Dt 2s 4m 速度vb = 0m/s 2m/s 4m/s 3s D t = 2[s] 9m 4s 16m D v b = 4[m/s] 6m/s 8m/s 速度vb[m/s]を時刻t[s]の関数として表すと vb= 2t [m/s] 例 t =2 と t = 4 の間の平均加速度 微分 ab = Dv b Dt = 4[m/s] 2[s] 2 m/ss2] = 42 [m/s 加速度の単位は m/s2 一般に加速度は変化するので瞬間の加速度を定義する。 加速度 ab = lim Dt 0 Dv b Dt dv b 2 = = 2[ m/s 2 ] 加速度は速度の dt 時間による微分 目 例bの加速度は 一定! 等加速度運動 4 加速度とグラフ dv 速度v時刻tとすると 加速度a = dt 加速度 ab = lim Dt 0 Dv b Dt 加速度は速度の グラフの接線の傾き dv b = = 2[ m/s 2 ] 加速度は速度の dt 時間による微分 目 例bの加速度は 一定! 等加速度運動 加速度とグラフ dv 速度v時刻tとすると 加速度a = dt 加速度は速度の グラフの接線の傾き v a [m/s ] グラフ v v b [m/s ] 速度 4 4 傾き t [s ] t 加速度 a t [s ] 4 4 ab a a 傾き0 傾き2 等加速度運動 2 t 0 t [s ] 4 t [s ] 4 目 5 加速度とグラフ dv 速度v時刻tとすると 加速度a = dt グラフ v 速度 傾き v a [m/s ] adt ∴ 速度v v = a v b [m/s ] 速度変化は加速度 のグラフの下の面積 速度 4 変化 4 t [s ] t 加速度 加速度は速度の グラフの接線の傾き a t [s ] 4 4 ab aa 等加速度運動 面積 2 t 0 t [s ] 4 t [s ] 4 目 5 加速度とグラフ 加速度a時刻tとすると 速度v = adt 速度変化は加速度 のグラフの下の面積 v a [m/s ] ∴ 速度v = adt v b [m/s ] 速度変化は加速度 のグラフの下の面積 グラフ v 速度 傾き 速度 4 変化 4 t [s ] t 加速度 a t [s ] 4 4 ab aa 等加速度運動 面積 2 t 0 t [s ] 4 t [s ] 4 目 5 加速度とグラフ 加速度a時刻tとすると 速度v = adt 速度変化は加速度 のグラフの下の面積 v a [m/s ] グラフ v v b [m/s ] 速度 6 傾き 速度 4 変化 4 a aa 速度 t [s ] 4 変化0 t [s ] 面積2 面積8 面積4 面積6 等加速度運動 面積0 t 4 ab 面積 0 4 2 t 加速度 8 t [s ] 2 4 t [s ] 4 目 5 速度、加速度まとめ グラフ x グラフ v グラフ 座標v 速度 速度 速度 変位 変化 傾き 傾き t 速度 v a 加速度 t 傾き 速度 変化 t 加速度 a 面積 面積 面積 t t t 「速度とグラフ」ページより再掲 目 速度、加速度まとめ グラフ x グラフ v 座標 速度 傾き 変位 傾き t 速度 速度 変化 t 加速度 v a 面積 面積 t次に典型的な運動の例として t 自由落下運動、等加速度運動を考える。 目 6 y 0 座標y[m]を 自由落下運動 y[m] 時刻 座標 時刻t[s]の関数 t [s] y [m] として表す 0 0 0 y = - 4.9 t 2 [m] 0.1 - 0.049 – 0.5 2 = - 4.9 (0.1) 0.2 - 0.196 = - 4.9 (0.2)2 -0.5 0.3 t 0.3 - 0.441 = - 4.9 (0.3)2 多くの実験 の結果から 次に典型的な運動の例として 0.4 - 0.784 = -自由落下運動、等加速度運動を考える。 4.9 (0.4)2 目 7 自由落下運動 y[m] 時刻 座標 t [s] y [m] 0座標 y0 0 0.1 - 0.049 dy 速度 v = - 0.196 0.2 dt dv 加速度 a = dt 座標y[m]を 時刻t[s]の関数 として表す y = - 4.9 t 2 [m] m y d 2 微分 – 0.5 dtt 速度 /s ] m/s v = - 9.82 t [m d 加速度 dt t 微分 v 2 [m/s ] a = - 9.81 ＝ 0.3 - 0.441 多くの実験 –3 等加速度運動！ の結果から -0.5 その加速度は 多くの実験 a 地表付近で定数で 根本的原因 の結果から 2 値はg = 9.8 m/s は地球重力 –g 0.4 - 0.784 一般の等加速度運動について考えよう ⇒第3章 重力 重力加速度という 0.3 t 0 傾き t 傾き t 目 7 １章 講義レポート1 速度 1. 例bの運動で、 (1)走り始めてから5秒後までの平均速度はいくらか。 ヒント xbをtで表した式から5秒後の座標を求め、 初めの座標0を引いて時間5秒で割る。 (2)走り始めてから5秒後の速度はいくらか。 ヒント xbをtで表した式を微分して速度を表す式を求め、 時間5秒を代入する。 t [s] = 0s 1s 例b x [m]= 0m 1m b 2s 4m 3s 9m 4s 16m 2. 高さh =10mの塔の上から石を真下に投げ下ろした。 重力加速度をg =9.8m/s2、初速を0とし、 空気の抵抗は無視する。 (1)地面に着くまで何秒かかるか。 ヒント 座標が分っているので、座標をtで表した式を解いてtを求める。 注 なるべく式で計算してから最後に数値を代入するのが得策。 有効数字は途中は多めに計算しておくが、 答えの有効数字は問題の有効数字に合わせる。 (2)地面に着く直前の速度はいくらか。 ヒント 速度をtで表した式に前問のtを代入して求める。 注 この場合も式で計算してから最後に数値を代入するのが得策。 等加速度運動= 加速度一定の運動 座標x 速度v 加速度a 加速度 a = a0 は定数 dx x = vdt v = 公式導出 ∫ a0dt 積分 dt v0 :初速度 速度 v = a 0 t v0 (t=0でのv) dv 積分 座標 x = 例 積分定数 dt ∫ av 0 tdt積分定数 a= dt v = adt 1 2 x0:初期座標 a 0 t v 0 t x0 (t=0でのx) 2 自由落下 例b ここで一般の等加速度運動について公式を導く 一般の等加速度運動について考えよう 目 8 等加速度運動= 加速度一定の運動 加速度 a = a0 は定数 公式導出 ∫ v0 :初速度 速度 v = a 0 t v0 (t=0でのv) a0 v v0 ∫ 座標 x = a 1 2 x0:初期座標 0 a 0 t v 0 t x0 (t=0でのx) 2 v 傾き 運動 公式に従ってグラフを描き、 運動のアニメを見る x x0 0 グラフ t (a0<0の場合) 定数 傾きa0の 直線 0 - 0 放物線 t t 目 8 a グラフ 等加速度運動= 加速度一定の運動 t 加速度 a = a0 は定数 (a0<0の場合) 公式導出 ∫ a0 v0 :初速度 定数 一式から 速度 v = a 0 t v0 (t=0でのv) v v - v0 t を表す a0t = a 傾きa0の ∫ v0 0 直線 t 1 2 x0:初期座標 0 座標 x = a 0 t v 0 t x0 (t=0でのx) 2 他式に 2 v (v - v ) a 0 0) 2 0 t を代入 x -x0 = 0 (v - v 2 移項 x 2a0 2a0 2a0 t 代入 t 代入 約分 通分 x0 放物線 t 0 目 t を消去した公式を導く 8 等加速度運動= 加速度一定の運動 加速度 a = a0 は定数 公式導出 ∫ v0 :初速度 速度 v = a 0 t v0 (t=0でのv) v - v0 t= a ∫ 0 a a0 グラフ t (a0<0の場合) 定数 v 傾きa0の 直線 展開 0 整理 v0 1 x02:初期座標 2 2 2 座標 t x 0 (t=0でのx) v -x 2=vv 0 2va0 0 t v 20vv 0 - 2v 0 2 v (v - v ) 2- v 2 v ( v v ) 2 0 0 0 = 0 x -x0 = x 2a0 2a0 t 消去公式 2a0 (x - x0) = v 2 - v02 x0 t を消去した公式を導く 0 放物線 t t 目 8 等加速度運動= 加速度一定の運動 加速度 a = a0 は定数 公式導出 ∫ v0 :初速度 速度 v = -ag0 t v0 (t=0でのv) v - v0 t= a ∫ 0 a -ag0 グラフ t (a0<0の場合) 定数 v v0 t 1 x0:初期座標 0 座標 x = - ag0 t v 0 t x0 (t=0でのx) 2 2 v (v - v ) ( v v ) 0 0 2 0 -g代入 x -x0 = x 2a0 g0 (x - x0) = v 2 - v02 t 消去公式 - 2a 地表付近の放物運動では a0= - g 多くの実験事実から x0 g = 9.8 m/s2 0 放物線 t 目 8 等加速度運動= 加速度一定の運動 加速度 a = a0 は定数 公式導出 ∫ v0 :初速度 速度 v = a 0 t v0 (t=0でのv) v - v0 t= a ∫ 0 a a0 v v0 グラフ t (a0<0の場合) 定数 止る点 v=0 1 2 x0:初期座標 0 座標 x = a 0 t v 0 t x0 (t=0でのx) 2 2 v (v - v ) ( v v ) 0 0 2 0 x -x0 = 最高点 x 2a0 t 消去公式 2a0 (x - x0) = v 2 - v02 地表付近の放物運動では a0= - g 最高点の条件 =止まる条件 止まる v=0 落下点の条件 x = 0 x0 放物線 0 落下点 x = 0 落下点 t t 目 8 「第1章 直線運動」要点 (vで) dx 座標x 速度v = vdt 座標x= dt 時刻t (aで) dv とすると 加速度a = adt 速度v= dt 等加速度運動 加速度 a = a0 定数 速度 v = -ag0t v 0 v0 :初速度(t=0でのv) 座標 x =- 1 2 t 消去公式 ag0 t v 0 t x 0 2 x0:初期座標 (t=0でのx) - 2ag0 ( x - x 0 ) = v - v 0 地表付近の放物運動 a0= - g 最高点の条件=止まる条件 v = 0 2 2 a -ag0 t v v0 止る点 v=0 0 t x 最高点 x0 0 t 落下点 x = 0 落下点の条件 x = 0 目 9 最高点 例題１ ボール打上げ 最高点 x 野球のボールを地上 1.0 m の高さから 速度 10 m/s で真上に打ち上げた。 v (a)最高点に達する時間を求めよ。 t = 0 打上げ グラフ (b)最高点の高さを求めよ。 t ただし空気抵抗による 0 減速は無視せよ。 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 00, 打上げた瞬間をtt = 00とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 等加速度 運動で、加速度 -？g はじめに座標、速度などの変数を定義する どのような運動か、見極める 目 10 例題１ ボール打上げ 最高点 最高点 t? x? x 条件 v？ 野球のボールを地上 1.0 m の高さから =0 t? 速度 10 m/s で真上に打ち上げた。 (a)最高点に達する時間を求めよ。 t =0 v0 = 10m/s x? x = 1.0m 0 (b)最高点の高さを求めよ。 打上げ t ただし空気抵抗による 0 減速は無視せよ。 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 0, 打上げた瞬間をt = 0とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 等加速度 運動で、加速度 - g 初速度を v0, 初期座標を x0 とする。 v0 = 10m/s ？ x0 = 1.0m 打上げ時 t = 0 ？ 0 ？ ？ v = ？ x = 未知 最高点で t = 未知 打上げ時、最高点の座標、速度の与えられた条件を整理 目 10 2, g = 9.8m/s v0=10m/s, x0=1.0m 例題１ ボール打上げ 最高点 最高点 t? x? x 条件 v = 0 野球のボールを地上 1.0 m の高さから v= 0, x=未知 最高点 t =未知 速度 m/s で真上に打ち上げた。 x 10最高点 v0 = 10m/s (a)最高点に達する時間を求めよ。 x0 =1.0m (b)最高点の高さを求めよ。 打上げ x0 t ただし空気抵抗による t 0 0 減速は無視せよ。 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 0, 打上げた瞬間をt = 0とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 等加速度 運動で、加速度 - g 初速度を v0, 初期座標を x0 とする。 v0 = 10m/s x0 = 1.0m 打上げ時 t = 0 最高点で t = 未知 v = 0 x = 未知 目 10 g = 9.8m/s2 , v0=10m/s, x0=1.0m x=未知 t =未知 v= 0, 最高点 x 最高点 x0 0 v= 0 １未知数の 式から解く t 公式 v = - g t v 0 x =- 1 2 gt v 0 t x 0 2 未知数 (b)最高点の高さ は(a)の 時刻 t における xの値 v022 1 v022 t 2 v 0 tg x 0 x =- g ― 2 g 2 2 v v (式の計算) 0 0 (a)最高点の時刻 t = x0 止まる条件と 速度の公式より 2g g 未知数 t は 2 0 = -g t + v 0 v0 = x0 既知になった g t = v0 / (解く) 2g (数値) 2 2 10m/s ( ) (数値代入) = ( 10m/s ) / (9 .8m/s ) = 2 1 .0 m (計算) 2 (9 .8m/s ) = 1 . 02 s 1 . 0 s 答 目 (計算) = 6 .1m 答 (有効数字2桁) 11 例題2 ボール打上げ 落下点 野球のボールを地上 1.0 m の高さから 速度 10 m/s で真上に打ち上げた。 v 地上に落下する時間を求めよ。 t=0 ただし空気抵抗による 減速は無視せよ。 x 打上げ グラフ t 0 落下点 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 00, 打上げた瞬間をtt = 00とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 加速度 -？g の等加速度運動 はじめに座標、速度などの変数を定義する どのような運動か、見極める 目 12 例題2 ボール打上げ 落下点 野球のボールを地上 1.0 m の高さから 速度 10 m/s で真上に打ち上げた。 t =0 地上に落下する時間を求めよ。 ただし空気抵抗による 打上げ 減速は無視せよ。 落下時の速度 x v0 = 10m/s x0 =1.0m t t? 0 の記述なし 落下点 条件 x？ =0 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 0, 打上げた瞬間をt = 0とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 加速度 - g の等加速度運動 初速度を v0, 初期座標を x0 とする。 v0 = 10m/s ？ x0 = 1.0m 打上げ時 t = 0 ？ ？ ？ v = 未知 x = ？ 0 落下点で t = 未知 打上げ時、落下点の座標、速度の与えられた条件を整理 目 12 2, g = 9.8m/s v0=10m/s, x0=1.0m 例題2 ボール打上げ 落下点 t =未知 v=未知, x= 0 落下点 野球のボールを地上 1.0 m の高さから x 10 m/s で真上に打ち上げた。 速度 地上に落下する時間を求めよ。 x0 ただし空気抵抗による 打上げ t 0 減速は無視せよ。 v0 = 10m/s x0 =1.0m t t? 0 落下点 条件 x = 0 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 0, 打上げた瞬間をt = 0とする。 g = 9.8m/s2 地球の重力による運動だから 加速度 - g の等加速度運動 初速度を v0, 初期座標を x0 とする。 v0 = 10m/s x0 = 1.0m 打上げ時 t = 0 落下点で t = 未知 v = 未知 x = 0 目 13 12 = = = g = 9.8m/s2 , v0=10m/s, x0=1.0m 公式 v = - gt v 0 落下点 t =未知 v=未知, x= 0 1 2 gt v 0t x 0 x = x １未知数の式から解く 2 未知数 落下時間は x0 1 2 x=0 と 0 = - gt v 0 t x 0 t 0 2 なる時間 t 2 v 0 v 0 2 gx 0 落下点 x = 0 解く t = g 2次方程式の解 √ 119.6 = 10.94 2 at bt c = 0 (数値) 10 10 2 2 ( 9 . 8 ) (1 . 0 ) -g/2 v0 x0 s = 9 .8 2 - vb0 vb0 - 42gx a c0 (計算) t = = - 0.096s, 2.14s 2 (a-g/2 ) 負の値は不適。 (有効数字2桁) 目 (解の 公式) 地上に落下するのは 2.1s 後。 13 １章 講義レポート ロケット 最高点 x 地上 x0 = 20 m の高さからロケットを 速度 v0 = 28 m/s で真上に打ち上げた。 x0 最高点の高さは何メートルか。 ただし空気抵抗による減速は無視せよ。 0 最高点 v=0 解 時間を t とし、鉛直上方に x 軸をとり、速度を vとする。 地面をx = 0, 打上げた瞬間をt = 0とする。 地球の重力による運動だから の 加速度 a = 初速度を v0, 初期座標を x0 とする。 v0 = 打上げ時 t = 最高点で t= v = 運動である。 x0 = x = 未知 t g = 9.8m/s2 , v0=28m/s, x0=20m x=未知 t =未知 v= 0, 最高点 x 最高点 x0 v= 0 １未知数の 式から解く t 0 (a)最高点の時刻 t 止まる条件と 速度の公式より = -g t + v 0 t= / (解く) (b)最高点の高さ は(a)の 時刻 t における xの値 公式 v = x = 未知数 x = = (tの式 代入) = (式の計算) = (数値 代入) (計算) = 答 最高点の高さは (有効数字2桁)