Transcript 教材3＿相関係数に関する統計的推定と検定2013

相関係数に関する統計的推定と検定
相関係数ｒ：
標本から得られた統計量
推定
検定
右のグラフの
ような関係に
ある
母相関係数ρ：
母集団の相関係数
母相関係数ρの区間推定
例題 右のデータは20頭の羊について
胴回りと体重を測定したデータである．
95％信頼区間をつけて，母相関係数を
区間推定せよ．
羊の胴回り(cm） 体重（kg）
125.5
130
150.5
151.5
132
152.5
125
141
131
124.5
146
123
125
148.5
145.5
129.5
137.5
146.5
135
142
37.2
46.3
71.4
70.6
57.8
69
34.7
60.8
47
38.9
55.8
29.8
37.5
57.4
59
44.4
55.4
67.2
55.6
59.8
母相関係数ρの区間推定
A 点推定：
 r
B 区間推定：信頼率p％のρの信頼区間0.831
  0.973
下の測定値に100以内のデータセットを入れると相関係数，信頼率p％のときの相関
係数の区間推定，あるいは有意水準p％のときに帰無仮説：母相関係数=0（無相関）
とした場合の有意確率p-値を自動的に計算する．ただし測定値に値を誤入力したとき
はDelキーで削除すること．セルを移動させると式が変わってしまう．
標本番号 測定値Ａ 測定値Ｂ
1
125.5
37.2
2
130
46.3
3
150.5
71.4
4
151.5
70.6
5
132
57.8
6
152.5
69
7
125
34.7
8
141
60.8
9
131
47
相関係数の区間推定
相関係数
信頼率％
相関係数上限
相関係数下限
0.93107998
95 ％
0.972789749
0.830914418
母相関係数の区間推定（予習）
練習１ 右のデータは20個のジャガイ
モについて重量と芽の数を測定した
データである．95％信頼区間をつけ
て，母相関係数を区間推定せよ．
重量(g)
芽の数(個)
121.68
123.62
120.84
125.59
113.39
132.47
123.11
127.02
126.17
121.11
131.58
122.45
137
117.47
155.34
129.81
132.92
142.46
136.88
138.77
8
10
9
11
6
10
11
13
12
6
10
8
9
12
7
9
12
9
11
9
母相関係数の区間推定（予習）
練習２ 右のデータは20匹のミミズに
ついて長さと重さを測定したデータで
ある．99％信頼区間をつけて，母相関
係数を区間推定せよ．
ミミズの長さ（cm）ミミズの重さ(g）
9.7
0.973
7.4
0.421
10.2
0.453
6.9
0.412
9.3
0.453
10.5
1.093
4.2
0.231
5.3
0.621
10.2
0.593
5.3
0.193
9.7
0.942
4.5
0.132
7.8
0.695
6.3
0.823
5.4
0.621
10.3
0.741
7.2
0.632
3.4
0.348
7.2
0.731
5.6
0.554
母相関係数ρの検定
  0 という帰無仮説をｔ検定を用いて検定する．
帰無仮説：両変数間には相関がない 母相関係数   0
母相関係数
対立仮説：両変数間には相関がある 母相関係数
 0
帰無仮説が棄却された場合
両変数間には相関があると結論できる．
帰無仮説が棄却できなかった場合
両変数間には相関があるとはいえないと結論できる．
母相関係数ρ＝０
上の図からわかるように母集団の母相関係数ρが0のときでも，
そこから無作為に取り出した標本の相関係数が0.5程度のかな
り大きい値になることは意外とよくある．
相関係数の検定：例
羊の胴回り(cm） 体重（kg）
125.5
例：右のデータは20頭の羊について胴回り
130
と体重を測定したデータである．有意水準
150.5
5％で相関の有無を検定せよ．
151.5
132
152.5
125
帰無仮説：両変数間には相関がない．
141
母相関係数ρ＝０
131
124.5
母集団に相関がない
146
123
125
対立仮説：両変数間には相関がある．
148.5
145.5
母相関係数ρ≠０
129.5
母集団に相関がある
137.5
146.5
135
142
37.2
46.3
71.4
70.6
57.8
69
34.7
60.8
47
38.9
55.8
29.8
37.5
57.4
59
44.4
55.4
67.2
55.6
59.8
相関の検定
標本番号 測定値Ａ 測定値Ｂ
1
125.5
37.2
2
130
46.3
3
150.5
71.4
4
151.5
70.6
5
132
57.8
6
152.5
69
7
125
34.7
8
141
60.8
9
131
47
10
124.5
38.9
11
146
55.8
12
123
29.8
13
125
37.5
14
148.5
57.4
15
145.5
59
相関係数の区間推定
相関係数
信頼率％
相関係数上限
相関係数下限
0.93107998
99 ％
0.979745543
0.77856386
相関係数の検定
有意確率p-値
2.59012E-09
p-値は2.59×10-9となるので，0.1％の有意水準で帰無仮説を棄却
でき，相関があると認められる．
相関の検定（練習）
練習１ 右のデータは20個のジャガイ
モについて重量と芽の数を測定した
データである．有意水準5％で相関の
有無を検定せよ．
帰無仮説：
対立仮説：
重量(g)
芽の数(個)
121.68
123.62
120.84
125.59
113.39
132.47
123.11
127.02
126.17
121.11
131.58
122.45
137
117.47
155.34
129.81
132.92
142.46
136.88
138.77
8
10
9
11
6
10
11
13
12
6
10
8
9
12
7
9
12
9
11
9
相関の検定（練習）
練習２ 右のデータは20匹のミミズに
ついて長さと重さを測定したデータで
ある．有意水準5％で相関の有無を検
定せよ．
帰無仮説：
対立仮説：
ミミズの長さ（cm）ミミズの重さ(g）
9.7
0.973
7.4
0.421
10.2
0.453
6.9
0.412
9.3
0.453
10.5
1.093
4.2
0.231
5.3
0.621
10.2
0.593
5.3
0.193
9.7
0.942
4.5
0.132
7.8
0.695
6.3
0.823
5.4
0.621
10.3
0.741
7.2
0.632
3.4
0.348
7.2
0.731
5.6
0.554
相関係数の評価
相関係数ｒの検定の結果，相関が有意であることがわかったら
相関係数の大きさから，以下のように相関の強さを評価する．
-1.0～-0.6 高い負の相関
-0.599～-0.4 中位の負の相関
相関係数が有意であることと
相関の強弱には関係はない．
-0.399～-0.2 低い負の相関
-0.199～+0.199 無相関
相関係数がいくら大きくても，
+0.2～+0.399 低い正の相関
有意でなければ相関があると
+0.4～+0.599 中位の正の相関
+0.6～+1.0 高い正の相関
はいえないと判断する．
相関係数の検定結果の表記
7月の平均気温（℃）
r=0.544＊＊
1月の平均気温（℃）
５％水準で有意であるとき ｒ＝0.675*
１％水準で有意であるとき ｒ＝0.855**