Transcript 第5章 統計的仮説検定 H411007 石田晃基 H411016 牛山悠資 統計的

第５章 統計的仮説検定
H411007 石田晃基
H411016 牛山悠資
統計的仮説検定
• 推測統計の中でも利用頻度の高い
重要なもの
• 今回は統計的仮説検定の手順とさ
まざまな用語を説明します
• また、標準正規分布を使った検定、ｔ
分布を使った検定、無相関検定、カ
イ二乗検定を説明します
統計的仮説検定の必要性-(1)
• なぜ必要なのか？
• ある研究者を例にして考えます。
• 日本人の大学生において自尊感情と社会性
の間には相関関係があるということを主張す
るため、実際に大学生５０人を無作為に選び、
データを収集した。
• 結果、自尊感情と社会性の間には相関関係
が0.5あり、研究者は相関関係があると結論
づけた。
統計的仮説検定の必要性-(2)
• しかし、この結論に批判の声が上がった
• その中で大きな打撃を受ける批判の一つに
「例え、母集団全体では全く相関がなくても標
本では相関関係が見られる事がある」
• これを言い換えると「母集団全体からデータ
を得たら相関関係はゼロになるのに、きみが
たまたま相関関係が見られるような標本を抽
出しただけじゃないのか」
統計的仮説検定の必要性-(３)
統計的仮説検定の手順と用語
1. 母集団に関する帰無仮説と対立仮説を設定
する
2. 検定統計量を選ぶ
3. 有意水準αの値を決める
4. データから検定統計量の実現値を求める
5. 検定統計量の実現値が棄却域に入れば
帰無仮説を棄却して、対立仮説を採択する。
棄却域に入らなければ帰無仮説を採択する
手順-(1)
• 始めに母集団に関して母平均𝜇 ＝０、母相関係数ρ＝
０、母平均の差𝜇 1ー𝜇 2=0といった「○○がない」とい
う帰無仮説を立てます。
• これとは逆に「○○がある」という対立仮説を立てるの
ですが、このとき対立仮説が
𝜇 ≠０、ρ≠０、 𝜇 1ー𝜇 2≠０の場合両側検定になり、
また𝜇 ＞０、ρ＞０、 𝜇 1ー𝜇 2＞０の場合
片側検定となります
手順-(2)
• 続いて、これらの仮説の検定統計量を決めま
す。そして、有意水準を設定します。
データから検定統計量の実現値を計算します
その値が、棄却域に入れば「有意な差があ
る」という判断ができ、また棄却域に入らなけれ
ば「有意な差がない」と判断できます。
用語-(1)
• 帰無仮説
「差がない」「効果がない」という仮説
本来主張したいこととは逆の仮説になります。
• 対立仮説
帰無仮説が棄却されたとき採択される仮説。
帰無仮説とは逆の仮説。
用語-(２)
• 検定統計量
統計的仮説検定のために用いられる標本統
計量のこと。
実際のデータから検定統計量の値を計算した
ものが検定統計量の実数値となります。
検定統計量の実現値は対立仮説に合っている
ほど、０から離れた値を示します。
用語-(３)
• 有意水準
帰無仮説を棄却するかという基準。
有意水準は５％または、１%に設定されること
が多く、記号αで表されます。
• 棄却域
検定統計量の値の範囲。帰無分布における、
裾野部分の面積がαとなる領域に対応した値の範囲。
棄却域以外の部分を採択域といい、棄却域と採択域
の境界の値のことを臨界値といいます。
用語-(４)
• Ρ値
帰無仮説が正しいという仮説のもとで、
標本から計算した検定統計量の実現値以上
の値が得られる確率のこと。
Ρ値が有意水準αより小さいときに帰無仮説を
棄却します。
用語-(5)
• 誤り
「帰無仮説が真のときこれを棄却してしまう」
これを第一種の誤りといい、
「帰無仮説が偽のときこれを採択する」
これを第二種の誤りという。
第一種の誤りを犯す確率をα、
第二種の誤りを犯す確率をβで表します。
有意水準を５％とした場合、
第一種の誤りも５％になります
用語-(6)
• 検定力
帰無仮説が偽のとき第二種の誤りを犯す確
率と犯さない確率を合計すると１になります。
帰無仮説が偽の場合、全体の確率１から第
二種の確率βを引いた確率１－βは第二種の誤
りを犯さない確率となり、これを検定力といいま
す。
検定力とは間違っている帰無仮説を正しく棄
却できる確率のこと。
標準正規分布を用いた検定-(1)
• 標準正規分布については第４章参照
• これを帰無分布とし一つの平均値の検定の
方法を紹介します。
ここで検定統計量を Z =
𝑋−𝜇
𝜎/ 𝑛
この標本分布は平均𝜇 、分散
なります。
とします。
𝜎2
𝑛
の正規分布に
標準正規分布を用いた検定-(2)
• 今回しようするデータです、平均は12、分散は10
の正規分布になります。
• これより、帰無仮説：μ＝12、対立仮説μ≠12
が設定できます。
また、検定統計量をZ =
𝑋−𝜇
𝜎/ 𝑛
、
有意水準をα＝0.05とします。
標準正規分布を用いた検定-(3)
• これらのデータにより検定統計量の実現値を
求めます。
• 検定統計量の実現値はZ＝-2.828427と求め
られました。
標準正規分布を用いた検定-(4)
• 棄却or採択の決定
Rではqnorm関数を用いて棄却の臨界値を求
めます。
これより、Z＜-1.959964、Z＞1.959964となりま
す。検定統計量の実数値はZ＝-2.828427なの
で棄却域に入ります。よって、帰無仮説は棄却
されます。
標準正規分布を用いた検定-(5)
• 棄却or採択の決定
pnorm関数を用いて直接ρ値を求める方法
こうしてp値が0.00467735と求まりました。
有意水準0.05より小さいので帰無仮説は
棄却されます。
Ｔ分布を用いた検定-(1)
• 正規母集団からの無作為標本であり、母集
団の分散が分からない場合を考えます。
この場合、標準正規分布を用いることができ
𝑋−𝜇
ないので検定統計量において Z =
を計算
𝜎/ 𝑛
することができません、よって不偏分散の正の
𝑋−𝜇
平方根である 𝜎 を用いて計算される T =
𝜎/ 𝑛
を利用します。
Ｔ分布を用いた検定-(2)
• T分布とは統計学でよく利用される確率分布
のひとつです。
T分布は自由度ｄｆという数値によりその形状
が決まります。
Ｔ分布を用いた検定-(3)
• 先ほどと同じデータを使用します。
帰無仮説、対立仮説、有意水準の設定は同じ
𝑋−𝜇
ですが検定統計量はT =
となります。
𝜎/ 𝑛
これより検定統計量の実現値を求めます。
検定統計量の実現値はｔ＝-2.616648となりまし
た。
Ｔ分布を用いた検定-(4)
• 棄却or採択の決定
この検定統計量は、帰無仮説のもとで
自由度ｄｆ＝ｎ－１＝２０－１＝１９のT分布に
従います。ｑｔ関数を利用し棄却域を求めます。
これにより棄却域は、ｔ<-2.093024、ｔ>2093024とな
ります。検定統計量の実現値はt=-2.616648だった
ので棄却域に入り、帰無仮説は棄却されます。
Ｔ分布を用いた検定-(5)
• 棄却or採択の決定
pt関数を利用してｐ値を求める方法
P値は0.01697092と求められ、0.05より小さいの
で帰無仮説は棄却されます。
相関係数の検定-(1)
• 次に相関係数に関する検定について紹介し
ます。
この検定は帰無仮説を「母集団において相関
が０である」と設定するため、無相関検定とも呼
ばれる。
母集団相関係数に関する検定を行うとき標本
相関係数γをT =
𝛾 𝑛−2
1−𝛾2
に代入します。
相関係数の検定-(2)
• これまでと同様のデータを使います。
母相関が０のため帰無仮説：ρ＝０
対立仮説：ρ≠０となります。
また、検定統計量はT =
𝛾 𝑛−2
1−𝛾2
有意水準はα＝0.05とします。
となり
相関係数の検定-(3)
• 検定統計量の実現値を求めます。
検定統計量の実現値はt=4.805707となりました。
相関係数の検定-(４)
• 棄却or採択の決定
この検定統計量は、帰無仮説のもとで
自由度ｄｆ＝ｎ－２＝２０－２＝１８のｔ分布に従い
ます。
これより棄却域は、t<-2.100922、t>2.100922となり、
検定統計量t=4.805707は棄却域に入るため帰無
仮説は棄却されます。
相関係数の検定-(5)
• 棄却or採択の決定
ptを利用してｐ値を直接求める方法
ｐ値は0.0001416229と求められ,0.05よりも
低いので帰無仮説は棄却されます。
独立性の検定-(1)
• 独立性の検定は、２つの質的変数が独立で
あるかどうかを確かめるために行います。
独立であるというのは、２つの質的変数に
連関がないことを意味します。
２つの質的変数の関係については第３章参照
独立性の検定-(2)
• 今回使用するデータです。
この数値の書かれたマスのことをセルといい、
セルに書かれた数値をまた観測度数といいます。
また各列方向、行方向を合計したものを
周辺度数といいます。
周辺度数を合計したものを総度数といいます。
独立性の検定-(3)
• ２つの変数の間に連関がないという帰無仮説
のもとで帰無仮説が正しければ、これくらい
の度数を取るだろうと期待される度数を
期待度数といいます。
期待度数
＝(セルが属する行の周辺度数)^2/総度数
により求まります。
独立性の検定-(4)
• この場合、
帰無仮説:２つの変数は独立である。
対立仮説:２つの変数は連関である。
と設定します。
２つの独立性の検定における検定統計量は
2
2
2
(𝑂
−
𝐸
)
(𝑂
−
𝐸
)
(𝑂
−
𝐸
)
1
1
2
2
𝑘
𝑘
2
𝑋 =
+
+⋯+
𝐸1
𝐸2
𝐸𝑘
で表されます。
有意水準α＝0.05とします。
独立性の検定-(5)
• 検定統計量の実現値を求めます。
•
•
•
•
これにより、
検定統計量実
数値は2.539683
となります。
独立性の検定-(6)
• 棄却or採択の決定
qchisq関数を利用することで棄却域を求める
ことができます。
棄却域は、𝑋 2 >3.841459となります。
検定統計量は2.53968なので棄却域に入らず
帰無仮説は棄却されません。
独立性の検定-(7)
• 棄却or採択の決定
P値を直接求めることも可能です。
ｐ値は0.1110171と求められ、0.05より低いの
で帰無仮説は棄却されません。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(1)
• サンプルサイズが検定結果にどのような
影響を及ぼすか考えます。
例として、A大学における世界史の履修状況
に関して文系、理系の関係を調べるため
それぞれの学生を無作為に２０名集めて、
データをとりました。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(2)
• データより文系は８割、理系は６割の学生が
履修し、一見すると文系学生に比べて
理系学生のほうが世界史を履修しなかった
傾向があるように見えますが、
「理系学生で世界史を履修しなかった人がたま
たま多く抽出されただけでは？」という反論に
対抗するため、検定します。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(3)
• この検定の帰無仮説は
「世界史の履修の有無と文系・理系の
別には連関がない」となる。
２×２クロス集計表の関する検定なので
自由度は１となり、有意水準を0.05とすると、
棄却域は𝑋 2 >3.841459と求まります。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(4)
• この結果から検定統計量の実現値が
𝑋 2 =1.9048,p値が0.1675となり、
どちらの結果からも帰無仮説は棄却されません。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(5)
• B大学では、A大学の１０倍の人数を対象にし、
同様の検定を行いました。
これより検定統計量
の実現値が
𝑋 2 =19.0476、
p値が1.275e-05
となり、この結果から
帰無仮説は
棄却されます。
サンプルサイズ検定の結果への影響-(6)
• まとめ
標本における連関の大きさが全く同じで
あっても、サンプルサイズが異なると検定の
結果が変わることがわかります。
サンプルサイズが大きくなると、検定の
結果は有意になりやすい。
さらに、このことは他の検定の方法でも
同じ性質があります。
練習問題