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離散数学
07. 木
五島
DATE
:
離散数学
木 とは
離散数学
循環 / 非循環グラフ
無向
Undirected
有向
Directed
閉路なし
非循環グラフ
Acyclic
森
forest
DAG
閉路あり
循環グラフ
Cyclic
無向循環
グラフ
有向循環
グラフ
 木 (tree)：
 連結な森，森の連結成分
 {木} ⊂ {森}
 森は木の集合
森
離散数学
循環 / 非循環グラフの例
非循環グラフ
木
木
DAG
DAG
循環グラフ
無向循環グラフ
DAG
有向循環グラフ
離散数学
根 (root)
（連結非循環グラフの）根
(root)：
 頂点を1つ選んで，
それが一番「上」にあると考え
る
どれが根？
 木（無向）：
 どの頂点も根になり得る
 根付き木 (rooted tree)
 DAG（有向）：
 根がない場合もある
根のない DAG
離散数学
木の性質
離散数学
「木」 と 木（無向非循環グラフ）
 「木」のイメージ：
 「根があって，枝分かれして，葉に至る」
 「木」＝木（無向非循環グラフ）？
 「木」 ⇒ 木（無向非循環グラフ）
どれが根？
 「木」なら，枝分かれした先で合流しない ⇒ 非循環
 木（無向非循環グラフ） ⇒ 「木」
 任意の頂点を根とみなすことができる
● 木なので，循環はない
● 連結なので，根からすべての頂点に到達可能
離散数学
木 の 性質
1. 任意の2頂点 x，y を結ぶ道はただ 1つ
2. （辺の個数） = （頂点の個数） − 1
3. （頂点数が2以上なら）少なくとも 2個の端末点がある
 端末点： 次数 1 の頂点
4. 頂点 −−，++
 −−： 頂点数 n の木から端末点を1つ除去すると，頂点数 n − 1 の木に
なる．
 ++：頂点数 n の木に，頂点1つ（とこれらを接続する辺を1つ）を加
えると，
頂点数 n + 1 の木になる．
離散数学
木 の 性質（証明 1/5）
 任意の2頂点 x，y を結ぶ道はただ 1つ
 2つあれば，閉路
離散数学
木 の 性質（証明 2/5）
 −−： 頂点数 n の木から端末点を1つ除去すると，頂点数 n − 1 の木になる．
 頂点を除去して閉路ができることはない．
 端末点なので，除去しても非連結にはならない．
離散数学
木 の 性質（証明 3/5）
 ++：頂点数 n の木に，頂点を1つと，これらを接続する辺を1つ加えると，
頂点数 n + 1 の木になる．
 頂点 1つと辺 1つを加えて閉路を作ることはできない．
離散数学
木 の 性質（証明 4/5）
 頂点数 ++ の繰り返しによって，任意の木を構築することができる．
 任意の木から，頂点数 −− を繰り返して頂点数 1 のグラフを得る．
 頂点数 ++ を −− とは逆に繰り得返して元（任意の木）に戻せる．
4
3
2
1
1
2
3
4
離散数学
木 の 性質（証明 5/5）
 （頂点数が2以上なら）少なくとも2個の端末点がある
 頂点数2 の木には，2個の端末点がある．
 頂点 ++ すると…
 端末点につなぐと，1つ減って 1つ増える．
 非端末点につなぐと，1つ増える．
 （辺の数） = （頂点の数） − 1
 頂点数2の木では，辺の数は 1，頂点の数は 2．
 頂点 ++ すると，1ずつ増える．
1
2
4
3
離散数学
木の巡回
離散数学
visit()
class Graph {
private:
/* … */
int left(int u);
int right(int u);
public:
void visit(int u);
};
void Graph::visit (int u)
{
if (left(u)) visit(left(u));
if (right(u)) visit(right(u));
}
u の左の子の頂点の番号
u の右の子の頂点の番号
visit() の宣言
u： 頂点の番号 (> 0)
u に左の子があれば，訪れる
u に右の子があれば，訪れる
離散数学
再帰呼び出しによる二分木の巡回
call
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
call
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
return
c
b
a
d
e
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
離散数学
再帰呼び出しによる二分木の巡回
call
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
return
行きがけ
c
left
b
a
right
帰りがけ
e
d
行きがけ：
call 直後
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
帰りがけ：
visit (int u)
{ return 直前
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
離散数学
巡回の順序
 木の巡回順序： 頂点の処理順序
 行きがけ順 (pre-order)
 通りがけ順 (in-order) （二分木のみ）
 帰りがけ順 (post-order)
 頂点を訪れる (visit) 順番は変わらない が，
 頂点を処理する順番が変わる
 処理： コードでは頂点番号の表示 (print)．
離散数学
二分木の巡回 (binary tree traversal)
行きがけ順 (pre-order)
通りがけ順 (in-order)
帰りがけ順 (post-order)
visit (int u)
{
print u;
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
print u;
if (right(u))
visit(right(u));
}
visit (int u)
{
if (left(u))
visit(left(u));
if (right(u))
visit(right(u));
print u;
}
c
c
c
left
b
b
d
a
d
a
> abcdefg
d
a
f
right
b
f
e
f
e
g
> cbdafeg
e
g
> cdbfgea
g
離散数学
木の巡回 (tree traversal)
行きがけ順 (pre-order)
visit (int u)
{
print u;
foreach (v in adjacent(u))
visit(v);
}
帰りがけ順 (post-order)
visit (int u)
{
foreach (v in adjacent(u))
visit(v);
print u;
}
3
2
1
4
4
5
1
2
3
9
7
6
8
9
5
8
6
7
離散数学
次回の内容
 グラフの探索
 木の巡回の先
 pre-order と post-order の理解が必要