Transcript 3．ファジー理論

5．ファジー理論
5.1 ファジー集合とは
Ｆｕｚｚｙ： はっきりしない、ぼやけた、
ぼんやりした
何らかの事象に対しての判定が
あいまいな場合に有効

高い、低い、中程度
低い
中程度
もっともらしさ
測定値
高い
（例）室内の温度と湿度による
エアコンの運転
もし温度が高く湿度が高いときは、高速運転をする。
もし温度が低く湿度が低いときは、低速運転をする。
湿度が高い（集合の境界が明確に定義できない）
湿度の変化範囲 0％～100％の中で 80％～100％
但し、境界となる湿度が正確に80%ではなく、ほぼ80％程度を示す場合
成立度(degree of membership)を示すメンバーシップ関数(Membership Function)の例
1.0
1.0
成
立
度
成
立
度
0
0
湿度
（％）
滑らかな曲線による近似
100
湿度
（％）
区分線形関数による近似
100
言葉の定義(1)
ファジー集合（Fuzzy Set）：集合の境界が明確に定義できない集合
クリスプ集合（Crisp Set）：通常の集合
ファジー集合で区分線形で表現した場合の傾きが垂直（無限大）のときに
相当する。
成立度（Degree of Membership）：
全体集合（Universe of Discourse） をXとしたとき、X上で定義されるファ
ジー集合に属する程度
シングルトン（Singleton）：
全体集合の１点を除いてメンバーシップ関数の値が０となるファジー集合
1  mA (s)  0, s  X
mA ( x)  0,
x  s, x  X
言葉の定義(2)
ファジーラベル（Fuzzy Label）：ファジー集合を表わす言葉
（例） ファジー命題「湿度が高い」→ファジーラベル「高い」
全体集合の名称「湿度」
ファジー命題（Fuzzy Proposition）：
全体集合の名称とファジーラベルで表現した命題。
ファジー命題Pを式で表現すると、
P : x is A
ここで、x : 全体集合の名前、A :ファジーラベル
5.2 ファジー集合の演算
(1) 全体集合が同一の場合
和集合
A∪B⇔ｍA∪B（x）＝ｍA（x）∨ｍB（x）， ∀x∈X
∨ ：２つの値のうち大きい方の値をとる演算子
積集合
A∩B⇔ｍA∩B（x）＝ｍA（x）∧ｍB（x）， ∀x∈X
∧ ：２つの値のうち小さい方の値をとる演算子
補集合
Aｃ⇔ｍAｃ（x）＝１－ｍA（x）， ∀x∈X
全体集合が同じ場合の演算イメージ
和集合
中
高
積集合
1.0
中
高
1.0
成
立
度
成
立
度
0
0
湿度
（％）
湿度
（％）
100
補集合
中
高
1.0
成
立
度
0
湿度
100
100
(2) 全体集合が異なる場合
和集合
A∪B⇔ｍA∪B（x, y）＝ｍA（x）∨ｍB（y）,
∀x∈X, ∀y∈Y
∨ ：２つの値のうち大きい方の値をとる演算子
積集合
A∩B⇔ｍA∩B（x, y）＝ｍA（x）∧ｍB（y）,
∀x∈X, ∀y∈Y
∧ ：２つの値のうち小さい方の値をとる演算子
全体集合が異なる場合の和集合イメージ
Aのメンバーシップ関数
Bのメンバーシップ関数
1.0
1.0
成
立
度
成
立
度
0
0
1.0
x
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1.0
y
0.9-1
0.8-0.9
0.7-0.8
0.6-0.7
0.5-0.6
0.4-0.5
0.3-0.4
0.2-0.3
0.1-0.2
0-0.1
y=0.5のとき
1.0
成 y=0.5
立
度
0
x
1.0
全体集合が異なる場合の積集合イメージ
Aのメンバーシップ関数
Bのメンバーシップ関数
1.0
1.0
成
立
度
成
立
度
0
0
1.0
x
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.95-1.05
0.85-0.95
0.75-0.85
0.65-0.75
0.55-0.65
0.45-0.55
0.35-0.45
0.25-0.35
0.15-0.25
0.05-0.15
-0.05-0.05
1.0
y
y=0.5のとき
1.0
成
立
度
y=0.5
0
x
1.0
全体集合が異なる場合の
演算の二次元的イメージ
y
D
y
D
C∩D
C
x
C∪D
C
x
述語修飾（やや、とても、でない）
X is A
X is M A
１
ややA
述語修飾の例
M : とても A ＝ A2
やや A ＝ A１／２
ｎｏｔ
A ＝ １－A
A
とてもA
x
5.3 ファジー推論
(1) マムダニ(Mamdani）の方法
If 前件部(Premise Part) then 後件部（Consequent Part)
If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim then y is Bi,
i = 1, …, U


m

mB' ( y)    mAij ( x j )  mA'ij ( x j )   mBi ( y)
i 1  j 1

U
但し、ファジーシステムに対する入力はクリスプな値であるから入力値はシ
ングルトンである。
1, xi  ai
mA'i ( y)  
0, xi  ai , xi  X
(1) 前件部に対しては、Min演算を行ったあと、Max演算を行う。
↓
Max-Min合成
(2) 後件部のファジー集合B’からクリスプな値を求める。
↓
重心（Center of gravity）法
n

y
m

Y
mB' ( y) ydy
Y
B'
( y)dy

離散形では y 
m
i 1
n
B'
m
i 1
(ci )ci
B'
(ci )
マムダニの方法のイメージ
b1
Min
a1
温度(℃）
湿度(％）
重心
高速運転
Max
Min
a2
推論出力
b2
温度(℃）
湿度(％）
温度入力
湿度入力
低速運転
If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim then y is Bi,
i = 1, …, U


m

mB' ( y)    mAij ( x j )  mA'ij ( x j )   mBi ( y)
i 1  j 1

U
但し、ファジーシステムに対する入力はクリスプな値であるから
入力値はシングルトンである。
xi  ai
xi  ai , xi  X
1,
mA'i ( y)  
0,


m

mB' ( y)    mAij (a j )   mBi ( y)
i 1  j 1

U
クリスプな値を求めるために、
重心（Center of Gravity)法を使用
m ( y) ydy

yˆ 
 m ( y)dy
B'
Y
Y
B'
出力ｙがｎ個の区間に分割され、区間Iの中央値をｃiとして、離
散形で近似すると
n
yˆ 
m
i 1
n
B'
m
i 1
(ci )ci
B'
(ci )
(2) ワング(Wang)とメンデル（Mendel）の方法
成立度mRi（a）として、最小値でなく積をとる
後件部Biがｎ個の区間に分割されたｔ（i）番目の区間に対応す
るものとして、区間Iの中央値をｃｔ(i)とすると
n
yˆ 
m
Ri
i 1
(ct (i ) )ct (i )
n
m
i 1
Ri
(ct (i ) )
積と最小値
（いずれのｘiも増加すると値は増加する傾向にある）
最小値
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
積
5.4 ファジー制御の例
以下の例は、「ファジィ制御」菅野道夫著（日刊工業新聞社）からの引用である。
（目標線に沿って直進する：簡単のため、速度は一定とする）
Φ
： ハンドルの向き
Θ
： 車の向き
ｄ
： 目標線と車の中心線までの距離
Θ
ファジールール
If d = Left
and Θ= Middle
Then
Φ=Right
If d = Right
and Θ= Middle
Then
Φ=Left
If Θ = Left
Then
Φ=Right
If Θ = Right
Then
Φ=Left
ルールとメンバーシップ関数
Ｌｅｆｔ
Middle
Right
Θ ｉｓ
Ｒ１：ｄ ｉｓ
－２０
０
２０ｃｍ
Φ ｉｓ
－90°
Right
０
90°
２０ｃｍ
30°
Φ ｉｓ
Θ ｉｓ
０
０
Left
Middle
Ｒ２：ｄ ｉｓ
－２０
－30°
－90°
０
－30°
90°
Ｌｅｆｔ
０
30°
Right
Φ ｉｓ
Ｒ３：Θ ｉｓ
－90°
０
90°
－30°
０
30°
Left
Right
Φ ｉｓ
Ｒ４：Θ ｉｓ
－90°
０
90°
－30°
０
30°
採用した推論方法




前件部は最小値をとる
後件部は、Ｌｅｆｔ，Ｒｉｇｈｔ毎の最大値をとる
Ｌｅｆｔ、Ｒｉｇｈｔ毎のハンドルの向き（Φ）を計算
近似的にＬｅｆｔで得られたΦとＲｉｇｈｔで得られたΦの平均
値を求める。
シミュレーションによる評価


Ｌｔ＝Ｌｔ－１＋Ｖ・Ｓｉｎ（Θｔ－１）・Δｔ
Θｔ＝Θｔ－１＋Φｔ－１
シミュレーションの結果
初期値 Ｌｔ０＝１０ｃｍ, Θ０＝－１０°,Δｔ＝０．１秒, 速度Ｖ＝２ｃｍ/秒
-30
中心軸からの距離
-25
-20
中心軸との角度
-15
ハンドルの向き
-10
-5
0
0
5
10
15
1
2
3
4
5
6
(3) 高木（Takagi）と菅野（Sugeno）の方法
後件が入力変数の線形和で表現されるものとする
Ri : If x1 is Ai1 and x2 is Ai2 … xm is Aim
then y = Pi0 + Pi1 x1 + …+Pim xm , i = 1 , …, U
前件部はマムダニの方法と同じ
m
mRi (a)   mAij (a j )
j 1
yi = Pi0 + Pi1 a1 + …+Pim am
n
yˆ 
m
i 1
n
Ri
m
( yi ) yi
Ri
( yi )
i 1
特徴： 入出力データがあれば最小自乗法によりPijを求めることができる
演習 目標速度に近づける
あらかじめ設定された目標速度で運転するためのファジールールを考
案せよ。速度は、中速、低速、高速の3区間別に区切られていることを
前提とし、最初は停止しているものとする。
（１） 簡単のため路線は直線であり、傾斜がなく、路面摩擦係数および
空気抵抗係数も一定とする。
（２） 路面摩擦および空気抵抗は速度のみに比例するものとし、次の
式が成り立つものとして、適当なプログラミング言語や表計算等
を用いてシミュレーションし、考案したファジールールが適切であ
ることを確認すること。但し、路面摩擦係数、空気抵抗係数は、次
のようにまとめてシミュレーションして良い。
Ｖｔ＝Ｖｔ－１＋（Ａｔ－１ ー C・Ｖｔ－１）・Δｔ
Ａｔ－１ ： アクセルまたはブレーキによる加速度
Ｃ
： 路面摩擦係数および空気抵抗係数をまとめた値
レポートに記述する内容
１．学籍番号、氏名
２．本レポート課題名
３．ファジールール
４．各メンバーシップ関数
５．推論方法
６．シミュレーション方法とシミュレーションに用いたツール
７．シミュレーションの前提とした各定数値と初期値
８．シミュレーション結果（ハードコピーでよい）
９．プログラム言語を用いた場合はソースリスト、表計算等
を用いた場合は、ワークシートのハードコピー
シミュレーション結果のヒント
速度
100
目標速度
Accelerator
Brake
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13