Transcript 講義資料(7/1修正版) - 京都大学 大学院経済学研究科・経済学部

経済原論IA 第12回
「ミクロ経済学で使う最適化理論(I)」
京都大学経済学部
依田高典
1
45分で学ぶ
中級ミクロ経済学で最低限必要な数学
2
1. 変化率
Definition
y
x

:
f (x  x)  f (x)
x
Example :
if
then
y  x
y
x
2
( x  x )  x
2

x
2

2 x x  ( x )
x
2
 2 x  x
3
2. 微分
Definition
dy
:
 f ' ( x )  lim
dx
f (x  x)  f (x)
x  0
x
Example :
if
then
y  x
dy
2
 lim
dx
x  0
2 x  x  2 x,
2
similarly
d y
dx
2
2
4
3. 凹関数、凸関数
Definition:
f”(x)<0 → 凹関数
f”(x)>0 → 凸関数
Example:
if 需要関数：P=1-q, then 総収入TR=q-q2;
we see凹.
∵dTR/dq=1-2q, d2TR/dq2=-2
5
4. 導関数の規則
(1)
if
y  f ( x )  a,
(2)
if
y  f (x)  x ,
then
f ' ( x )  ax
(3)
if
y  f (x)  a ,
then
f ' ( x )  a ln a
(4 )
if
y  f (x)  e ,
then
f '(x)  e
(5)
if
y  f ( x )  ln[ g( x )],
(6)
if
y  f ( x )  ln x,
(7)
if
y  f ( x )  g( x )  h ( x ),
then
f ' ( x )  g' ( x )  h ' ( x )
(8)
if
y  f ( x )  g( x )  h ( x ),
then
f ' ( x )  g' ( x ) h ( x )  g( x )h ' ( x )
(9)
if
then
a
x
x
f '( x)  0
x
then
then
y  f ( x )  g( x ) / h ( x ),
a 1
x
f ' ( x )  g' ( x ) / g( x )
f '( x)  1/ x
then
f '(x ) 
g' ( x ) h ( x )  g( x )h ' ( x )
[h ( x )]
(10 )
if
y  g(z),
z  h ( x ),
then
2
dy / dx  (dy / dz )( dz / dx )
6
5. 弾力性
Definition
dy / y
dx / x
given

:
x dy
y dx
that
x
df ( x )
f (x)
dx

x 
1
d ln x / dx

d ln f ( x )
d ln x
,
1
df ( x )
f (x)
dx

d ln f ( x )
dx
7
6. 偏微分
Definition
:
y  f ( x1, x 2 )
 f ( x1, x 2 )
 x1
 f 1  lim
f ( x   x1, x 2 )  f ( x1, x 2 )
 x1 0
 x1
Example :
if
then
P  f (q1 ,q 2 )  10  (q1  q 2 )
f 1   P /  q1  1,
similarly
f 2   P /  q 2  1
8
7. 2階偏微分
Definition
:
 f (x)
2
f1 j 
 x 1 x j

 f ( x )
 x j  x1
Example :
if
then
f ( x 1 , x 2 )  10  x 1  x 1 x 2
2
f1   2 x 1  x 2 ,
furthermore
f 11  2,
f 2   x1
f 12  f 21   1,
f 22  0
9
8. 全微分
Definition
:
dy  f 1 dx 1  f 2 dx 2
Example :
if
then
P  f (q1 ,q 2 )  10  (q1  q 2 )
dP   dq 1  dq 2
10
9. y=f(x)の最大・最小
1階の条件：
2階の条件：
f’(x*)=0
f”(x*)<0 → x*は極大点
f”(x*)>0 → x*は極小点
Example：
需要関数P=1-q、限界費用c
利潤関数Π(q)=(1-q)q-cq
Π’(q)=0 → q*=(1-c)/2
Π”(q)=-2 → q*は最大値
11
10. y=f(x1,x2)の最大・最小
1階の条件：
2階の条件：
f1(x*)=0, f2(x*)=0
省略(行列の知識が必要)
Example：
需要関数P=10-(q1+q2)、限界費用c
企業1利潤関数Π1(q1)=(10-(q1+q2))q1-cq1
∂Π1 /∂q1=0 → q1*=(10-c- q2)/2
12
11. 包絡線定理
関数y=f(x,a)をF(a)=f(x(a),a)とおく
x0=x(a0)として
dF(a)/da=[∂f(x,a0)/∂x][dx(a)/da]+[∂f(x,a0)/∂a]
x(a)は任意のaに対してf(x,a)を最大にするaで
あるので∂f(x,a)/∂x=0となり
dF(a)/da= ∂f(x,a0)/∂a
13
12. 制約条件付最大化
Definition
:
s.t .
g( x 1 , x 2 )  k
Max
f ( x1, x 2 )
Max
L ( x 1 , x 2 ,  )  f ( x 1 , x 2 )   [ g( x 1 , x 2 )  k ]
FOC :
 L /  x 1  f 1   g1  0
 L / x 2  f 2   g 2  0
 L /   k  g ( x 1 , x 2 )  0
14
13. ラグランジュ乗数法の計算例
市場1需要P1=36-Q1、市場2需要P2=24-Q2
限界費用ゼロ、固定費用416
総収入=総費用の制約下、社会厚生を最大化
∂U1/∂Q1= P1=36-Q1、 ∂U2 /∂Q2 = P2=24-Q2
MAX L≡U1+ U2 +λ[P1Q1+ P2Q2-416]
FOC ∂L/∂Q1=0, ∂L/∂Q2=0, ∂L/∂λ=0,
以上よりQ1*=24, Q2*=16
15
中級ミクロ経済学で
覚えていた方が便利な需要と供給の性質
16


14. 効用関数と需要関数
(1)効用最大化問題：予算制約の下で、効用を最大化する消費量を選ぶ
n
Max
x1,
,x n
U (x)
s.t .
p
i
xi  Y
(2)間接効用関数：価格ベクトルと所得の関数として得られる最大効用
i 1
n
V ( p1 ,
, p n ,Y )  Max
x1,
,x n
U (x)
(3)間接効用関数の性質
s.t .
p
i
xi  Y
i 1
• p1,…, pnに関して非増加
• Yに関して非減少
•  (p1,…, pn,Y)に関して0次同次
• p1,…, pnに関して準凹
• (p1,…, pn,Y)に関して連続
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(4)マーシャル需要関数：価格ベクトルと所得の関数として得られる第i財の
最適消費量は、ー間接効用関数の価格偏微分／間接効用関数の所得偏微
分で与えられる。(ロワの恒等式と呼ばれる)。
, p n ,Y )  
x i ( p1 ,
 V ( p1 ,
, p n ,Y )
 V ( p1 ,
pi
, p n ,Y )
Y
(5)支出関数：価格ベクトルのもとで一定の効用水準を得るのに必要な最小支
出額

, p n ,U )  Min
E ( p1 ,
x1 ,
,x n
p1 x 1 
 pn x n
,xn)  U
s.t . U ( x 1 ,
(6)ヒックス需要関数：価格ベクトルのもとで一定の効用水準を得るのに必要
な支出額最小化を達成する最適消費量。

, p n ,U )  x i ( p1 ,
h i ( p1 ,
, p n , E ( p1 ,
, p n ,U ))
(7)スルツキー方程式

 x i ( p1 ,
, p n ,Y )
p j

 h i ( p1 ,
, p n ,U )
p j
 x j ( p1 ,
, p n ,Y )
 x i ( p1 ,
Y
, p n ,Y )
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
15. 生産関数と利潤関数
(1)費用最小化問題：技術制約の下で、費用を最小化する生産量を選ぶ
n
, w n , y )  Min
C ( w 1,
x1,
(2)費用関数の性質
•
•
•
•
,x n
w
i
xi
s.t . f ( x 1 ,
, xn)  y
i 1
w1,…, wnに関して非減少
w1,…, wnに関して1次同次
w1,…, wnに関して凹
w1,…, wnに関して連続
(3)制約付要素需要関数：
要素価格と生産水準の関数である費用を最小

化する要素投入量は、費用関数の要素価格による偏微分で表される。(シェ
パードの補題と呼ばれる)。
 C ( w 1,
,wn, y)
w i
 x i ( w 1,
,wn, y)
19


(4)利潤最大化問題：技術制約の下で、利潤を最大化する生産量を選ぶ
 ( p, w 1 ,
, w n )  Max
y
py  C ( w 1 ,
,wn, y)
(2)利潤関数の性質
•
•
•
•
pに関して増加
(p,w1,…, wn)に関して1次同次
(p,w1,…, wn)に関して凸
(p,w1,…, wn)に関して連続
(3)ホテリングの補題
  ( p, w 1 ,

,wn )
 y ( p, w 1 ,
,wn )
  x i ( p, w 1 ,
p
  ( p, w 1 ,
w i
,wn )
,wn )
20