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離散数学
2. 関係
五島 正裕
離散数学
関係
 関係: いくつかのものごとの間に成り立つか否かを云々
 対象とするものごとの集合の直積集合の部分集合として定義
離散数学
二項関係 (binary relation)
 集合 X, Y の要素 x, y について，関係 R ⊂ X × Y が成り立つ
 x R y ⇔ (x, y) ∈ R
 例)
 X = {0, 1, 2, 3, 4}
 Y = {2, 3, 5, 7, 11}
 x R y = 「x は y より 2 小さい」
 R = {(0, 2), (1, 3), (3, 5)}
 X = Y の場合, R を「X の上の関係」という
離散数学
多項間の関係
 集合 X1, X2, ..., Xn について，x1, x2, ... , xn の間に
関係 R ⊂ X1× X2 × ... × Xn が成り立つ
 R(x1, x2, ... , xn) ⇔ (x1, x2, ... , xn) ∈ R
離散数学
同値関係
離散数学
同値関係 (equivalence relation)
 反射的 (reflexive)
xRx
 対称的 (symmetric)
xRy ⇒ yRx
 推移的 (transitive)
x R y and y R z ⇒ x R z
 例)
 x = y
 複素数の実部が同じ, 虚部が同じ, 原点からの距離が同じ, ...
 同じ国の国民 (二重国籍がなければ)
離散数学
同値関係の写像
 X から Y への写像 f : X → Y があるとき
 x R y ⇔ f (x) = f (y)
 と定義すると，R は同値関係になる.
 例）
 f (x) = x mod 7
離散数学
同値類 (equivalence class)
 R[x] = { y | x R y } ⊂ X
 x : 代表元 (representative)
 x R y ⇒ R[x] = R[y]
 ⇒ 同値類は代表元の選び方によらない
 異なる同値類は共通要素を持たない
 例）
 偶数
 奇数
 7 で割った余りが同じ
離散数学
類別 と 商集合
 類別 (classification)：元の集合 X をその同値類の直和に分割すること
 X1 ∪ X2 ∪ … ∪ Xn = X
 i ≠ j ならば Xi ∩ Xj = φ
 商集合 (quotient set)：類別の結果得られる部分集合の集合
 X/R = {X1, X2, … , Xn}
離散数学
同値関係の強弱
 X の上のふたつの同値関係 R1, R2 について
 R1 は R2 より強い ⇔ R1 ⊂ R2 (より細かく類別)
 R1 は R2 より弱い ⇔ R1 ⊃ R2 (より粗く類別)
 例） modulo 21 の類別は, modulo 7 の類別より細かい
離散数学
順序関係
離散数学
順序関係 (order relation)
 反射的
xRx
 反対称的
x R y and y R x ⇒ x = y
 推移的
x R y and y R z ⇒ x R z
 例)
 数の大小関係
 集合の包含関係
 ≦ で表すこともある
離散数学
全順序
 全順序 (total order), 線型順序 (linear order)
 すべての x, y ∈ X について x ≦ y または y ≦ x
 例)
 数の大小関係
離散数学
半順序
 半順序 (partial order)
 全順序ではない一般の順序
 半順序集合 (partially ordered set,
po-set)
 例）
{a, b, c}
{a, b}
{c, a}
{b, c}
{a}
{b}
{c}
 集合 A = {a, b, c} の巾集合 2A
の要素の包含関係
{}
離散数学
擬順序 (pseudo-order)
 反射的, 推移的だが反対称的でないもの
 x R y かつ y R x かつ x ≠ y なる x, y が存在
 例）
 x – y 平面上の点の原点からの距離
離散数学
ハッセ (線) 図 (Hasse’s diagram)
ｂ
a
c
e
d
 DAG (Directed Acyclic Graph)
f
g
X
h
k
j
i
 平面グラフとは限らない ― 例: 3
次元立方体
m
l
n
o
 推移律からわかる余分なarcの除
去
p
離散数学
 極大元，極小元
 上 界，下 界
 最大元，最小元
 上 限，下 限
離散数学
極大元／極小元
 極大元 (maximal element)／極小元 (minimal element)
 x ∈ X に対し, x ≦ y かつ x ≠ y という y ∈ X が存在しないとき，
x を X の極大元という
離散数学
上界／下界
 上界 (upper bound)／下界 (lower bound)
 半順序 ≦ が定義されている集合 S の部分集合 X で、
任意の x ∈ X に対し x ≦ a であるような a ∈ S があるとき
 X は上に有界
 a を X の上界という
 例）
 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } の部分集合 {1, 2, 4} の上界は 4, 5, 6
 (π, ∞) は下に有界, 上に有界でない
離散数学
最大元／最小元
 最大元 (maximum)／最小元 (minimum)
 上界／下界 a が X に属するとき，a を最大限／最小限という
 max(X)／min(X)
 例)
 [0, π] の最大元は π
 (0, π) には π は属さないので，最大元はない
 集合全体の最大元／最小元 (あれば)
 T: トップ ／ ⊥: ボトム
離散数学
上限／下限
 上限（supremum, minimum upper bound ：最小上界）
 下限（infimum, maximum lower bound ：最大下界）
 部分集合 X の上界／下界の集合の最小元／最大元を，上限／下限という
 sup(X), inf(X)
 例）
 (0, π) の上限は π
 上限, 下限は存在するとは限らない
離散数学
実数
極小元
極大元
最小元
最大元
下限
上限
[0, 1]
下界
上界
下限
上限
(0, 1)
下界
上界
離散数学
例題
ｂ
a
c
e
d
f
 極大元、極小元
g
X
h
 部分集合 X の
k
上
m
l
n
o
p
界、下 界
 最大元、最小元
j
i
上
限、下 限
をすべて挙げよ
離散数学
答え
 極大元：d, g；極小元：i, j
 上界：b；下界： m, o, p
ｂ
a
c
 X のどの要素 x についても
x≦b
e
d
 X のどの要素 x についても
f
g
X
k
m ≦ x, o ≦ x, p ≦ x
 最大元 ：なし；最小元：なし
h
j
i
 上界，下界はいずれも X の元
ではない
m
l
n
o
p
 上限：b；下限：m
 上界の集合 {b} の最小限は b
 下界の集合 {m, o, p} の最大元
はm
離散数学
例題 2
ｂ
a
c
e
d
f
 極大元、極小元
g
X
h
 部分集合 X の
k
上
m
l
n
o
p
界、下 界
 最大元、最小元
j
i
上
限、下 限
をすべて挙げよ