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離散数学
06. グラフ 序論
五島
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離散数学
グラフとは
 絵で書けばこういうもの
 頂点（vertex, node）の集合 と，
 辺（edge, arc） の集合
 ただし，幾何的な情報：
 点の位置，
 線分の長さや，
 そもそも線分であることなど
は重要ではない
 2点間に「関係がある」という情報だけが重要
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どんな問題を考えるか?
 ありとあらゆる無数の問題
 最短路
 全域木，最小木
 最大流れ
 最小カット
 マッチング
 彩色
 最長路
 巡回
 平衡分割
 同型判定
 埋め込み判定
 etc.
離散数学
グラフと現実はどのように対応しているか
 様々な問題がグラフ上の問題としてモデル化，定式化される
離散数学
「わかりやすい」例
 交通網
 分子構造
 頂点： 都市や駅
 頂点： 原子
 辺 ： 道路や路線
 辺 ： 結合
 コンピュータ・ネットワーク
 履修ガイド
 頂点： 端末やスイッチ
 頂点： 科目
 辺 ： ケーブル
 辺 ： 科目間の依存関係
 WWW
 人間関係 (social network)
 頂点： ページ
 頂点： 人間，
 辺 ： リンク
 辺 ： 関係（知人，etc.）
 ディジタル回路
 頂点： 論理素子
 辺 ： 配線
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少し自明でない例 (1/2)
 地図
 頂点： 国や地域
 辺 ： 隣接関係
 迷路
 頂点： 交差点
 辺 ： 隣の交差点
 機械語プログラム（コントロール・フロー・グラフ）
 頂点：
命令
辺 ：
「次の命令」
 非分岐命令： その直後の命令

分岐命令： そのターゲット
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少し自明でない例 (2/2)
 ゲームetc.の状態遷移
 頂点：
状態
辺
1手で移れる状態の対
：
 時刻（分刻み）を考慮した乗り換え案内
 頂点：
(時刻, 駅)
辺
可能な移動（または移動しない）手段
：
 (t, A)  (t + 1, A) ： A 駅で 1分 待つ
 (t, A)  (t', B)
： 時刻 t にA 駅，t' にB 駅を通る電車がある
 文書クラスタリング
 頂点：
文書
辺
文書の対がどのくらい似ているか？
：
離散数学
グラフの用語
離散数学
数学的定義
 グラフ G = V, E
 V : 頂点の集合
 E : 辺の集合
 E  V  V ：頂点間の関係
 よく使われる記号
 頂点： u, v, i, j, a, b, ...
 辺 ：
e, (u, v), u  v, ...
 右のグラフ G = V, E
e1
 V = {a, b, c, d}
 E = {e1, e2} = {(a, b), (b, c)}
d
a
b
e2
G
c
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有向 / 無向 グラフ
 有向（ゆうこう，directed）グラフ
 (a, b) と (b, a) を区別する
 a→b
 無向（むこう，undirected）グラフ
 (a, b) と (b, a) を区別しない
無向グラフ
有向グラフ
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次数
 次数 (degree)
 ある頂点につながっている辺の数
 入次数 と 出次数（有向グラフの場合）
 k-正則グラフ
 すべての頂点の次数が k
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重み
 重み無し (unweighted) グラフ
 辺があるかないか
 重みつき (weighted) グラフ
 辺があるかないか ＋
 辺に数値を付加
 「重み」，「コスト」
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部分グラフ (subgraph)
 G' = V', E' と G = V, E に対し，V' ⊆ V かつ E' ⊆ E
 G ： G' の親グラフ，拡大グラフ (supergraph?)
 G' ： G の部分グラフ (subgraph)
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道 (1/2)
 道 (path)
u1
u3
 隣接する頂点の系列（からなる部分グラフ）
 表記：
 u1  u2  ...  un
 u1 * un （推移的閉包の記号）
 u1 から un へ到達可能 (reachable)：
 u1 から un への道が存在する
u2
un−1
un
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道 (2/2)
 単純路 (simple path)
u3
u2
 同じ頂点を2度含まない道
u1
 閉路 (closed path)，ループ (loop)
単純路ではない道
 始点と終点が一致する道
(u1 = un)
u3
 単純閉路 (simple closed path,
simple loop)
 同じ頂点を2度含まない閉路
（始点と終点以外）
u2
u1
単純閉路ではない閉路
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連結
 連結 (connected)（無向グラフの場合）
強連結
 「全体がひとつにつながっている」
 任意の2頂点間に道が存在する
 有向グラフの場合：
 連結 (connected)
 辺の向きを無視して，任意の2頂点間に道
● 無向グラフが連結
 強連結 (strongly connected)
 辺の向きも考えて，任意の2頂点間に道
連結だが強連結でない
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連結成分
 （強）連結成分：
 あるグラフの部分グラフで，（強）連結かつ極大なもの．
 （強）連結で極大：
 それ以上頂点を加えると（強）連結でなくなる
 （有向グラフの）強連結成分の言い換え：
 ある頂点 u に対して，
 u 自身と
 u * v と v * u がともに存在するような v のすべて
を頂点とする部分グラフ
 「行って帰ってこれる頂点全部」
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循環 / 非循環グラフ
無向
Undirected
有向
Directed
閉路なし
非循環グラフ
Acyclic
森
forest
DAG
閉路あり
循環グラフ
Cyclic
無向循環
グラフ
有向循環
グラフ
 木 (tree)：
 森のうち，連結であるもの
 木⊆森
 森の各連結成分は木
 森は木の集合
森
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根 (root)
 （連結非循環グラフの）根
(root)：
 頂点を1つ選んで，
それが一番「上」にあると考え
る
どれが根？
 木（無向）：
 どの頂点も根になり得る
 根付き木 (rooted tree)
 DAG（有向）：
 根がない場合もある
根のない DAG
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循環 / 非循環グラフの例
非循環グラフ
循環グラフ
木
木
無向循環グラフ
DAG
DAG
DAG
有向循環グラフ
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疎と密
 疎 (sparse) なグラフ
 辺の数が少ない
 通常，頂点数 n に対して O(n)，O(n log n)
 密 (dense) なグラフ
 辺の数が多い
 完全グラフ (complete graph)
 すべての頂点間を結ぶ辺が存在するグラフ (E = V  V)
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グラフの操作
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グラフに対する基本的な操作
 操作
 adjacents(u) :
 頂点 u に隣接する頂点を（すべて）列挙する
 (u, v)  E :
 2頂点 u, v 間に辺が存在するかどうかを調べる
またはその重みを得る
 これらの操作が，少ないメモリで効率的に行えることが目標
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グラフ表現に用いるデータ構造
 典型的なデータ構造
 行列表現（密なグラフ用）
 リスト表現（疎なグラフ用）
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密なグラフ用の表現（2次元行列）
 頂点の集合 V = { 0, 1, ..., n – 1 } とする
 辺の情報を2次元行列 M[i, j] (0  i < n, 0  j < n) に格納
 重みなしグラフ
 M[i, j] = 1 iff (i, j)  E
 M[i, j] = 0 iff (i, j)  E
 重みつきグラフ
 M[i, j] が辺 (i, j) の重み
● 「重み 0」と「辺がない」の区別に注意
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行列による表現
0
0
2
0
7
1
1
3
6
5
2
3
1
1
4
5
6
7
1
1
2
1
3
1
4
4
1
1
1
空欄は0
1
1
5
1
1
1
6
1
7
1
1
1
1
1
1
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疎なグラフ用の表現（リスト）
 各頂点 i に対し，その隣接頂点の集合を格納
 「0 にメモリを使わない」
 辺の数に比例したメモリしか使わない
 疎な行列に向いている
 「隣接頂点の集合」の実現
 配列，リンクリスト，平衡木，ハッシュ表
 ただし，疎行列（次数が定数かせいぜい log n）が前提であれば
 配列・リンクリストで十分
離散数学
リストによる表現
0
2
7
1
3
4
6
5
0
1
1
0
2
2
1
3
3
1
4
4
3
5
5
4
6
6
3
5
7
3
6
3
5
7
6
7
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オブジェクトとポインタによる表現
 頂点：任意のオブジェクト (Java, C++) や構造体 (C)
 辺 ：ポインタ（参照）
Java:
class node {
...
node[] adjacents;
}
C++:
class node {
...
int n_adjacents;
node *adjacents[];
}
C++/Javaオブジェクト，
C 構造体 etc.
C/C++ ポインタ，
Java オブジェクト参照
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利害得失
メモリ消費量
(i, j)  E
adjacents(i)
行列表現
O(n2)
O(1)
O(n)
リスト表
現
O(n + m)
O(d) または O(log d)
O(d)
 ただし：
 頂点数 n, 辺の数 m とする
 次数の最大値を d とする
 オブジェクト＋ポインタを用いた表現はリストに準ずる
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グラフアルゴリズム計算量のパラメータ
 通常，
 n: 頂点数
 m: 辺の数 (m  n2)
の関数として計算量を評価する
nとm
 n のみで表す
 m  n2 なので n, m の関数は n だけの関数として上から押さえられ
る
 n と m で表す
 とくに，疎なグラフ（m << n2）に対して効率の良いアルゴリズム
● 例：O(n + m) は，疎なグラフに対しては O(n2) よりも優れている
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グラフ・アルゴリズム計算量のパラメータ
 そのほかの有用なパラメータ
 最大次数
 グラフの直径（単純な道の最大長）
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これから議論する問題とアルゴリズム
 易しい（多項式時間アルゴリズムが存在する）問題
 問題とアルゴリズム
 頂点の探索とその応用
 最短路(shortest path)
 全域木，最小木 (minimum spanning tree; MST)
 最大流と最小カット (max flow/min cut)
 難しい（計算困難な）問題
 有名な問題の紹介
 同型判定
 彩色
 クリーク（完全部分グラフ）の発見
 平衡分割