Transcript 反対称律

トーナメント戦における強弱関係
C
C
A
F
C
F
G
A B C D E F G H
規則
1. xがyに勝った
⇒ xはyより強い
反対称律
2. xがyに勝った かつ
yがzに勝った
⇒ xはzより強い
推移律
結論
・Cが一番強い
・2番目に強いのは
FかAかD（比較不能）
反対称律
対偶
関係グラフにおいて
相異なる要素間には高々一方向にしか辺がない
関係グラフとハッセ図
a
・反射的関係のループを除く
f
b
e
c
d
関係グラフ
・推移的に得られる関係の
有向辺を除く
xRz zRy なる
z があれば
xRyの有向辺を除く
・上位の要素を上に配置し
辺の向きをなくす
関係グラフとハッセ図
a
・反射的関係のループを除く
f
b
e
c
d
関係グラフ
・推移的に得られる関係の
有向辺を除く
xRz zRy なる
z があれば
xRyの有向辺を除く
・上位の要素を上に配置し
辺の向きをなくす
約数関係
12
8
6
2
3
1
集合の包含関係
{a,b,c}
{a,b}
{b,c}
{a,c}
{a}
{b}
{c}
φ
上限と下限
順序集合(X; ≦) において
 極大元： 自分より大きい（上位の）要素を持たない元
有限集合中に1個以上存在
 最大元： 唯一の極大元（もしあれば）
max(X)
極小元、最小元( min（X) )も同様に定義する
順序集合(X; ≦)と、その部分集合Aにおいて
 Aの上界
Upper(A)={x | x∈X, すべてのa∈Aに対しa≦x}
 Aの上限 sup(A)=min(Upper(A))
下界、下限( inf(A) )も同様に定義する
極大元
最大元
例
a
Aの上界
c
b
A
e
d
f
Aの最小上界
（上限）
g
極小元
Aの下限
Aの下界 h
最小元なし