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保険研究特論（保険数理）
アクチュアリー数学（第８回）
純保険料と営業保険料
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年６月５日
大塚忠義
1
用語の確認(1)
自然保険料
被保険者の年間の保険事故発生率（死
亡率）を純保険料とする保険料計算方式
またはその保険料の額＝保険期間１年
の更新権付定期保険の保険料
・毎年保険料率が変化する
・高年齢者の保険料が上昇する
平準払保険料
分割払保険料の額を同額にする保険
料計算方式またはその保険料の額
2
自然保険料
P  qx
年齢によって発生率が異なる生命保険に
おける概念⇔損害保険では通常の発想
１年満期、一時払にの適用
ユニバーサル保険、変額保険などで活用
される
3
一時払保険料
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
4
用語の確認(2)
全期払保険料
保険料払込期間を保険期間と同一とす
る：保険期間にわたり保険料を払い込む
短期払保険料
保険期間の前半の一定期間を保険料払
込期間とする：保険料を保険料払込期間
に支払い、以後払い込む必要のない
終身保険、年金保険、介護保険で多く採
用される
5
平準分割年払保険料(1)
終身保険全期払
Px ax  Ax
Ax M x
Px 

ax N x
終身保険短期払
Px ax:m  Ax
Ax
Mx
Px 

ax:m N x  N x  m
6
平準分割年払保険料(2)
定期保険全期払
Px ax:n  Ax1:n
Px 
Ax1:n
ax:n
M x  M xn

N x  N xn
養老保険全期払
Px ax:n  Ax:n
Px 
Ax:n
ax:n
M x  M x  n  Dx  n

N x  N xn
7
基数(1)
Dx  v lx
x
Nx 
Sx 
  x 1

t 0
Dx t
  x 1

t 0
N x t
Dx  n
v n px 
Dx
n
8
年金
  x 1
ax 

t
v
t
px 
t0
n 1
a x :n 
v
t
t
px 
Nx
Dx
N x  N xn
Dx
t0
  x 1
( Ia x ) 

( t  1) v
t
t
px 
t0
n 1
( Ia x :n ) 
 ( t  1) v
t0
t
t
px 
Sx
Dx
S x  S x  n  nN x  n
Dx
9
年k回分割生命年金(1)
根本的な矛盾
期間１年未満の死亡率
⇔x歳の死亡率とは、x歳の誕生日からｘ+１
歳の誕生日の前日までに死亡する割合
実務での必要性：保険料月払
月払、週払保険料は比較的新しい概念
かつ営業上の理由
1848年プルデンシャル生命(UK)、1916年
簡易保険：労働者階級の加入促進
10
年k回分割生命年金(2)
事実：人は一様に生まれ、冬に多く死ぬ
仮定１：死亡は誕生日からの１年間に一様
に発生する
0  t 1
l x  t  l x  td x  (1  t ) l x  tl x  1
t
q x  tq x
死亡者数を線形補間
簡易な計算式で示すことができる
11
年k回分割生命年金(3)
仮定2：死力は１年間一定である
 xt   x
t
t
p x  exp(   
lxt  lxe
0
  xt
xs
 (l x )
ds )  e
1 t
( l x 1 )
  xt
 ( px )
t
t
死亡者数を対数線形補間
仮定１よりは、論理的かな？
連続空間上で定義可能
12
年k回分割生命年金(4)
a x :n
(k )
(1  v
k
1
k
ax
(k )
ax
(k )
a x :n

1
1
k
 a x a x :1
(k )
ax 
px    v
n
1
k
n
1
k
px ) 
1
k
nk  1

t0
t
vk
t
px
k
(k )
k 1
2k
a x :n 
k 1
2k
(1  v
n
n
px )
13
連続年金(1)
連続年金：年ｋ回分割年金の極限の場合
k  
a x :n  lim a x :n
k
a x :n  a x :n 
ax  ax 
1
2
(k )
 lim a x :n
k
(1  v
n
n
(k )


n
v
0
t
t
p x dt
px )
1
2
14
連続年金(2)
n
ax:n   v t px dt
t
0
t
v e
t
 t

0
e
  ds
t
 x s ds

0
p

e
t x

ax:n  
n
0
t
(   x s ) ds

e 0
dt

死力と利力は
生命年金現価
に同程度の影
響を与えてい
る
利率0.1％
死亡率1‰
15
基数(2)
Cx  v
Mx 
Rx 
1
x
2
dx
  x 1
C
t 0
x t
  x 1
M
t 0
x t
16
即時払生命保険
Mx
Ax 
Dx
1
x:n
M x  M xn

Dx
1
x:n
Dx  n

Dx
A
A
Ax:n  A
1
x:n
A
1
x:n
17
月払保険料
Px a
(12)
x:m
 Ax
Ax
Px  (12)
ax:m
現在の一般的な保険料計算の実務は、月
払基準で行われている
18
逓増定期保険
定期保険
ただし、保険金が毎年５％単利逓増
Dx 1
(12)
1
Px ax:n  Ax:n  0.05( IA) x 1:n
Dx
( IA) x 1:n
Rx 1  Rx  n  (n  1) M x  n

Dx 1
19
保険料逓増定期保険
定期保険
ただし、保険料が毎年５％単利逓増
n 1
Px (a
(12)
x:n
 0.05 a
t 1
(12)
x t:n t
Dx t
1
)  Ax:n
Dx
20
収入保障保険
被保険者の死亡後、満期まで年金を支払
う（確定）
ただし、最低１０年間の年金支払を保証
n 1
Px a
(12)
x:n
  (an t
t 0
Cx t
 a10 )
Dx
21
年金保険(1)
１０年保証期間付終身年金
積立期間ｍ年
D xm
一時払
P  F
月払
P a x :m  F
Dx
(12 )
F  a1 0 
D xm
Dx
10
a 65
保険料払込期間中の保障は？
22
年金保険(2)
死亡保障：
一時払：年金原資(F)相当額
分割払：F×ｔ÷ｍ
F
P
( M x  M x  m  Dx  m )
Dx
Pa
(12)
x:m
Dx  m 1
 F(
 ( IA) x:m )
Dx
m
23
年金保険(4)
保険料をもっと安くするために分割払いの
死亡保障をさらに下げる
既払込保険料の返還
Pa
(12)
x:m
P(a
Dx  m
F
 6.5P ( IA) x:m
Dx
(12)
x:m
Dx  m
 6.5( IA) x:m )  F
Dx
12
 P  6.5P


1
24
年金保険(5)
1．保険料積立期間と年金支払期間の予
定死亡率は同じでいいか？
２．予定利率の設定はどのような観点から
考えるべきか？
25
特別条件付契約(1)
危険の程度が標準より高い人が加入する
際に通常の契約に条件を付して公平性の
順守を測る
危険が高い：体況が悪い、危険職種
保険金削減法
年増法
特別保険料徴収法
短期特別保険料徴収法
26
特別条件付契約(2)
特別保険料徴収法、短期特別保険料徴
収法およびこれらと保険金削減法の併用
のみが死亡率に増加を保険料率に反映し
ている
特P  P  P
P : q  (1   )qとして算出した保険料
：超過死亡指数
27
用語の確認
・純保険料：保障の対価として必要な保
険料
・営業保険料：契約者が実際に支払う保
険料
・付加保険料：保険業務の維持・管理に
充てる保険料：事業費相当分とされるが
それだけとは限らない。付加は上乗せと
いう意味合い
営業保険料＝純保険料＋付加保険料
28
付加保険料
営業保険料＝純保険料＋付加保険料
Px  Px  c
Px  (1  k ) Px
29
付加保険料体系
α-β-γ方式：日本の多くの保険会社が
採用している方式
名称
記号
発生時期
対象
予定新契約費
α
新契約時
保険金比例
予定集金費
β
保険料払込期間
保険料比例
予定維持費
γ
保険料払込期間
保険金比例
払済後予定維持費
γ'
保険料払込満了後、一時払
保険金比例
30
付加保険料例
１９９５年の国内生保の標準的な付加保
険料率
名称
記号
水準
対象
予定新契約費
α
対千 ２５円
保険金比例
予定集金費
β
３％
保険料比例
予定維持費
γ
対千 ２．４０円
保険金比例
払済後予定維持費
γ'
対千 １．００円
保険金比例
現在（２００６年以後）は予定事業費率は
認可事項でなくなった：標準は存在しな
い：公表されない
31
営業保険料
Pxa x:m  Ax     Pxa x:m   a x:m   (ax  ax:m )
Px 
Ax     a x:m   (ax  ax:m )
(12)

Px

(1   )a x:m
Ax     a x:m   (ax  ax:m )
(12)
12(1   )a (12)
x:m
(12)

Px
 Ax     ax
32
予定事業費(1)
予定新契約費：新契約の獲得に要
する費用：代理店手数料、営業職
員の報酬、営業拠点の経費、診査
費用、新契約事務コスト、広告宣伝
費⇒多くは新契約時に使用するコ
スト
33
予定事業費(2)
予定維持費・予定集金費：保険契
約の維持管理に要する費用：人件
費、物件費、保険料収納にかかる
諸費用
34
予定事業費(3)
新契約費:多くは契約締結時に使用
する：契約時に全額使用する構造
になっている
募集手数料体系との整合性
手数料は、例えば
死亡S対万：１５円
35
予定事業費(4)
維持費・集金費：今ではこのような区分
けは現実的ではない：どちらも契約の
維持管理コスト
かっては担当者が個別に訪問して保険
料を集金した（集金手数料の発生）
払込満了後、一時払の維持費は、払込
中の半分程度：集金費ゼロ
36
予定事業費(5)
営業保険料の水準と新契約費（＝募集
手数料）の水準は不可分
死亡率、利率は適正水準が分かりやす
い
事業費、特に新契約費は保険会社の
恣意による部分が大きい
規制当局、消費者団体が気にする点
37
予定事業費(6)
視点は、
１．付加率（＝予定事業費/営業保険
料）：どの程度が適正か？20, 50%?
2. 保険種類間、年齢・期間のバランス
3. 支出構造との整合性
4. 予定事業費収入と支出事業費の関
係：支出＜収入？
38
その他の付加保険料
ポリシー・フィー
保険契約１件当たりのコスト
Px(12) 
(ax  ax:m )
Ax     a (12)


x:m
12(1   )a x:m
(12)

ε：１０００円
高額契約に有利で、小口に不利
日本では高額割引のほうが多く用いら
れている
39
その他の付加保険料
ポリシー・フィー
保険契約１件当たりのコスト：事業費支
出との対応関係は良い
維持費の支出構造は、保険料や保険
金に比例するものは多くない
トランザクションコスト：１件当たりXX円
40
その他の付加保険料
団体保険、共済
Px  (1  k ) Px
Simple is best
41
新契約費の留意点
１．手数料水準との関係
新契約の大きさと対象
S建て：若年齢中心の販売、死亡保障
重視
P建て：高年齢を対象の販売
募集組織への動機づけ
２．解約返戻金との関係
42
Question?
お疲れ様でした
43