3.多変数の関数と偏微分
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多変数の関数と偏微分
多変数の関数
• Rnの実関数
n個の実数x1,..., xnが決まると一つの実数が決まる
f(x1,..., xn)
• 経済学の例
りんごの需要がりんごの価格pだけでなく、みかん
の価格qと所得Yに依存する・・ D(p,q,Y)
財がたくさんあって、各価格がp1,..., pn,所得がYのと
き、各財の需要はD1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn (p1,...,
pn,Y )
RnからRmへの関数(写像)
• Rnの実関数をm個並べる
nの実数x1,..., xnが決まるとm個の実数が決まる
f1 (x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)
2変数の関数の図示
• 2変数のときは、等高線や等圧線を描くこと
ができる。
一般的にはレベル曲線
経済学では無差別曲線
f x, y xy x
のレベル曲線
レベル集合
2次元では x, y : f x, y a
無差別曲線の上の部分
一般的には
x ,..., x : f x ,..., x a
x : f x a
1
n
1
n
準凹関数
• レベル集合が凸集合
Aが 凸集合
x, y A, 0,1 x 1 y A
凸集合
凸集合でない
多変量の関数の例
• 線形関数
f x1 ,..., xn a1 x1 ... an xn
• アフィン関数(一次関数)
f x1 ,..., xn a1x1 ... an xn b
• 線形代数で扱う
Cobb Douglas関数
f x1 ,..., xn Ax1 ..., xn , A, 1,..., n 0
1
n
対数を取る
ln f x1 ,..., xn ln A 1 ln x1 ... n ln xn
対数が線形
Cobb Douglas生産関数
F K , L AK L
K : 資本、L : 資本
単位の取り方でA=1に標準化できる
F K , L K L
1
1
F 2K , 2L 2K
2L
2F K , L
1
2 2
1
K L
1
資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2倍
一次同次関数と0次同次関数
f ax1 ,..., axn af x1 ,..., xn , a 0
一次同次関数
f ax1,..., axn ak f x1,..., xn , a 0
k次同次関数
f ax1 ,..., axn f x1,..., xn , a 0
0次同次関数
一次同次の生産関数
• F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)
• 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分
の1にでもできる
• 規模に対して、収穫一定(constant return to
scale)
需要関数の0次同次性
D1 p1 ,..., pn , Y ,..., Dn p1 ,..., pn , Y
各財の需要関数
• すべての財の価格と所得が2倍になっても経
済状態は変わらない→各財の需要は変化し
ない
Di ap1,..., apn , aY Di p1,..., pn ,Y
効用関数の序数性
• 序数的・・・どちらがいいかのみ意味がある
• 基数的・・・大きさ自体に意味がある。
序数的なら
f x1 ,..., xn , f y1 ,..., yn の比較と
ln f x1 ,..., xn ,ln f y1,..., yn の比較は同等
より一般的に
f x1,..., xn , f y1,..., yn : は厳密に増加的
の比較は同等
Cobb-Douglas 効用関数と対数
線形効用関数の同値性
ln A ln x .... ln x
ln f x1 ,..., xn ln Ax11 ..., xn n
n
1
1
n
ln A 1 ln x1 .... n ln xn
対数線形のほうが使いやすい
レベル集合の不変性
gが厳密に増加的
x ,..., x f x ,..., x A
1
n
1
n
x ,..., x g f x ,..., x g A
1
n
1
n
レベル曲線・無差別曲線も変化しない
CES関数
F K , L K 1 L
1
Cobb Douglasの一般化
1次同次
F aK , aL aK 1 aL
a K 1 a L
a
a K 1 L
1
1
1
K 1 L
1
1
a K 1 L
1
F K , L K 1 L
1
1 K 1 L K 1 L
1
1
1
1
線形
0 K 1 L
1
K L1
コッブ・ダグラス
ロピタル・ルールを用いる
ロピタル・ルール
lim x a f x lim x a g x 0, g ' a 0
lim x a
f x
g x
f 'a
g 'a
Y K 1 L
1
対数を取る
ln Y
ln K 1 L
分母と分子を で微分し、を入れる
0
d
ln K 1 L
d
1
0
K ln K 1 L ln L
ln K ln L1 ln K L1
d
d
K 1
L
d
d
K 1 L 0
0
ln K 1 ln L
0
補足
d
K K ln K
d
f x a の微分
x
対数を取る
ln f x ln a x x ln a
微分
f ' x
ln a
f x
f ' x f x ln a a ln a
x
レオンチェフ形
K 1 L
1
min K , L
L
L K 1, K L
K
K 1 L
K 1
K 1 K
K 1
1
1
1
s s
s K
同様にL K K 1 L
1
L
1
各型のレベル曲線(等量曲線)
-∞< σ <1
σ=-∞
σ=1
CESは、Constant Elasticity of Substitutionで、代替の弾力性が一定の意味
偏微分(Partial derivative)
• 多変数の関数で、他の変数を定数として、一
つの変数のみについて、微分する
• dのかわりに∂を 使う
f x1 ,..., xn
xi
lim 0
f x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn f x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn
f x1 ,..., xn
xi
lim 0
f x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn f x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn
• 極限は上から取っても下から取っても一致
• そうでないときは、偏微分できない(偏微分不
可能である )
f x1 ,..., xn
xi
fi x1 ,..., xn
関数としては偏導関数
一次近似
• 一方向
f x1 ,.., xi 1 , xi , xi 1 ,., x n f x1 ,.., x i 1 , x i , x i 1 ,., x n
Ґ
f x1 ,..., x n
xi
f x1 ,..., x n
xi
x x
i
i
: f x ,..., x を
1
xi
n
x1 ,..., xn x1 ,..., x n で評価
一次近似
• すべての方向
f x1 ,..., xn f x1 ,..., x n
Ґ
f x1 ,..., x n
x1
x x ....
1
1
f x1 ,..., x n
xn
x
n
• 略して全微分表現
df x1 ,..., xn
f x1 ,..., x n
x1
df f1dx1 .... f n dxn
dx .... f x ,..., x dx
1
1
xn
n
n
xn
一次近似が成立しない例
x
f x, y y
0
y0
x0
x 0, y 0
0,0で評価するとf x x, y f y x, y 1
x yは両軸以外では、f x, y 0
のいい近似ではない
全微分(可能)
• すべての方向でいい近似
0, 0,
x1 x1
2
... xn x n
2
f x1 ,..., xn f x1 ,..., x n
f x1 ,..., x n
x1
x x ....
1
1
x x ... x
1
1
n
xn
f x1 ,..., x n
xn
2
2
まえの例では、
x y 0, x y とすると x x y y
0 0 x y
x y
2
2
2
2は、 が小さくなっても小さくならない
xn x n
2 なら
比較静学
• 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決
まっているとき、その未知数以外の方程式の
変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がど
んなふうにちょっと変化するかを考える問題
• 全微分(一次近似)して、連立方程式を解く
•
例 生産関数
F K , L 生産関数
K
資本の投入
L
労働の投入
F K , L
K
F K , L
限界生産物
資本の限界生産物
労働の限界生産物
L
一単位投入を増やしたとき産出がどれ
だけ増えるか
FK K , L , FL K , L
FK , FL
独立変数を省略
生産関数の全微分
Y F K , L 資本の限界生産物
両辺を全微分
dY FK dK FL dL
変化率と弾力性による表現
dY FK dK FL dL
両辺をY=Fで割る
dY KFK dK LFL dL
Y
F K
F L
dY dK dL 変化率
,
,
Y K L
時間についての変化率と似て
いるが違う
変化率と弾力性による表現(2)
dY KFK dK LFL dL
Y
F K
F L
F
KFK
F
K
F
K
変化率を変化率で割ったもの
弾力性・・
生産の資本に対する弾力性
変化率と弾力性による表現(3)
dY KFK dK LFL dL
Y
F K
F L
KFK
LFL
K ,
K
F
F
dY ˆ dK
dL
Y,
K,
L
Y
K
L
Rochester ハット
Yˆ K Kˆ L Lˆ
慣れれば本能的に瞬時に出る
Cobb-Douglousのケース
1
Y K L
x
' x
1
Y
1 1 Y
K L
1 K L ,
K
L
dY FK dK FL dL
K
L dK 1 K L dL
1 1
Yˆ Kˆ 1 Lˆ
偏微分の積の公式
• 以下では、微分可能性などは仮定
f x, y g x, y
x
f x, y
g x, y
g x, y
f x, y
x
x
f x x, y g x , y g x x , y f x , y
2変数
f x1 ,..., xn g x1 ,..., xn
xi
f x1 ,..., xn
g x1 ,..., xn
g x1 ,..., xn
f x1 ,..., xn
xi
xi
f i x1 ,..., xn g x1 ,..., xn g i x1 ,..., xn f x1 ,..., xn
多変数
合成関数微分の公式
(チェイン・ルール)
• パスを全部通す
• dと∂のどちらを使うかは、文脈による
チェイン・ルールの例1
f x, y でxの値がt , uに依存しg t , u となる
f g t , u , y
t
f g t , u , y g t , u
x
f x g t, u , y
t
g t , u
t
f x g t , u , y gt t , u
f1 g t , u , y g1 t , u
f1 x, y g1 t , u
f1 g1
チェイン・ルールの例2
f x, y でxの値がt , uに依存しg t , u となる
f g t , u , y
u
f g t , u , y g t , u
x
u
g t , u
f x g t, u , y
u
f x g t , u , y gu t , u
f x x, y g u t , u
f1 g 2
パスを全部通す例
f x, y でxの値がt , uに依存しg t , u
yの値がt , uに依存しh t , u となる
f g t , u , h t , u
t
f g t , u , h t , u g t , u
x
t
f g t , u , h t , u h t , u
y
t
g t , u
h t , u
f x g t, u , h t, u
f y g t , u , h t , u
t
t
f x g t , u , h t , u g t t , u f y g t , u , h t , u ht t , u
f1 g t , u , h t , u g1 t , u f 2 g t , u , h t , u h1 t , u
f1 x, y g1 t , u f 2 x, y h1 t , u
f1 g1 f 2 h1
上の例の導出
f g t , u0 , h t , u0 f g t 0 , u 0 , h t 0 , u 0
f g t , u0 , h t , u 0 f g t 0 , u 0 , h t , u 0
f g t 0 , u0 , h t , u 0 f g t 0 , u 0 , h t 0 , u 0
f g t , u0 , h t , u 0 f g t 0 , u 0 , h t , u 0
g t , u0 g t 0 , u 0
g t , u g t , u
0
f g t 0 , u0 , h t , u0 f g t 0 , u 0 , h t 0 , u 0
h t , u0 h t 0 , u 0
0
0
h t , u h t , u
0
0
0
t t0で割りt t0
f g t , u , h t , u
t
f g t , u , h t , u g t , u
x
t
f g t , u , h t , u h t , u
x
t
f x, y でxの値がtのみに依存しg t
yの値もtのみに依存しh t のとき
df g t , h t
dt
f g t , h t
x
f1 g ' f 2h '
g 't
f g t , h t
y
h 't
tが時間のとき
f f1 g f 2 h
微分方程式でよく使う
例2Cobb Douglas 生産関数の時間微分
1
Y K L
Cobb Douglas生産関数
KとLで微分
Y
1 1
K L
K
Y
1 K L
L
KとLともに時間の関数だとする
Y t K t L t
tで微分
1
Y
Y
Y 't
K ' t
L ' t
K
L
K 1 L1 K ' t 1 K L L ' t
Y
Y
Y 't
K ' t
L ' t
K
L
K 1 L1 K ' t 1 K L L ' t
Y K 1L1 K 1 K L L
Y
Y
両辺をY K L1 で割る
1 1
K L K 1 K L L
Y
Y
K 1 L1 K 1 K L L
1
K L
K L1
K
L
1
K
L
Y
K
L
1
Y
K
L
Y K L
, . 生産、資本、労働の成長率
Y K L
1
Y K L
両辺の対数を取る
ln Y ln K L1
ln xy ln x ln y, ln x
ln x
ln Y ln K 1 ln L
d ln Y d ln Y dY d ln x 1
,
,
dt
dY dt
dt
x
d ln Y d ln Y dY 1
Y
K
L
Y 1
dt
dY dt Y
Y
K
L
数IIIを少しやっていると見た瞬間にわかる
一般の生産関数
dY KFK dK LFL dL
Y
F K
F L
Yˆ K Kˆ L Lˆ
とパラレルに
Y
K
L
K L
Y
K
L
例3 オイラーの法則
f ax1 ,..., axn a f x1 ,..., xn
k
f x1 ,..., xn がk次同次
xiで微分
afi ax1 ,..., axn a k f i x1 ,..., xn
fi ax1 ,..., axn a k 1 fi x1 ,..., xn
偏導関数はk 1次同次
f ax1 ,..., axn a f x1 ,..., xn
k
aで微分
n
x f ax1 ,..., axn ka
i 1 i i
k 1
f x1 ,..., xn
a 1で評価
n
x f x1,..., xn kf x1,..., xn
i 1 i i
オイラー法則
x
f
x
,...,
x
kf
x
,...,
x
i
i
1
n
1
n
i 1
n
一次同次
0次同次
x
f
x
,...,
x
f
x
,...,
x
i
i
1
n
1
n
i 1
n
x
f
x
,...,
x
0
i
i
1
n
i 1
n
例 一次同次生産関数
n
x f x1,..., xn f x1,..., xn
i 1 i i
F K , L
F K , L
K
K
F K , L
L
L
F K , L F K , L
,
資本と労働の限界生産物
K
L
これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃
金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総
賃金で払いつくされ、超過利潤はない