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社会福祉調査論 第9講 母集団の推計 １２月１４日 社会福祉調査論 第9講 【目標】 • 統計の散らばりを表す指標とそれを物差しと した散らばり具合について学びます。 • 標本のデータから母集団の比率や平均を推 計することを学びます(区間推計)。 【構成】 Ⅰ．散らばり １．標準偏差 ２．標本分布 Ⅱ．母集団の推測 １．母集団の比率 ２．母集団の平均値 ３．標本誤差 Ⅰ．散らばり ◎範囲 • • たまたまの最大・最小の幅 分布の型(パターン)が分らない ⇒ ちらばりの程度を知りたい １．標準偏差 • 偏差の絶対値の平均 通常利用しない 各データと平均との差 Ｘi－ｍ 偏差 標準偏差 • 偏差平方＝偏差×偏差 • 偏差平方和＝偏差平方の合計 ↓ • 分散＝偏差平方和/個数 （偏差平方の平均) • 標準偏差＝分散の平方根 σ シグマ • σ以内の乖離 普通 中位2/3程度 • σ以上の乖離 いい、悪い 上位あるいは下位 1/6(16％)程度 • ２σ以上の乖離 極めて上位あるいは下位 1/40(2.5％)程度 ◎変動係数 • 標準偏差を平均で割った値 ν(ヌー)＝σ／μ 多様な変数の物差し(尺度)の違いを超えて、 ちらばり度合を見る ◎標準化 • 平均を引き標準偏差で割る 平均=0、標準偏差=1 物差しをずらし、拡大(縮小)する ２．標本分布 一様分布 同様の可能性で(一様に)でる サイコロ 1,2,3,4,5,6 Excel =RAND( ) 0～１ 二項分布 • 二種類のみの結果がでる実験を何回か行う (試行) →ベルヌーイ試行 コイントスの表・裏、サイコロで奇数・偶数、 サイコロで２以下・３以上、 紅白玉の抜出しで紅・白 • この試行を何度も行った場合の特定の結果の 度数の分布 →二項分布 • ツリー図から確率を考える 試行毎に枝分かれするツリーを描く 確率の検討は、根元事象を数え上げることが基本。 • 各枝端に達する確率は p^i*q^(n-i) • 順列組合せから同じ結果の枝を数える 正規分布 • 二項分布で実験回数を増やした場合 離散的分布→連続的分布 • 試行回数を増やすと円滑な曲線が見えてくる • Ｎ（平均，分散） Ｎ（μ，σ2) • Ｎ（0,1）の数表 Ｚテーブル 一定の範囲の結果が起こる確率を求める 現在は、Excelで直接求める -∞～Ｘi の確率 NORMDIST(ｘ,平均,標準偏差,1) 正規分布の利用例 • 試験の成績 受験者数 1,000人 平均点 50点 標準偏差 10点 あなたの成績 70点 あなたの凡その順位は？ • • • • 偏差 70-20 標準偏差の2倍 2σ 2σ～∞の確率 2.3％ あなたの順位 1,000×0.023 23番目 よく使う偏差と確率 • -σ～+σ 68.3％ • -2σ～+2σ 95.45％ 右外側2.3％ • -1.96σ～+1.96σ 95.0％ 両外側5％ • -1.645σ～+1.645σ 90.0％ Ⅱ．母集団の推測 １．母集団の比率の区間推計 ①標本の抽出（試行） • 特定の事象が特定の確率で出現する抽出を 一定回数繰り返す試行（二項分布の試行） （大きな袋の中に紅白の玉があり、それを取り 出し、白となる場合などを考える） ②散らばりの尺度 • それぞれ標本を何個か抽出する試行での標 本の白となる比率には、試行によって散らば りがある。 ③抽出回数を増やした試行での 比率の変化 • 標本個数が多くなるほど、各試行での白の比 率を描いたグラフは尖がっていく。 つまり、散らばりが少なくなっていく（全体を１ とした図で見ること）。 • ちなみに、この比率の分布は、正規分布とな る。 ④正規分布の形 • 他方、正規分布の標準偏差と各試行の生起 確率の関係は、 ±σの幅の中に68％入る。 ±1.96*σの幅の 中に95％入る。 ⑤抽出調査の結果としての比率 • 母集団（元の集団）の比率は分からないが、 仮に比率Ｐiとして、 抽出調査で比率Ｐとなる確率piは、二項分布で 求められる。 ⑥母集団でのいろいろな比率の可能 性から真の比率の推測 • 標本調査で比率がＰとなる場合の母集団で のいろいろな比率Ｐiに対する確率pｉが分かる とすれば、 母集団の真の比率がＰiである可能性はpiで最 も高いと考えることが妥当であろう。 ⑦母集団比率とし妥当な推測した場 合の確率分布 • こうした前提で、母集団の真の比率Ｐoを推測 すると • 標本調査の比率Ｐに対して（以下ｐと記述）、 • 平均ｐ、標準偏差√(p*(1-p)/n)の正規分布が 想定される。 ただし、nは標本数。 ⑧比率の区間推計 • 以上の結果として、母集団での比率は、次の とおり推測される。 • p±√(p*(1-p)/n)の幅の中に68％入る • p±1.96√(p*(1-p)/n)の幅の中に95％入る ２．母集団の平均値 ①標本の抽出 • 無作為に一定数の標本を抽出し、その測定 を行う。 （例えば、大学生の身長を測定する場合など を考える。） ②散らばりの尺度 • 一定の標本数の測定を繰り返した場合、それ ぞれの平均値には散らばりがある。 ③抽出数を増やした場合の平均の変化 • 抽出数が多くなるほど、各平均値の分布を描 いたグラフは尖がっていく。 つまり、散らばりが少なくなっていく。 • ちなみに、この平均値の分布は、正規分布と なる。 ④正規分布の形 • 他方、正規分布の標準偏差と各平均値との 関係は、 ±σの幅の中に68％入る。 ±1.96*σの幅の 中に95％入る。 ⑤標本測定の平均値と 母集団の平均値の関係 • 母集団（元の集団）の平均値は分からないが、 仮に平均値Ｍiとして、 抽出調査での平均値Ｍiとなる確率miは、上述 のとおり正規分布となる。 ⑥母集団でのいろいろな平均値Ｍiの 可能性から真の平均値の推測 • 標本調査で平均値がＭとなる場合の • 母集団でのいろいろな平均値Ｍiに対する確 率mｉが分かるとすれば、 • 母集団の真の平均値がＭiである可能性はmi で最も高いと考えることが妥当であろう。 ⑦母集団の平均値として妥当なＭを 推測した場合の確率分布 • こうした前提で、母集団の真の平均値Ｍを推 測すると 標本調査の平均値Ｍに対して（以下mと記述）、 平均m、標準偏差σ/√(n)の正規分布が想定さ れる。 ただし、σは標本調査の標準偏差を援用する。 nは標本数。 ⑧平均値の区間推計 • 以上の結果として、母集団の平均値は、次の とおり推測される。 m±σ/√(n)の幅の中に68％入る。 m±1.96*σ/√(n)の幅の中に95％入る。 標本数が少ない場合 • 標本数が少ない(概ね30以下の)場合、正規 分布でなくｔ分布を使う。 • →上記⑧でのσの係数(1あるいは1.96)に替え て、標本数と有意水準に対応する値を使う。 分母はn-1を使うこと。 ３．標本誤差 • 標本誤差 母集団推計での平均の標準偏差 • 標本誤差の許容範囲から必要標本数が決め られる。 所持金 (万円) 時間末レポート 右 表 の 値 の 標 準 偏 差 を 求 め な さ い。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 3 7 5 6 8 4 2 6 4 時間末レポート １．比率の区間推計 紅白の玉が入った袋から玉をとりだす。 標本数300個、白の比率25％の場合 袋の中の白の比率を95％の確かさで求めなさい。 ２．平均の区間推計 成人男性の身長を測る。 標本数400人、平均175.0cm、標準偏差5.0cmの場合 成人男性の平均身長を95％の確かさで求めなさい。