ロボティクスーその来し方行く末
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Transcript ロボティクスーその来し方行く末
知能システム論1(4)
運動学(Kinematics)
2008.5.13
講義内容
1.はじめに
2.ベクトルの基礎、応用(回転)
3.運動学(Kinematics)
4.動力学(Dynamics)
5.行列の演算と応用(Matrix)
6.軌道計算(Trajectory)
7.ロボットの制御(Control)
8.応用(Application)
回転変換行列の性質
軸まわりに 回転したときの
j
回転変換行列を表す記号:
j
E
a)交換則成り立たない
E k ( E j v ) E j ( E k v )
b)同一軸周りの回転:交換則
E k ( E k v) E k ( E k v ) E k ( )v
c)行列式
| E k | det( E k ) 1
d)逆行列
k 1
(E ) E
e)内積
k ( )
k T
(E )
Ev Ew v w
f)外積
Ev Ew Ev w
1
0
v 0 , w 1 ,n
0
0
練習問題
z
n
w
x
v
Θ=60度、
としたとき
E n v E n w E n (v w)
y
v
1
3
1
,
3
1
3
であることを示せ。
1 0 0
v w 0 1 0
0 0 1
2/3
E n v 2 / 3
1 / 3
1 / 3
E n 2 / 3
2 / 3
E n
2 / 3 1/ 3 2 / 3
2 / 3 2 / 3 1 / 3
1 / 3 2 / 3 2 / 3
2/3
E n v w 1 / 3
2 / 3
4 2
9 2/3
1 4
n
n
E vE w
1 / 3
9 2/3
4 2
9
ロボットマニピュレータの運動学(Kinematics)
ロボットの自由度(関節)の動きを表す変数と、ロボットを
構成するリンクの位置姿勢、またはそれらの変化速度、
加速度間の関係式を求める。
自由度変数ー>リンクの位置姿勢
順運動学 (Forward Kinematics)
リンクの位置姿勢ー>自由度変数
逆運動学 (Inverse Kinematics)
講義では基準座標系からみた3次元ベクトルによる
表現を基本とする。
リンクの姿勢を表す座標系(ベクトルの組)
各リンクに固定した直交する単位ベクトル:Xi,Yi,Ziを
導入する。
xix
xi xiy ,
xiz
yix
yi yiy ,
yiz
zix
zi ziy
ziz
θ3
リンク3
Y3
Z3
リンク2
X3
θ2
Z2
Y0
Y1
sin 1
X1
θ1
cos1
X2
X0
X0
Y2
Z0,Z1 リンク1
Y1
θ1
図1
X1
Y0
ベクトルの回転
n
v3
Vをn軸まわりに回転
v v1l v2m v3n
v v1l v2m v3n
l
v
v2
v1
m
l,m,nのn軸まわりの回転
l cos l sin m
m sin l cos m
n
n n
cos
l m n l m n sin
0
sin
cos
0
0
0
1
l
cos
l
n
m
sin
m
l x
l m n l y
l z
mx
my
mz
l cos l sin m
nx cos
n y sin
nz 0
sin
cos
0
0 l x cos mx sin ・ ・
0 l y cos m y sin ・ ・
1 l z cos mz sin ・ ・
cos nx2 (1 cos )
l nx n y (1 cos ) nz sin
nz nx (1 cos ) n y sin
nx n y (1 cos ) nz sin
cos n y2 (1 cos )
nx n y (1 cos ) nx sin
nz nx (1 cos ) n y sin l x
nx n y (1 cos ) nx sin l y
cos nz2 (1 cos ) l z
l x cos l x nx2 (1 cos ) l y nx n y (1 cos ) l y nz sin l z nz nx (1 cos ) l z n y sin
(1 cos )nx (l x nx l y n y l z nz ) sin (l y nz l z n y ) cos l x
l n 0
sin (l z n y l y nz ) cos l x sin mx cos l x
sin (l x nz l z nx ) cos l y sin m y cos l y cos l sin m
sin (l y nx l x n y ) cos l z sin mz cos l z
l n m
姿勢の算出
x1 cos1 x0 sin 1 y0
y1 sin 1 x0 cos yo
A1
x1
y1
z1 x0
y0
z1 z0
x2 c2 x1 s2 z1
y2 y1
x2
z2 s2 x1 c2 z1
y2
z2 x1
y1
x3 c3 x2 s3 z2
y3 y 2
x3
z3 s3 x2 c3 z2
x3
y3
z3 x0
y0
z0 A1 A2 A3
y3
xi
z3 x2
yi
y2
zi x0
c1 s1 0
z0 s1 c1 0
0 1
0
A2
c2
z1 0
s2
0 s2
1 0
0 c2
A3 c3
0 s3
1 0
0 c3
z2 0
s3
y0
z0 A1 Ai
練習問題
先のロボットマニピュレータにおいて
Θ1=90度、θ2=45度、θ3=45度としたときの
Xi,Yi,Zi (i=1,2,3)を求めよ。
0 1 0
x1
x2
x3
y3
y1
y2
z1 x0
z2 x1
z3 x2
y2
y1
y0
0 1 0
z0 1 0 0
0 0 1
1
2
z1 0
1
2
1
2
z2 0
1
2
0
1
0
0
1
0
2
0
1
2
1
2
0
1
2
1
x2
y2
z2 1
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0
x3 y3 z3 1
2
1
2
0 1 0
0
0 1
1 0 0
1
2
0 0
1 1
2
0
0
2
0
1
2
1
0
1
0
0
1
2
1
2
1
0
0
0 1 2
1 0
2
1 1 2
2
0
1
0
2
0
1
2
1
リンクの位置を表すベクトル
各リンクに固定した座標系の原点の位置を表すベク
トル:Piを導入する。
θ3
P3
P1 0
P 2 P1 l1 z1
P3 P2 l2 z2
リンク3
リンク2
l3
l2
P
θ2
Z2
P2
P P3 l3 z3
X2
図2
X0
l1
Y2
Z0,Z1 リンク1
Y1
P1
θ1
X1
Y0
練習問題
先のロボットマニピュレータにおいて
Θ1=90度、θ2=45度、θ3=45度としたときの
Pi(i=1,2,3),Pを求めよ。
P1 0
0
0
l
0
2
P P3 l3 z3 P3 l3 l3
2
P2 l1 z1 0
0
l
l1 2
l1
0
2
l2
0
2 l2
P3 P2 l2 z2 P2
2
l
2
l
2 l1 2
2
演習問題
A4の用紙に書いて5月27日までに提出のこと
先のロボットマニピュレータにおいて
Pi(i=1,2,3),Pを与える漸化式を展開し、それらを
θ1、θ2、θ3の関数として表せ。
リンクの姿勢の一般形
各リンクへの座標系の設定法:
・各自由度の回転軸が座標系の
X,Y,Z軸のどれかに一致し、
θ3
θi=0 (i=1~n)のときすべての
座標系が一致するように設定
X3
・各自由度の回転軸を
リンク3
座標系のZ軸に一致する
Y3
ように設定
・各自由度の回転軸が
座標系のX,Y,Z軸のどれかに一致するよ
う設定
第iリンクに固定した座標系Xi,Yi,Ziの
θi=0のときの値を、Xi’,Yi’,Zi’とすると、
[Xi’,Yi’,Zi’] = [Xi-1,Yi-1,Zi-1]
とは必ずしもならない。
Z3
リンク2
θ2
X2
Y2
X0
θ1
Z2
Z0,Z1 リンク1
Y1
Y0
xi1
yi1
zi1 xi 1
yi 1
bxx
zi 1 bxy
bxz
byx
byy
byz
xi 1
Bi 1
xi yi
xi 1
xn
zi xi1
yi 1
yn
yi1
zi 1 Bi 1 Ai
bzx
bzy
bzz
zi 1
bxz
'
i 1
x
bxy
zi1 Ai
bxx
xi1 bxx xi 1 bxy yi 1 bxz zi 1
zn B0 A1 Bi 1 Ai Bn1 An
前頁の例の場合、
yi 1
x3
y3
0 1 0
z3 A1 0 0 1 A2 A3
1 0 0
リンクの位置の一般形
リンクiから見て、座標系i+1の原点が lix , liy , liz
ずれているとすると各位置ベクトルは次の
θ3
漸化式で求められる。
P3
リンク3
リンク2
l3
P1 0
l2
P
Z2
P 2 P1 l1 x x1 l1 y y1 l1z z1
P3 P2 l2 x x2 l2 y y2 l2 z z2
P P3 l3 x x3 l3 y y3 l3 z z3
θ2
P2
l1
Y2
Z0,Z1 リンク1
X2
X0
θ1
P1
X1
Y1
Y0