Transcript Evaluation of Israel-Stewart parameters in lattice gauge theory

Evaluation of Israel-Stewart parameters
in lattice gauge theory
KEK理論センター研究会
『原子核・ハドロン物理』
Aug 11-13, 2009
Yasuhiro Kohno
(Osaka University)
M. Asakawa1, M. Kitazawa1, C. Nonaka2, S. Pratt3
1Osaka Univ. 2Nagoya Univ. 3Michigan State Univ.
Contents
1. Introduction
2. Strategy
3. Numerical Results
4. Summary
Contents
1. Introduction
2. Strategy
3. Numerical Results
4. Summary
 クォーク・ハドロンの世界
クォーク・グルーオン・プラズマ（QGP）の
物性・時空発展および非平衡現象
 重イオン衝突実験＠RHIC
RHIC Scientists Serve Up “Perfect” Liquid
New state of matter more remarkable than predicted
-- raising many new questions April 18,2005
QGP（near TC）≒完全流体（？）
QGPの時空発展は相対論的
流体力学で記述できる
輸送係数（粘性係数etc.）
に着目
強結合QGP
強相関QGP
Lattice QCD ○
摂動論 ×
Lattice QCDで輸送係数を数値計算
 相対論的流体力学
• 1st order theories for dissipative fluid (by Eckart or Landau &
Lifshitz) ⇒散逸の効果を１次まで取り入れる
entropy current
μ: 熱流）
散逸項（q
1



S
 su

q
T
s : entropy density , uμ : 4-velocity , T : temprature
散逸量の輸送方程式 ⇒因果律 ×
輸送係数:ζ(bulk viscosity),κ(heat conductivity),
η(shear viscosity)
C. Eckart, Phys. Rev. 58, 919 (1940)
L. D .Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (1959)
 相対論的流体力学
• 2nd order theory for dissipative fluid (by Muller or Israel &
Stewart) ⇒1st order theoryに緩和時間を導入
entropy current
S

 su


1
T

1
2T


q 
1
T

( 0 q    1 q 

u (  0    1 q q   2 
2


)
散逸項
  )
    0 ,  q   T  1 ,    2 2
緩和時間(τi→0で2nd order→1st order)
散逸量の輸送方程式 ⇒ 因果律 ○（ただし例外有り）
輸送係数 : ζ, κ, η, α0, α1, β0, β1, β2
I.Muller, Z. Phys. 198, 329 (1967)
W.Israel and J.M.Stewart, Ann. Phys. (N.Y.) 118, 341 (1979)
 先行研究
• Using Kubo formula with ansatz for spectral function.
But the validity remains questionable.
Viscosities
Kubo
formula
Analytic
continuation
Lattice QCD
Imaginary time
correlator
Real time
correlator
 ( ) 
A


2
  (m   )  
2




2
2 
(m   )   
F. Karsch and H. W. Wyld, Phys. Rev. D35, 2518(1987)
A. Nakamura and S. Sakai, Phys. Rev. Lett. 94, 072305(2005)
H. B. Meyer, Phys. Rev. D76, 101701(2007)
 研究方針
Evaluation of the ratios of the viscosities to the relaxation
times of Israel-Stewart (IS) theory in SU(3) lattice QCD.
Reduce the number of IS parameters
S

 su


1

q 
T

1
2T
1
T


( 0 q    1 q 

u (  0    1 q q   2 
2


)
  )
We try to obtain second order coefficients β0 & β2 .
0 


, 2 

2
Contents
1. Introduction
2. Strategy
3. Numerical Results
4. Summary
 Israel-Stewart entropy
Israel-Stewart entropy
S  u S

 S eq 
V
2T


(  0    1 q q   2    )
2
・・・(1)
using these relations
uq

 u 

0
and
uμ :4-velocity of particles
Seq : equilibrium entropy , qμ : heat flux
Π : bulk viscous pressure , πμν : shear viscous pressure
 Boltzmann-Einsteinの原理
平衡状態におけるゆらぎの確率分布はBoltzmann-Einstein
の原理に従う
W ( a )  exp[ S ( a )]
c.f. S=logW
・・・(2)
状態変数a=a0 の状態が実現される確率は
P (a  a0 ) 
W (a  a0 )
 daW
(a )
Equation (1) と (2)より
W (  , q ,  )  exp[ 
V
2T
(  0    1 q   2  )]
2
2
2
A. Muronga, Eur. Phys. J. ST 155:107-113(2008)
S. Pratt, Phys. Rev. C77, 024910(2008)
 Lattice QCDでやること
• π13のゆらぎの確率分布を数値計算する
期待される分布
W ( 13 )  exp[ 
V
2T
 2  13 ]
2
・・・(3)
π13
•
π13の分布とequation (3)を比較してβ2を得る
BE principle
IS entropy
Probability of fluctuations
The ratios between
IS parameters
Lattice QCD
 イメージ
• ４次元Euclid空間の格子
・・・
Configuration = 微視状態
・・・確率 1/6
π13 ・・・確率∝ exp[-Vβ2π132/2T]
Contents
1. Introduction
2. Strategy
3. Numerical Results
4. Summary
 Lattice parameters
•
•
•
•
SU(3) pure gauge theory (gluon only)
3 isotropic lattice boxes
10,000 configurations for each box
Blue Gene @ KEK
box1
box2
box3
β
6.499
6.499
6.872
a[fm]
0.049
0.049
0.031
T/TC
2.5
1.5
2.5
β = 2NC/g2
a: lattice spacing
TC: critical temperature (~300MeV)
Nτ: number of sites in spatial direction
NS: number of sites in temporal direction
Nτ
6
10
10
NS
323
323
483
 Result (Probability distribution with box1)
W ( 13 )  exp[ 
box1
box2
box3
β
6.499
6.499
6.872
a[fm]
0.049
0.049
0.031
T/TC
2.5
1.5
2.5
Nτ
6
10
10
NS
323
323
483
V
2T
 2  13 ]
2
 Result (Probability distribution with box1)
log[ W ( 13 )]  
box1
box2
box3
β
6.499
6.499
6.872
a[fm]
0.049
0.049
0.031
T/TC
2.5
1.5
2.5
Nτ
6
10
10
NS
323
323
483
V
2T
 2  13
2
 Result (The ratio β2)
• Our present result with box1
2 

2
 0 . 0036
• Characteristic velocity of dissipative flow
R. Baier, P. Robatschke, D. T. Son, A. O. Starinets
From AdS/CFT
and M. A. Stephanov, JHEP 0804:100 (2008)
v
1
2  2 (  P )

1
2 ( 2  log 2 )
 0 .6  1
⇒因果律 ○
From our result
v
1
2  2 (  P )
 5 1
⇒因果律 ×
ε : energy density
P : pressure
Contents
1. Introduction
2. Strategy
3. Numerical Results
4. Summary
 Summary
•
Lattice QCDによる散逸量（π13）のゆらぎの確率分布の数値計
算を行った。
• Boltzmann-Einsteinの原理に基づき、Israel-Stewart (2nd order)
理論の枠組み内で粘性係数と緩和時間の比（β2）を導出した。
• Lattice QCDからの結果からは、Israel-Stewart(2nd order)理論は
因果律を破る（？）
⇒AdS/CFTからの結果と矛盾…
 Future plan
• β0=τΠ/Πの導出（box1）
• その他のLattice（box2,box3）のデータの解析
• AdS/CFTとの矛盾を議論
ありがとうございました。
Appendix
 Result (Spatial correlation)
Lattice spacing dependence of π13
 Shear viscosity from perturbation theory
In high temperature region

1
4
g log g
1
 g
 0

P. Arnold, G. D. Moore and L. G. Yaffe, JHEP 0011 001 (2000)