Transcript ppt

１０．固有値とその応用
1
固有値と固有ベクトル
2
行列による写像から固有ベクトルへ
m ´ n 行列 A によって線形写像 f A : R n  R m
が表せることを見てきた。ここでは、２次元平面の行列に
よる写像を調べる。
m
´
n
2 1
A
 とし、写像 f A : R 2  R 2
1 2 
まず、単位ベクトルの像を求める。
u   2
 
 v  1
 u1   2
  
 v1   1
A
を考える。
1  x
 
2  y 
1  1  2 
    ,
2  0  1 
u2   2
  
 v2   1
1  0 1 
    
2  1  2 
3
y
2
A
1
1

2
fA : R  R
2
v
2
u
u
x
この事から、線形写像の性質を用いると、
次の格子上の点全ての写像先が求まる。
4
y
2
A
1
fA : R  R
2
x
v
1

2
2
u
このように、写像 f A によって、基底  A e 1 , A e 2    b1 , b 2 
の座標系が得られる。この座標系の事を、斜交座標系と
呼ぶこともある。
5
ここで、これらの写像を重ねてみる。
y
v
このように、ほとんど
のベクトルは、
写像後に方向を変える。
u
x
6
行列 A に対して、変換後もベクトルの方向を変えない
ものがある。そのようなベクトルを行列 A に対する
固有ベクトルと言う。（正確な定義は後で与える。）
例えば、下の計算からわかるように、
2
A
1
1
に対しては、

2
2

1
2

1
 1  1 
    等が固有ベクトルである。
  1  1 
1   1   2  1  1 
   
 
2    1  1  2    1 
1  1   2  1   3 
   
 
2  1  1  2   3 
7
y
v
2
A
1
1

2
に対して、
1 
 
  1  は写像元と
u
写像先が同一。
x
8
y
v
2
A
1
1

2  に対して、
1 
 
1  は写像元と
写像先が同じ方向。
u
x
この場合は３倍
だけ変化する。
この倍率のことを
固有値という。
9
固有関係式
ここでは、行列 A に対して固有ベクトル x  0
すべき関係を示す。
ベクトルの方向が
等しいことを意味する。
が満た
固有値には、
慣用的に  の
文字が用いられる。
Ax   x
行列 A による
ベクトルの写像
ベクトルのスカラー倍
ここで、  はスカラーであり、固有値と呼ばれる。
この式が、固有値と固有ベクトルにおける
一番重要な関係式である。この関係式を本講義では、
固有関係式と呼ぶ。
10
線形写像に対する固有値、固有ベクトル
定義（線形写像に対する固有値、固有ベクトル）
線形空間 V から V 自身への線形写像を
f : V  V とする。
 に対して固有関係式、
f (x)   x
スカラー
を満たす 0 でないベクトル x  V があるとき、
スカラー  は写像 f の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値  に属する（写像 f の）
固有ベクトルという。
１．零ベクトル 0 は任意のスカラー  に対して、
固有関係式をみたすが、固有ベクトルではない。
２．固有値は、一般には複数あるが、d im V 個以下である。
３．一つの固有値に属する固有ベクトルは１つとは限らない。
11
行列に対する固有値と、固有ベクトル
次正方行列 Α は、線形写像 f : R  R
を定めてい
た。ここで、線形写像 f に対する固有値と固有ベクトルと同様
に、行列に対する固有値と固有ベクトルを定める。

n
n
A
定義（行列に対する固有値、固有ベクトル）
n  nの正方行列を A とする。
スカラー
 （実数または複素数）に対して、
Ax   x
固有関係式
を満たす 0 でないベクトル x  R n があるとき、
スカラー は行列 A の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値  に属する（行列 A の）
固有ベクトルという。
正方行列に対してしか、固有値や固有ベクトル
は定義されないので注意すること。
12
固有空間
13
固有ベクトルから固有空間へ１
2
A
1
1
 の固有値に 
2
Ax  1x
を満たすベクトルとしては、
 2 
  1
  や   等がある。
2 
1 
y
v
u
x
 1 がある。
1 
 
  1
の他にも、
実は、１次元空間（直線上）の
全てのベクトルが固有ベクト
ルになる。
y v
u
x
14
固有ベクトルから固有空間へ２
2
A
1
1

2
とし、   3 とする。
1 
 
1 
Ax  3x
を満たすベクトルとしては、
の他にも、
  1
2
実は、１次元空間（直線上）の
や
等がある。
 
 
全てのベクトルが固有ベクト
  1
2
y v
ルになる。
y v
u
x
u
x
15
固有空間
定義（線形写像の固有空間）
 が線形写像 f : V  V の固有値であるとき、
V  { x  V | f ( x )   x}
を写像 f の固有値  の固有空間という。
言い換えると、固有空間 V  は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル 0 を加
えた集合のことである。
16
行列の固有空間
定義（行列の固有空間）
n 次正方行列 A の固有値を
 とするとき、
n
V  { x  C | A x   x}
を行列 A の固有値 の固有空間という。
言い換えると、固有空間 V  は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル 0 を加
えた集合のことである。
例 A  2 1


1
間 V 1
V 1

 k

2
の固有値 l 1 = 1, l 2 = 3
V  2 は、次のようになる。
に対する固有空
 V   k 1  | k  R 
1 
  

2
|
k

R

 
1




1
 

17
固有空間の性質
（固有空間の性質）
線形写像 f : V  V の固有値 
は V の部分空間である。
の固有空間 V 
証明略
18
固有ベクトルの一次独立性
（固有ベクトルの一次独立性）
線形写像 f : V  V の相異なる固有値 l 1 , l 2 , L , l r
に対して、各固有値 l i
に属する固有ベクトルを x i と
する。このとき、 {x , x , L , x }は一次独立である。
1
2
r
証明
固有値の数
r に関する帰納法で示す。
基礎 r = 1
のとき。
このときには、 x ¹ 0
1
であるから命題が成り立つ。
19
帰納 r > 1 とする。
r - 1 個の固有ベクトル {x 1 , x 2 , L
仮定する。（帰納法の仮定）
, x r - 1}
が一次独立と
k 1x 1 + k 2 x 2 + L + k r x r = 0
L (1)
とおいて、係数の組 {k 1 , k 2 , L , k r } を調べる。
線形性と固有値の定義より、
f ( k 1x 1 + k 2 x 2 + L + k r x r )
= f ( k 1x 1 ) + f ( k 2 x 2 ) + L + f ( k r x r )
= k 1 f (x 1 ) + k 2 f (x 2 ) + L + k r f (x )
= k 1l 1x 1 + k 2 l 2 x 2 + L + k r l r x r
また線形性より、
f (0 ) = 0
20
よって、（１）の両辺に線形写像 f
を適用すると、次式が得られる。
k 1l 1x 1 + k 2 l 2 x 2 + L + k r l r x r = 0
L (2)
一方、（１）によって得られる式
k r x r = - k 1x 1 - k 2 x 2 - L - k r - 1x r - 1
を（２）に代入する。
k 1 (l
1
- l
r
) x 1 + k 2 (l
2
- l
r
) x 2 + L + k r - 1 (l
L (1) '
r- 1
- l
r
)x r -
1
= 0
帰納法の仮定より、 {x 1 , x 2 , L , x r - 1 } は一次独立なので、
k 1 (l
1
- l r ) = k 2 (l
また、 l 1 , l 2 , L , l
li - l
r
r
2
- l r ) = L = k r - 1 (l
r- 1
- l r)= 0
は相異なるスカラーであったので、
¹ 0
よって、
k1 = k2 = L = kr-
1
= 0
L ( 3)
21
よって、 (1) ' より
krx r = 0
\ kr = 0
(Q x r ¹ 0 )
以上より、（３）と合わせて、
k1 = k2 = L = kr = 0
であり、 {x 1 , x 2 , L , x r } は一次独立。
Q ED
22
固有値の求め方
23
固有値の求め方（重要）
ここでは、固有値の求め方を示す。なお、固有ベクトルは、固
有値を求めた後で求められる。固有値を求めるためには、固
有多項式と固有方程式の概念が重要である。
固有多項式の定義を与える前に、慣用的な単位ベ
クトルの表記を与える。（主に工学系では、Iを用いる。）
n
（単位行列）
次元の単位行列は、
é1
ê
ê
ê
I = ê
ê
ê
êO
ëê
1
O
Où
ú
ú
ú
ú
ú
ú
1ú
ú
û
とも表す。
24
固有多項式と固有方程式
（特性多項式と特性方程式）
定義（固有多項式と固有方程式）
A = [a ij ] を n 次の正方行列とする。
スカラー  の n 次の多項式
l
j
A
(l )
= d et ( A - l I )
=
a 11 - l
a 12
a 21
a 22 - l
M
L
a 1n
O
an1
ann - l
を行列 A の固有多項式（あるいは特性多項式）という。
また、方程式
d et ( A - l I ) = 0
を行列
A
の固有方程式（あるいは特性方程式）という。
25
固有値と固有方程式
（固有値と固有方程式）
 が行列 A の固有値であるための必要十分条件は、
の解であること
 が固有方程式 d et ( A - l I ) = 0
である。
証明
Ax = l x
Û Ax - l x = 0
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
Û A x - l Ix = 0
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
Û (A - l I ) x = 0
Û d et (A - l I ) = 0
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
スカラー
Q ED
26
例１
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
2
A  
1
1

2
解）
この行列に対する固有多項式は、
 A  det( A   I )

2
1
1
2
 (2   )(2   )  1
 3  4  
2
よって、固有方程式
3  4    0
2
を解く。
(1   )(3   )  0
   1, 3
以上より、行列 A の
固有値は、
1  1,  2  3
である。
と表せる。
27
例２
次の行列の固有値を求めよ。
（２）
1 2 
A

3 4 
解）
この行列に対する固有多項式は、
A
よって、固有方程式
 2  5    0
2
を解く。
 
5
2
 det( A   I )

1 
2
3
4
 (1   )(4   )  6
  2  5  
と表せる。
2
33
以上より、行列 A の
固有値は、
1 
5
33
2
, 2 
5
33
2
である。
28
よって、固有方程式
例３
次の行列の固有値を求めよ。
（３）
2

A 1

1
1

1

2 
1
2
1
 (1   ) (4   )  0
2
 det( A   I )
2
 1
1
1
2
1
1
2
 (2   )  2  3(2   )
3
 4  9  6  
と表せる。
   1, 4
以上より、行列 A の
固有値は、
1  1 (2 重 根 ）,
1
2
3
を解く。
解）
この行列に対する固有多項式は、
A
4  9  6    0
2
3
 2  4（ 単 純 根 ）
である。
固有方程式の解  i が m i 重根
であるとき、固有値 i の
代数的重複度が m i であると
29
いう。
練習
次の行列に対して、固有方程式を解き、固有値を求めよ。
（１）
2
A
1
（２）
3

4
1

B  1

 2
0
2
2
 1

1

3 
30
固有ベクトルの求め方（重要）
固有値がわかれば、各固有値に属する固有ベクトルを定
義に基づいて求めることができる。
具体的には、固有値  i に対する固有ベクトルは、
同次連立一次方程式
(A - l i I ) x i = 0
の非自明解を求めればよい。
（実は、この方法によって、固有空間も求まる。）
31
例１
次の行列の固有ベクトルを求めよ。
（１）
2 1
A

1 2 
解）
この行列の固有値は、
1  1,  2  3
である。
éx 11 ù
1  1 に対する固有ベクトル x 1 = êêx úú
ë 21 û
を求める。
(A - l 1I ) x 1 = 0
é2 - 1
ê
ê1
êë
ù
úx = 0
1
2 - 1ú
ú
û
1
é1
\ êê
1
êë
1 ùéx 11 ù
úê ú =
1 úêëx 21 úû
úû
é0 ù
ê ú
ê0 ú
êë úû
é1 1 ùéx 11 ù
úê ú =
Û êê
0 0 úêëx 21 úû
êë
úû
Û x 11 + x 21 = 0
éx 11 ù
\ ê ú = x 21
êx 21 ú
ë û
é0 ù
ê ú
ê0 ú
êë úû
é- 1 ù
ê ú
ê1 ú
ëê ûú
よって、任意定数 k 1 を
用いて
é- 1 ù
x 1 = k 1 êê ú
1 ú
êë ú
û
と表せる。よって、例えば
é- 1 ù
ê ú
ê1 ú
êë ú
û
が 1
1
32
の固有ベクトル。
 2  3 に対する固有ベクトル
を求める。
x2
éx 12 ù
= ê ú
êx 22 ú
ë û
(A - l 2 I ) x 2 = 0
よって、任意定数 k 2 を
用いて
é1 ù
é2 - 3
ê
ê1
êë
と表せる。よって、例えば
ù
úx = 0
2
2 - 3ú
ú
û
1
é- 1
\ êê
1
êë
1 ùéx 1 2 ù
úê ú =
- 1 úêëx 2 2 úû
úû
é- 1
Û êê
0
ëê
1 ùéx 1 2 ù
úê ú =
0 úêëx 2 2 úû
ûú
é0 ù
ê ú
ê0 ú
êë úû
é0 ù
ê ú
ê0 ú
ëê ûú
x 2 = k 2 êê ú
1ú
êë ú
û
é1 ù
êú
ê1 ú
êë úû
が   3 の固有ベクトル。
2
Û - x 12 + x 22 = 0
éx 1 2 ù
\ ê ú = x 22
êx 2 2 ú
ë û
é1 ù
êú
ê1 ú
ëê ûú
33
例２
（３）
次の行列の固有ベクトル
を求めよ。
2

A 1

1
1
2
1
(A - l 2 I ) x 2 = 0
1

1

2 
é2 - 4
ê
ê
ê 1
ê
ê 1
êë
解）この行列の固有値は、
1  1 (2 重 根 ）,
1
2- 4
1
ù
ú
ú
1 úx 2 = 0
ú
2 - 4ú
ú
û
1
 2  4（ 単 純 根 ）
である。
 2  4 に対する固有ベクトル x
を求める。
2
éx ù
ê 12 ú
ê ú
= êx 2 2 ú
ê ú
êëx 3 2 úû
34
é- 2
ù
1
1
ê
ú
ê
ú
- 2
1 ú®
ê1
ê
ú
ê1
1
- 2ú
êë
ú
û
é1 1 - 2 ù
ê
ú
ê
ú
® ê0 1 - 1 ú ®
ê
ú
ê0 3 - 3 ú
êë
ú
û
é- 2
ê
ê
ê1
ê
ê1
ëê
1
- 2
1
é1
ê
ê
ê1
ê
ê- 2
êë
é1
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
- 2
1
0
1
0
é ù
1 ù
úêx 1 2 ú
úê ú
1 úêx 2 2 ú = 0
úê ú
- 2 úêëx 3 2 ú
û
ú
û
éx ù
ê 12 ú
ê ú
\ êx 22 ú =
ê ú
êëx 32 ú
û
- 2ù
ú
ú
1 ú®
ú
1 ú
ú
û
1
é1
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
1
- 3
3
- 2ù
ú
ú
3 ú
ú
- 3ú
ú
û
- 1ù
ú
ú
- 1ú
ú
0 ú
ú
û
ìï x 12 - x 32 = 0
Û ïí
ï x 22 - x 32 = 0
ïî
éx ù
ê 32 ú
ê ú
êx 32 ú = x 32
ê ú
êëx 32 ú
û
é1 ù
é1 ù
êú
êú
êú
êú
1
=
k
1
êú
2 ê ú
êú
êú
ê1 ú
ê1 ú
êë ú
êë ú
û
û
ただし、 k は任意定数。
2
35
1  1 に対する固有ベクトル
éx ù
ê 11 ú
ê ú
x 1 = êx 21 ú
ê ú
êëx 31 úû
を求める。
(A - l 1I ) x 1 = 0
é2 - 1
ê
ê
ê 1
ê
ê 1
êë
é1
ê
ê
ê1
ê
ê1
êë
1
1
1
1
2- 1
1
ù
ú
ú
1 úx 2 = 0
ú
2 - 1ú
ú
û
1 ùú
ú
1ú ®
ú
1ú
úû
1
é1
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
1
0
0
1 ùú
ú
0ú
ú
0ú
úû
36
(A - l 1I ) x 1 = 0
éx ù
ê 11 ú
ê ú
êx 21 ú =
ê ú
êëx 31 ú
û
Û x 11 + x 21 + x 31 = 0
é- x - x ù
31 ú
ê 21
ê
ú
x 21
ê
ú = x 21
ê
ú
x 31
êë
ú
û
ただし、 k
11
, k 12
é- 1 ù
ê ú
ê ú
ê 1 ú + x 31
ê ú
ê0 ú
êë ú
û
V 1
é- 1 ù
ê ú
ê ú
ê 1 ú + k 12
ê ú
ê0 ú
êë ú
û
é- 1 ù
ê ú
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë ú
û
は任意定数。
このことより、 1  1


  k 11


é- 1 ù
ê ú
ê ú
ê 0 ú = k 11
ê ú
ê1 ú
êë ú
û
  1
 
1  k 12
 
 0 
に対する固有空間は、

  1

 
0 | k 11 , k 12  R 
 

 1 

であり、その次元は、 dim V   2
1
固有空間の次元を、
幾何的重複度という。
である。
37
練習
次の行列に対して、固有ベクトル、固有空間を求めよ。
（１）
（２）
2
A
1
3

4
1

B  1

 2
0
2
2
 1

1

3 
38
固有値の性質
39
固有値の性質１（複素数の固有値）
（複素数の固有値）
行列の要素がすべて実数であっても、固有値は
複素数になることがある。
例
é0 - 1 ù
ú の固有値を求める。
A = êê
1
0 ú
êë
ú
û
固有多項式は、
- l
j
(l ) =
A
1
- 1
- l
= l
よって、固有方程式l
2
2
+ 1
+ 1 = 0 より、
l = i, - i
40
固有値の個数
n
次正方行列 A
に対する固有方程式
a 11 - l
a 12
a 21
a 22 - l
M
an1
L
a 1n
= 0
O
a nn - l
は n 次の代数方程式だから、代数的重複度まで含めると
複素数の範囲で丁度 n 個の解がある。
41
練習
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
（２）
é3
A = êê
2
êë
écos q
B = êê
sin
q
êë
- 1ù
ú
1 ú
ú
û
- sin q ù
ú
cos q ú
ú
û
（３）
é0
ê
ê
C = ê- 1
ê
ê0
êë
1
0
0
0ù
ú
ú
0ú
ú
1ú
ú
û
42
固有値とトレース、固有値と行列式
固有値とトレース、固有値と行列式には次のような関係がある。
（固有値とトレース、固有値と行列式）
l 1 , l 2 , L , l n を A の固有値とする。
このとき、次が成り立つ。
（I)
l
1
+ l
2
+ L + l
n
= a 11 + a 22 + L + a n n
= t rA
（II) l 1 gl 2 gL gl
n
= A
この関係があるので、トレースのことを
固有和ということもある。
これら２つの式は、固有値の値のチェックに利用するこ
43
とができる。
証明
固有多項式を計算する。
j
A
a 11 - l
a 12
a 21
a 22 - l
(l ) =
M
L
O
an1
n
= ( - 1) gl
n
a 1n
定数項は、
行列式そのもの
になることに注
意する。
a nn - l
+ ( - 1)
行列式の定義より、 l
l
n
n- 1
n
gt r ( A ) gl
、l
n- 1
n- 1
+ L + A
の部分は、
n
Õ (a
ii
- l ) = (a 11 - l ) g(a 22 - l ) gL g(a n n - l )
i= 1
の展開からしか生成できないことがわかる。
44
一方、固有値は固有方程式の根だから、固有多項式は、
次のようにも表現できる。
j
n
( l ) = ( - 1) g( l - l 1 ) g( l - l 2 ) gL g( l - l n )
A
n
= ( - 1) l
よって、
l
1
n
l
+ ( - 1)
n- 1
+ l
n- 1
(l 1 + L + l n ) l
n- 1
+ L + (l 1l 2 L l n )l
0
の項の係数と、定数項を比較して次式を得る。
2
+ L + l
l 1 gl 2 gL gl
n
n
= t rA
= A
Q ED
45
例１
2
A
1
1
 の固有値は、 l
2
1
= 1, l
2
= 3 である。
tr A  2  2  4(  1   2 )
A  4  1  3(  1  2 )
46
例２
2

B  1

1
1
2
1
1

1

2 
の固有値は、 l
1
= 1, l
2
= 1, l
3
= 4 である。
代数的重複度を考えて、同じ値を持つ
固有値を２つにしている。
tr B  2  2  2  6(  1   2   3 )
B  8  1  1  (2  2  2)  4(  1  2  3 )
47
例3
é0
C = êê
1
êë
- 1ù
ú の固有値は、
0 ú
ú
û
l
1
= i, l
2
= - i
である。
tr C  0  0  0(  1   2 )
C  0  (  1)  1(  1  2 )
48
固有値と正則行列
（固有値と正則行列）
行列 A が正則であるための必要十分条件は、
0を固有値として持たないことである。
証明
A が0を固有値として持つ。 Û
となる
固有ベクトルx ¹ 0 が存在する。
A x = 0x
Û
同次連立一次方程式 A x = 0
が非自明解 x ¹ 0 を持つ。
Û
A
は正則でない。
よって、対偶をとることによって、
A は正則 Û
A が0を固有値として持たない。
Q ED
49
相似な行列
50
相似な行列
定義（相似な行列）
n 次の正方行列 A に対して、 n 次の正則行列 P
の逆行列 P - 1 を用いて
B º P
と表した行列 B
P
とそ
- 1
AP
を A
と相似な行列という。
- 1
AP
正則行列と、
その逆行列で
サンドイッチ状にする。
51
相似な行列の性質１
（相似な行列間の行列式の相等）
相似な行列は行列式が等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
A = P
証明
P
- 1
AP = P
= A P
= A
- 1
- 1
AP
- 1
スカラーなので
交換可
A P
P
P
- 1
P = 1
に注意する。
Q ED
52
相似な行列の性質２
（相似な行列間のトレースの相等）
相似な行列はトレースが等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
t rA = t r(P
証明
t r(P
- 1
A P ) = t r((P
= t r (( P )( P
= t r (( P P
= t r(IA )
= t rA
- 1
- 1
- 1
AP)
- 1
A ) (P ) )
A ))
) (A ) )
トレースの性質で、
t r (A B ) = t r ( B A )
を思い出す。
Q ED
53
相似な行列の性質３
（相似な行列間の固有多項式の相等）
相似な行列は固有多項式が等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
j
証明
j
P
- 1
AP
A
(l ) = j
( l ) = d et ( P
- 1
- 1
AP - l P
= d et ( P
- 1
AP - P
= d et ( P
- 1
( A - l I )P )
- 1
- 1
AP
(l )
AP - l I)
= d et ( P
= P
P
- 1
- 1
IP )
l IP )
AP - l I P
= d et ( A - l I )
= j
(l )
A
Q ED
54
相似な行列の性質４
（相似な行列間の固有値の相等）
相似な行列は固有値が等しい。
証明
固有多項式（固有方程式）が等しいので、明らかに
成り立つ。
Q ED
55
例
2
正方行列を A  
1
まず、
P
P
1
1
3
 とし、正則行列を P  
2
7
2
とする。

5
の逆行列 P  1 を求める。
 5

7
2 

3 
56
次に相似な行列
P
1
P
1
 5
AP  
7
 5
 
7
 2  13

3  17
 31
 
  40
21 

 27 
A P を求めておく。
2  2

3  1
1 3

2  7
2

5
9

12 
57
まず、行列式について、
2
1
1
2
A 
P
1
AP 
 4 1  3
31
21
 40
 27
  837  (  840)  3
次にトレースについて，
2
tr A  tr 
1
tr  P
1
1
  22 4
2
 31
A P   tr 
  40
21 
  31  27  4
 27 
58
最後に、固有多項式と固有値について。
 A (  )  det( A   I ) 
P
1
(  )=det  P
AP
1
2
1
1
2
AP   I  
よって、 A , P  1 A P
固有値は   1, 3
   4  3
2
31  
21
 40
 27  
   4  3
2
の両方ともに、
59
固有値の応用（行列の対角化）
60
正則行列による対角化
固有値や固有ベクトルを利用すると、正方行列
を対角化することができる。まず、必要な記法や概
念を説明する。そのあとで、行列 A に対する固有
値や固有ベクトルをから行列 A を対角行列に変
換する方法を与える。また、対角化された行列によ
る応用をいくつか示す。
61
対角行列（重要）
定義（対角行列）
n 次正方行列 A
に対して、対角成分以外が全
て0である行列を対角行列という。
すなわち、
a ij
ìï a i
= ïí
ï 0
ïî
i = j
i ¹
j
ここで、 a i Î C である。
62
対角行列のイメージ
n
a1
a2
O
n
O
an
63
対角化可能
定義（対角化可能）
A を n 次の正方行列とする。
A に相似な対角行列 D が存在するとき、
すなわち、正則行列 P によって、
D = P
- 1
AP
が対角行列になるとき、
行列 A
は正則行列 P
で対角化可能であるという。
A
逆行列と、正則行列でサンドイッチ
にすることで、対角化する。
実は、 P としては、固有ベクトルを
並べたものにすればよい。
このとき、対角成分として、固有値
が並ぶ。
64
幾何学的重複度と代数的重複度
定義（幾何学的重複度と代数的重複度）
n 次の正方行列 A の全ての異なる固有値を
l 1 , l 2 , L , l r とする。
（１）固有値 l i に対する、固有空間V l = {x | A x = l i x }
の次元 d im V l を固有値 l i に対する
幾何学的重複度（geometric multicilicity)といい
i
i
m g (l i )
とかく。
（2）固有値を用いることで、固有多項式
n
j ( l ) = ( - 1) g( l - l 1 )
m1
g( l - l 2 )
m2
は
gL g( l - l r )
mr
と表せる。このとき、 m i を各固有値 l i に対する
代数的重複度（algebric multicilicity)といい
とかく。
m a (l i )
65
幾何的重複度と代数的重複度の関係
（幾何的重複度と代数的重複度）
とする。
n 次の正方行列 A の固有値を l
また、固有値 l に関する幾何的重複度を m g ( l )
とし、代数的重複度を m a ( l )とする。このとき、
次の式が成り立つ。
m g (l ) £ m a (l )
証明略
この式より、幾何的重複度を、固有値全てに対
して総和をとっても、 n にならないことがあると
いうことがわかる。（なお、代数的重複度を固有値
全てに対して総和をとれば n である。）
66
対角化の判定法
（対角化可能性）
n 次の正方行列を A とし、A の相異なる固有
値を l 1 , l 2 , L , l r とする。このとき、A が対角化
可能であるための必要十分条件は、次式を満たす
ことである。
m g (l i ) = m a (l i )
i = 1, 2, L , r
証明略
67
対角化手順の概略(重要）
これまでの議論より、 n 次の正方行列 A の対角化手順
が構成できる。
（１） A の固有方程式 j A ( l ) = 0 を解き、
固有値 l i を求める。
（２）各固有値 l i 毎に、固有ベクトル x i を求める。
（３）全ての固有ベクトル x i を順番に並べて行列
P = éêx 1
ë
L
xn ù
ú
û
を定義する。
（４）（３）の行列 P の逆行列P
（５）
P
- 1
を求める。
A P を計算すると対角行列 D
- 1
A
となる。
68
対角化手順中の注意１（固有値の代数的重複度）
（１） A の固有多項式j A ( l ) を求め、n 次の固有多方程式
を解く。
j (l ) = 0
A
もし、実数で対角化を行いたいにもかかわらず、固有方程式の
解に実数でなもの（複素数）が現れたら、実数では対角化できない。
各固有値 l
j
i
とその代数的重複度 m a ( l i ) を求める。
(l ) = (l 1 - l )
A
k
å
m a (l i ) = n
i= 1
が成り立つ。
m a (l 1 )
g( l
2
- l )
m a (l 2 )
gL g( l
k
- l )
m a (l k )
対角化手順中の注意２（固有空間と幾何学的重複度）
（２）各固有値l i 毎に、固有空間 V l = {x i | A x i = l i x i }
i
を求める。
固有空間は、同次連立一次方程式 (A - l i I ) x i = 0
の解空間であるので、連立一次方程式を解くことで、
求められる。
幾何的重複度 m g ( l i ) = d im V l i
も求める。
すべての固有値 l i に対して、
m a (l i ) = m g (l i )
であれば対角化可能。さもなければ、対角化不可能。
対角化可能ならば、固有空間の要素である
固有ベクトル x i Î V l i を求める。
対角化手順の注意３(対角行列と固有値）
（３）～(５）
固有値がすべて非零なら、
変換の行列 P は正則行列であり、逆行列が存在する。
71
対角行列の各成分は、対応する固有値となる。
すなわち、固有値 l i の固有ベクトルを x i とし、変換行列を
とすると、次式が成り立つ。
P = éêx 1 x 2 L
xkù
ú
ë
û
DA
él 1 0
ê
ê0 l
2
ê
- 1
= P AP = ê
êM
ê
ê0
0
êë
L
O
L
0ù
ú
0 úú
ú
Mú
ú
lkú
úû
例
2
A
1
1

2
の固有値は、 l
1
= 1, l
2
= 3 である。
（各固有値の代数重複度はそれぞれ１）
また、l
1
= 1 に対する固有空間 V は、
l
1
Vl1
ìï
ï
= ík
ï
ïîï
また、l
Vl2
2
ü
é1 ù
ï
ê ú| k Î R ï
ý
ê- 1 ú
ï
êë ú
ï
û
ï
þ
d im V l 1 = 1
= 3 に対する固有空間V l は、
2
ìï
= ïí k
ï
ïîï
ü
é1 ù
ï
ê ú| k Î R ï
ý
ê1 ú
ï
êë ú
ï
û
ï
þ
d im V l 2 = 1
72
よって、全ての固有値で、代数的重複度と幾何的重複度が等しい。
よって、対角化可能。
固有ベクトルをならべて正則行列P を作る。
ここでは、
é1
P º êê
- 1
êë
1ù
ú
1ú
ú
û
とする。このとき、P
P
- 1
1 éê1
=
2 êê1
ë
は
- 1
- 1ù
ú
1 ú
ú
û
73
ここで、
2
A
1
P
1
1
 と相似な行列
2
1 1
AP  
2 1
1 1
 
2 1
 1  1

1  1
1 2
 
2 0
0

6
1
 
0
0

3
 1  2

1  1
3

3
P
1
AP
を求める。
1   1 1


2    1 1
固有値が並んでいる
ことに注意する。
変換の行列 P に
おける固有ベクトルの
順序が対角行列中の
固有値の順序として
現れる。
74
練習
次の行列を対角化せよ。
（１）
é2
ê
ê
ê1
ê
ê1
êë
1
2
1
1 ùú
ú
1ú
ú
2ú
úû
é0
ê
ê
- 1
（２） êê
ê0
êë
1
0
0
0 ùú
ú
0ú
ú
1ú
úû
75
対角行列の累乗
D を n 次の対角行列とする。すなわち、
éd 1 0 L
0ù
ê
ú
ê0 d
ú
M
2
ê
ú
D = ê
ú
êM
O
0ú
ê
ú
ê0 L
ú
0
d
n
êë
úû
とする。また、 k を自然数とする。このとき、行列 D
の k 乗 D k は次式で与えられる。
D
k
éd k
0
1
ê
ê
k
ê0 d 2
= ê
êM
ê
ê
êê 0 L
ë
L
O
0
0ù
ú
ú
Mú
ú
0ú
ú
ú
k
dn ú
úû
76
同値な行列の累乗
P
（１）
1
AP   P
k
 PA P 
（２）
1
証明  1
k
P AP 

（１）
 P
1
 P
1
 P
1
 P
A  PP
1
A IA IA
1
k
k
A P
 PA P
AP  P
k
1
AP 
 A  PP  AP
1
1
P
P
1
1
1
AP 
AP
AP
k
A P
（２） も同様。
Q ED77
行列の累乗
これまでの議論より、対角化可能な行列では以下の
手順で累乗を求めることができる。
（１）行列A を対角化して、対角行列
éd 1 0
ê
ê0 d
2
ê
- 1
P AP = D = ê
êM
ê
ê0 L
êë
L
O
0
0ù
ú
Mú
ú
ú
0ú
ú
dn ú
ú
û
を求める。
（２）両辺の k 乗を求める。
P
- 1
k
A P =
(P
- 1
AP
k
)
= D
k
éd k
0
ê1
ê
k
ê0 d1
= ê
êM
ê
ê
êê 0 L
ë
L
O
0
0ù
ú
ú
Mú
ú
0ú
ú
ú
k
dn ú
ú
û
78
（3）両辺の左から P
PP
\ A
- 1
k
k
A PP
を右から P
- 1
k
- 1
= PD P
éd k
0
1
ê
ê
k
0
d
ê
1
ê
= P
êM
ê
ê
êê 0 L
ë
L
O
0
を掛ける。
- 1
0ù
ú
ú
Mú
úP
0ú
ú
ú
k
dn ú
úû
- 1
79
例
2
A
1
é1
P = êê
- 1
ëê
1
k
 とし、 A を求めてみる。
2
1ù
ú
1ú
ú
û
このとき、
とする。
P
- 1
1 éê1
=
2 êê1
ë
よって、
P
1
P
AP 
1
k
- 1ù
ú
1 ú
ú
û
1
 
0
1
A P  
0
k
0

3
P
1
1
AP  
0
0

3
k
0
k 
3 
80
1
A  P
0
0  1
P
k 
3 
 1 1  1
 


1
1

 0
0   1 1

k  
3   2 1
k
1  1 1  1
 
 k
2   1 1  3
k
1 3  1
  k
2 3  1
 3k  1

2
 
k
3 1

 2
 1 

1 
 1
k 
3 
3  1

k
3  1
k
3 1

2

k
3  1

2 
k
81
練習
次の行列を求めよ。
（１）
é2
ê
ê
ê1
ê
ê1
êë
k
1
2
1
1ù
ú
ú
1ú
ú
2ú
ú
û
é0
（２） êê
ê- 1
ê
ê0
êë
n
1
0
0
0ù
ú
ú
0ú
ú
1ú
ú
û
82