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１０．固有値とその応用
1
固有値と固有ベクトル
2
行列による写像から固有ベクトルへ
m ´ n 行列 A
によって線形写像 f A : Rn  Rm
が表せることを見てきた。ここでは、２次元平面の行列に
よる写像を調べる。
m ´
n
2 1
2
2
A 

f
:
R

R
を考える。
1 2 とし、写像 A
A
まず、単位ベクトルの像を求める。
u  2 1  x 
v   1 2  y 
  
 
u1  2 1 1 2 u2  2 1 0 1
v   1 2 0  1 , v   1 2 1  2
     2 
 1 
   
3
y
2 1
A 

1
2


v
f A : R2  R2
u
u
x
この事から、線形写像の性質を用いると、
次の格子上の点全ての写像先が求まる。
4
y
2 1
A 

1
2


v
f A : R2  R2
u
x

 b1, b2
このように、写像 f A によって、基底 Ae1 , Ae2 
の座標系が得られる。この座標系の事を、斜交座標系と
呼ぶこともある。
ここで、これらの写像を重ねてみる。
5
y
v
このように、ほとんど
のベクトルは、
写像後に方向を変える。
u
x
6
行列 A に対して、変換後もベクトルの方向を変えない
ものがある。そのようなベクトルを行列 A に対する
固有ベクトルと言う。（正確な定義は後で与える。）
例えば、下の計算からわかるように、
1
2 1に対しては、   1 等が固有ベクトルである。
A 
1


1



1 2
2 1  1  2 1  1 
1 2 1  1  2  1

  
  
2 1 1 2 1 3
1 2 1  1  2  3

  
  
7
y
v
2 1
A 

1
2


に対して、
1
1
  は写像元と
u
写像先が同一。
x
8
y
v
2 1
A 

1
2

 に対して、
1
1
  は写像元と
写像先が同じ方向。
u
x
この場合は３倍
だけ変化する。
この倍率のことを
固有値という。
9
固有関係式
ここでは、行列 A に対して固有ベクトル
すべき関係を示す。
ベクトルの方向が
等しいことを意味する。
x 0
が満た
固有値には、
慣用的に  の
文字が用いられる。
Ax   x
行列 A による
ベクトルの写像
ベクトルのスカラー倍
ここで、  はスカラーであり、固有値と呼ばれる。
この式が、固有値と固有ベクトルにおける
一番重要な関係式である。この関係式を本講義では、
固有関係式と呼ぶことにする。
10
線形写像に対する固有値、固有ベクトル
定義（線形写像に対する固有値、固有ベクトル）
線形空間 V から V 自身への線形写像を
f : V V とする。
 に対して固有関係式、
f ( x)   x
スカラー
を満たす 0でないベクトル x V があるとき、
スカラー  は写像 f の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値  に属する（写像 f の）
固有ベクトルという。
１．零ベクトル 0 は任意のスカラー  に対して、
固有関係式をみたすが、固有ベクトルではない。
２．固有値は、一般には複数あるが、dimV 個以下である。
３．一つの固有値に属する固有ベクトルは１つとは限らない。
11
行列に対する固有値と、固有ベクトル
 次正方行列 Α は、線形写像
f A : Rn  Rn
を定めてい
た。ここで、線形写像 f に対する固有値と固有ベクトルと同様
に、行列に対する固有値と固有ベクトルを定める。
定義（行列に対する固有値、固有ベクトル）
n nの正方行列を A とする。
スカラー
 （実数または複素数）に対して、
Ax   x
固有関係式
を満たす 0でないベクトル x  Rn があるとき、
スカラー は行列 A の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値
に属する（行列 A の）
固有ベクトルという。


正方行列に対してしか、固有値や固有ベクトル
は定義されないので注意すること。
12
固有空間
13
固有ベクトルから固有空間へ１
2 1
A 
の固有値に   1 がある。

1 2
1
Ax  1x
2
2 や
 
y
 
を満たすベクトルとしては、 1
1
 1  等がある。
 
v
の他にも、
実は、１次元空間（直線上）の
全てのベクトルが固有ベクト
ルになる。
y
u
x
v
u
x
14
固有ベクトルから固有空間へ２
2 1
A 

1
2


とし、   3 とする。
1
Ax  3x を満たすベクトルとしては、 1
 2 や 1 等がある。
1
2
  y 
v
u
x
の他にも、
実は、１次元空間（直線上）の
全てのベクトルが固有ベクト
ルになる。
y
v
u
x
15
固有空間
定義（線形写像の固有空間）
 が線形写像 f :V V の固有値であるとき、
V  {x V | f ( x)   x}
を写像 f の固有値  の固有空間という。
言い換えると、固有空間 V は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル
えた集合のことである。
0 を加
16
行列の固有空間
定義（行列の固有空間）
n 次正方行列 A の固有値を
 とするとき、
n
V  {x C | Ax   x}
を行列 A の固有値 の固有空間という。
V
言い換えると、固有空間  は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル を加
えた集合のことである。
0
例 A  2 1
1 2


間
V1
の固有値 l 1 = 1, l 2 = 3
V2 は、次のようになる。
に対する固有空

1
 1
 V 
V1  k   | k  R 2 k 1 | k  R





1




17
固有空間の性質
（固有空間の性質）
線形写像 f : V V の固有値 
は V の部分空間である。
の固有空間 V
証明略
18
固有ベクトルの一次独立性
（固有ベクトルの一次独立性）
線形写像 f : V V の相異なる固有値 l 1, l 2, L , l r
に対して、各固有値 l i に属する固有ベクトルを xi と
する。このとき、 x , x , L , x は一次独立である。
{1
2
r
}
証明
固有値の数
基礎
r
に関する帰納法で示す。
r=1
このときには、
のとき。
x1 ¹ 0
であるから命題が成り立つ。
19
r > 1 とする。
r - 1 個の固有ベクトル
帰納
{x 1, x 2, L , x r- 1} が一次独立と
仮定する。（帰納法の仮定）
k1x 1 + k2x 2 + L + kr x r = 0
L (1)
とおいて、係数の組 {k1, k2, L , kr }を調べる。
線形性と固有値の定義より、
f (k1x 1 + k2x 2 + L + kr x r ) = f (k1x 1 ) + f (k2x 2 ) + L + f (kr x r )
= k1 f (x 1 ) + k2 f (x 2 ) + L + kr f (x )
= k1l 1x 1 + k2l 2x 2 + L + kr l r x r
また線形性より、
f (0 ) = 0
20
よって、（１）の両辺に線形写像 f
を適用すると、次式が得られる。
k1l 1x 1 + k2l 2x 2 + L + kr l r x r = 0
L (2)
一方、（１）によって得られる式
kr x r = - k1x 1 - k2x 2 - L - kr - 1x r - 1
L (1)'
を（２）に代入する。
k1 (l 1 - l r )x 1 + k2 (l 2 - l r )x 2 + L + kr - 1 (l r - 1 - l r )x r - 1 = 0
帰納法の仮定より、 {x 1, x 2, L , x r- 1} は一次独立なので、
k1 (l 1 - l r ) = k2 (l 2 - l r ) = L = kr - 1 (l r - 1 - l r ) = 0
また、 l 1, l 2, L
, l r は相異なるスカラーであったので、
li - lr ¹ 0
よって、
k1 = k2 = L = kr - 1 = 0
L (3)
21
よって、 (1) ' より
kr x r = 0
\ kr = 0
(Q x r ¹ 0 )
以上より、（３）と合わせて、
k1 = k2 = L = kr = 0
であり、
{x 1, x 2, L , x r }
は一次独立。
QED
22
固有値の求め方
23
固有値の求め方（重要）
ここでは、固有値の求め方を示す。なお、固有ベクトルは、固
有値を求めた後で求められる。固有値を求めるためには、固
有多項式と固有方程式の概念が重要である。
固有多項式の定義を与える前に、慣用的な単位ベ
クトルの表記を与える。（主に工学系では、Iを用いる。）
n
（単位ベクトル）
次元の単位ベクトルは、
é1
Où
ê
ú
ê 1
ú
ê
ú
I = ê
ú
O
ê
ú
ê
ú
êO
ú
1
úû
ëê
とも表す。
24
固有多項式と固有方程式
（特性多項式と特性方程式）
定義（固有多項式と固有方程式）
A = [aij ] を n 次の正方行列とする。
スカラー  の n 次の多項式
j A (l ) = det(A - l I )
l
=
a11 - l
a12
a21
a22 - l
M
L
a1n
O
an 1
ann - l
を行列 A の固有多項式（あるいは特性多項式）という。
また、方程式
det(A - l I ) = 0
を行列 A の固有方程式（あるいは特性方程式）という。
25
固有値と固有方程式
（固有値と固有方程式）
 が行列 A の固有値であるための必要十分条件は、
の解であること
 が固有方程式 det(A - l I ) = 0
である。
証明
Ax = l x
Û Ax - l x = 0
Û A x - l Ix = 0
Û (A - l I )x = 0
Û det (A - l I ) = 0
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
スカラー
QED
26
例１
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
2
A 
1
1
2

解）
この行列に対する固有多項式は、
 A  det( A   I )
2 1

1
2
 (2   )(2   ) 1
 3  4   2
よって、固有方程式
3  4    0
2
を解く。
(1   )(3  )  0
  1,3
以上より、行列 A の
固有値は、
1  1, 2  3
である。
と表せる。
27
例２
次の行列の固有値を求めよ。
（２）
1 2
A

3 4
解）
この行列に対する固有多項式は、
 A  det( A   I )
1  2

3
4
 (1   )(4   )  6
 2  5   2
と表せる。
よって、固有方程式
2  5    0
2
を解く。
5  33
 
2
以上より、行列
固有値は、
A
の
5  33
5  33
1 
, 2 
2
2
である。
28
よって、固有方程式
例３
次の行列の固有値を求めよ。
（３）
2 1 1 
A  1 2 1 
1 1 2
解）
この行列に対する固有多項式は、
A  det( A   I )
2 1
1
1
2 1
1
1
2
 (2  )3  2  3(2  )
 4  9  6 2   3
と表せる。
4  9  6    0
2
3
を解く。
(1  ) (4  )  0
  1,4
2
以上より、行列
固有値は、
A の
1  1(2重根）,
2  4（ 単純根）
である。
固有方程式の解 i が mi 重根
であるとき、固有値i の
代数的重複度が mi であると
29
いう。
練習
次の行列に対して、固有方程式を解き、固有値を求めよ。
（１）
 2 3
A 

1
4


（２）
1 0 1
B  1 2 1 
2 2 3 
30
固有ベクトルの求め方（重
要）
固有値がわかれば、各固有値に属する固有ベクトルを定
義に基づいて求めることができる。
具体的には、固有値 i に対する固有ベクトルは、
同次連立一次方程式
(A - l i I )x i = 0
の非自明解を求めればよい。
（実は、この方法によって、固有空間も求まる。）
31
例１
次の行列の固有ベクトルを求めよ。
（１）
2 1
A 

1
2


解）
この行列の固有値は、
1  1, 2  3
である。
éx 11 ù
1  1 に対する固有ベクトル x 1 = êêx 21 úú
ë û
を求める。
(A - l 1I )x 1 = 0
é2 - 1 1
ê
ê1
2êë
ù
úx = 0
1
1ú
ú
û
é1 1ùéx11 ù é0ù
\ êê úúêx ú= êê úú
êë1 1úûêë 21 úû êë0úû
é1 1ùéx11 ù é0ù
úê ú= ê ú
Û êê
úx
êú
êë0 0úûêë 21 úû êë0úû
Û x11 + x 21 = 0
é- 1ù
éx11 ù
\ êx ú= x 21 êê úú
êë 21 úû
êë 1 úû
よって、任意定数 k1 を
用いて
é- 1ù
x 1 = k1 êê ú
ú
1
êë ú
û
と表せる。よって、例えば
é- 1ù
ê ú
ê1 ú
êë úû
32
が 1  1 の固有ベクトル。
2
éx12 ù
 3 に対する固有ベクトル x 2 = êêx 22 úú
ë û
を求める。
(A - l 2I )x 2 = 0
é2 - 3 1
ù
ê
úx = 0
ê1
ú2
2
3
êë
ú
û
é- 1 1 ùéx12 ù é0ù
úê ú= ê ú
\ êê
úêx 22 ú ê0ú
êë 1 - 1ú
û
ûë û êë ú
é- 1 1ùéx12 ù é0ù
úê ú= ê ú
Û êê
úêx 22 ú ê0ú
0
0
ú
êë
ú
ûë û ëê û
Û - x12 + x 22 = 0
よって、任意定数 k2 を
用いて
é1ù
x 2 = k2 êê úú
êë1úû
と表せる。よって、例えば
é1ù
êú
ê1ú
ëê ûú
が
2
 3 の固有ベクトル。
é1ù
éx12 ù
\ êx ú= x 22 êê ú
ú
êë 22 ú
1
û
êë û
ú
33
例２
（３）
次の行列の固有ベクトル
を求めよ。
2 1 1 
A  1 2 1 
1 1 2
(A - l 2I )x 2 = 0
é2 - 4
1
1 ùú
ê
ê
ú
1
2
4
1
ê
úx 2 = 0
ê
ú
ê 1
1
2 - 4úú
êë
û
解）この行列の固有値は、
1  1(2重根）,
2  4（ 単純根）
である。
2  4 に対する固有ベクトル
を求める。
éx ù
ê 12 ú
x 2 = êêx 22 úú
êx ú
êë 32 úû
34
é- 2 1
ê
ê
ê1 - 2
ê
ê1
1
êë
é1 1
ê
ê
® ê0 1
ê
ê0 3
êë
é1
1ù
ú ê
ú ê
1 ú® ê 1
ú ê
ê- 2
- 2ú
ú
û êë
é1 0
- 2ù
ú ê
ú ê
- 1ú® ê0 1
ú ê
ê0 0
- 3ú
ú
û êë
é- 2 1
ùéx ù
1
ê
úê 12 ú
ê
ú
ê 1 - 2 1 úêêx 22 úú= 0
ê
úê ú
ê1
úêx 32 ú
1
2
úûë û
ëê
éx ù
ê 12 ú
\ êêx 22 ú
ú=
êx ú
êë 32 ú
û
ただし、
- 2ù
ú
ú
- 2 1 ú®
ú
1
1ú
ú
û
- 1ù
ú
ú
- 1ú
ú
0ú
ú
û
1
é1 1 - 2ù
ê
ú
ê
ú
ê0 - 3 3 ú
ê
ú
ê0 3 - 3ú
êë
ú
û
ìï x 12 - x 32 = 0
Û ïí
ïï x 22 - x 32 = 0
î
é1ù
é1ù
éx ù
ê
ú
êú
32
ê ú
ê
ú
êx ú= x ê1ú= k êê1ú
ê 32 ú 32 ê ú 2 ê ú
ú
êx ú
ê
ú
ê
1ú
êë 32 ú
û
êë1ú
ê
û
ëú
û
k2 は任意定数。
35
1  1
éx ù
ê 11 ú
ê ú
に対する固有ベクトル x 1 = êx 21 ú
êx ú
êë 31 úû
を求める。
(A - l 1I )x 1 = 0
é2 - 1
1
1 ùú
ê
ê
ú
2- 1
1 úx 2 = 0
ê 1
ê
ú
ê 1
1
2 - 1úú
êë
û
é1 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 1 1ú®
ê
ú
ê1 1 1ú
êë
ú
û
é1 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê0 0 0ú
ê
ú
ê0 0 0ú
êë
ú
û
36
(A - l 1I )x 1 = 0
éx ù
ê 11 ú
êx ú=
ê 21 ú
êx ú
êë 31 ú
û
Û x11 + x21 + x31 = 0
é- 1ù
é- 1ù
é- 1ù
é- 1ù
é- x - x ù
ê
ú
ê ú
ê
ú
ê
ú
31 ú
ê 21
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê x
ú= x 1 + x ê 0 ú= k 1 + k êê 0 ú
21
ê
ú 21 ê ú 31 ê ú 11 ê ú 12 ê ú
ú
ê ú
ê ú
ê x
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
0
0
1
1
êë
ú
31
û
êë ú
êë ú
êë ú
êë ú
û
û
û
û
ただし、 k11, k12 は任意定数。
このことより、 1  1
に対する固有空間は、
 1

1


V1  k11  1   k12  0  | k11 , k12  R
 0



1
 
  

であり、その次元は、 dimV1
固有空間の次元を、
幾何的重複度という。
 2 である。
37
練習
次の行列に対して、固有ベクトル、固有空間を求めよ。
（１）
（２）
 2 3
A 

1 4
1 0 1
B  1 2 1 
2 2 3 
38
固有値の性質
39
固有値の性質１（複素数の固有値）
（複素数の固有値）
行列の要素がすべて実数であっても、固有値は
複素数になることがある。
例
é0 - 1ù
ú の固有値を求める。
A = êê
ú
1
0
êë
ú
û
固有多項式は、
j A (l ) =
-l
-1
1
-l
= l2+1
よって、固有方程式l
2
+ 1 = 0 より、
l = i, - i
40
固有値の個数
n 次正方行列 A に対する固有方程式
a11 - l
a12
a21
a22 - l
M
an 1
L
a1n
= 0
O
ann - l
は n 次の代数方程式だから、代数的重複度まで含めると
複素数の範囲で丁度 n 個の解がある。
41
練習
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
（２）
é3 - 1ù
ú
A = êê
ú
2
1
êë
ú
û
écos q - sin qù
ú
B = êê
ú
sin
q
cos
q
êë
ú
û
（３）
é0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
C = ê- 1 0 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
êë
úû
42
固有値とトレース、固有値と行列式
固有値とトレース、固有値と行列式には次のような関係がある。
（固有値とトレース、固有値と行列式）
l 1, l 2, L , l n を A の固有値とする。
このとき、次が成り立つ。
（I)
l 1 + l 2 + L + l n = a11 + a22 + L + ann
= trA
（II)
l 1 gl 2 gL gl n = A
この関係があるので、トレースのことを
固有和ということもある。
これら２つの式は、固有値の値のチェックに利用するこ
43
とができる。
証明
固有多項式を計算する。
j A (l ) =
a11 - l
a12
a21
a22 - l
M
L
a1n
O
an 1
ann - l
行列式の定義より、 l n とl
l
n
n- 1
の部分は、
n
Õ (a
ii
- l ) = (a11 - l )g(a22 - l )gL g(ann - l )
i= 1
の展開からしか生成できないことがわかる。
44
一方、固有値は固有方程式の根だから、固有多項式は、
次のようにも表現できる。
j A (l ) = (- 1)n g(l - l 1)g(l - l 2 )gL g(l - l n )
= (- 1)n l n + (- 1)n - 1 (l 1 + L + l n )l n - 1 + L + (l 1l 2 L l n )l
よって、 l
n- 1
0
の項の係数と、定数項を比較して次式を得る。
l 1 + l 2 + L + l n = trA
l 1 gl 2 gL gl n = A
QED
45
例１
2 1
A 
 の固有値は、 l 1 = 1, l 2 = 3 である。
1
2


trA  2  2  4( 1  2 )
A  4 1  3( 12 )
46
例２
2 1 1 
B  1 2 1 
1 1 2
の固有値は、
l 1 = 1, l 2 = 1, l 3 = 4 である。
代数的重複度を考えて、同じ値を持つ
固有値を２つにしている。
trB  2  2  2  6( 1  2  3 )
B  8 11 (2  2  2)  4( 123 )
47
例3
é0 - 1ù
ú の固有値は、 l 1 = i, l 2 = - i
C = êê
ú
1
0
êë
ú
û
である。
trC  0  0  0( 1  2 )
C  0  (1)  1( 12 )
48
固有値と正則行列
（固有値と正則行列）
行列 A が正則であるための必要十分条件は、
0を固有値として持たないことである。
証明
A が0を固有値として持つ。 Û Ax = 0x となる固有ベクトル
xが存在する。
¹ 0
Û 同次連立一次方程式 Ax = 0
が非自明解 x ¹ 0 を持つ。
Û A は正則でない。
よって、対偶をとることによって、
A
は正則
Û
A が0を固有値として持たない。
QED
49
相似な行列
50
相似な行列
定義（相似な行列）
n 次の正方行列 A に対して、 n 次の正則行列 P
の逆行列 P - 1 を用いて
とそ
B º P AP
-1
と表した行列 B
を
A
と相似な行列という。
-1
P AP
正則行列と、
その逆行列で
サンドイッチ状にする。
51
相似な行列の性質１
（相似な行列間の行列式の相等）
相似な行列は行列式が等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
A = P - 1A P
証明
-1
P AP = P
= A P
= A
-1
-1
A P
スカラーなので
交換可
P
P-1 P = 1
に注意する。
QED
52
相似な行列の性質２
（相似な行列間のトレースの相等）
相似な行列はトレースが等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
-1
trA = tr(P A P )
証明
tr( P - 1A P ) = tr(( P - 1A )(P ))
= tr((P )( P - 1A ))
-1
= tr((P P )(A ))
= tr( IA )
= trA
トレースの性質で、
tr (A B ) = tr(BA )
を思い出す。
QED
53
相似な行列の性質３
（相似な行列間の固有多項式の相等）
相似な行列は固有多項式が等しい。
すなわち、
を正方行列、 P を正則行列とすると、
A
j A (l ) = j
証明 j
P
P - 1A P
(l )
-1
(
l
)
=
det(
P
AP - l I)
AP
-1
= det(P - 1A P - l P - 1IP )
= det(P - 1A P - P - 1l IP )
= det(P - 1(A - l I )P )
= P - 1 AP - l I P
= det(A - l I )
= j A (l )
QED
54
相似な行列の性質４
（相似な行列間の固有値の相等）
相似な行列は固有値が等しい。
証明
固有多項式（固有方程式）が等しいので、明らかに
成り立つ。
QED
55
例
3 2
2 1

正方行列を A  
とし、正則行列を P  
とする。


1 2
7 5
まず、
P の逆行列 P1 を求める。
 5 2
P 

7 3 
1
56
次に相似な行列
1
P AP を求めておく。
 5 2 2 1 3 2
P AP  
 1 2 7 5

7
3




 5 2 13 9 

 17 12

7
3



1
 31 21 



40

27


57
まず、行列式について、
2 1
A
 4 1  3
1 2
31 21
P AP 
 837  (840)  3
40 27
1
次にトレースについて，
2 1
trA  tr 
 22  4

1 2
 31 21 
tr  P AP   tr 
 31  27  4

40 27
1
58
最後に、固有多項式と固有値について。
2
1
A ( )  det( A   I ) 
  2  4  3
1
2
31  
21
P1AP ( )=det  P AP   I  
  2  4  3
40 27  
1
よって、 A, P 1 AP
固有値は   1,3
の両方ともに、
59
固有値の応用（行列の対角化）
60
正則行列による対角化
固有値や固有ベクトルを利用すると、正方行列
を対角化することができる。まず、必要な記法や概
念を説明する。そのあとで、行列
に対する固有
値や固有ベクトルをから行列
を対角行列に変
換する方法を与える。また、対角化された行列によ
る応用をいくつか示す。
A
A
61
対角行列（重要）
定義（対角行列）
n
次正方行列 A に対して、対角成分以外が全
て0である行列を対角行列という。
すなわち、
ìï a i i = j
aij = ïí
ïï 0 i ¹ j
î
ここで、 a i
Î C である。
62
対角行列のイメージ
n
a1
a2
O
n
O
an
63
対角化可能
定義（対角化可能）
A を
次の正方行列とする。
A に相似な対角行列 D が存在するとき、
すなわち、正則行列 P によって、
n
D = P - 1AP
が対角行列になるとき、
行列 A
は正則行列 P
で対角化可能であるという。
A
逆行列と、正則行列でサンドイッチ
にすることで、対角化する。
実は、 P としては、固有ベクトルを
並べたものにすればよい。
このとき、対角成分として、固有値
が並ぶ。
64
幾何学的重複度と代数的重複度
定義（幾何学的重複度と代数的重複度）
n 次の正方行列 A の全ての異なる固有値を
l 1, l 2, L , l r とする。
（１）固有値 l i に対する、固有空間Vl i = {x | A x = l ix }
の次元 dimV l i を固有値 l i に対する
幾何学的重複度（geometric multicilicity)といい
m g (l i )
とかく。
（2）固有値を用いることで、固有多項式
は
j (l ) = (- 1)n g(l - l 1)m1 g(l - l 2 )m2 gL g(l - l r )mr
と表せる。このとき、 m i を各固有値 l i に対する
代数的重複度（algebric multicilicity)といい
とかく。
ma (l i )
65
幾何的重複度と代数的重複度の関係
（幾何的重複度と代数的重複度）
n 次の正方行列 A の固有値を l とする。
また、固有値 l に関する幾何的重複度を m g (l )
とし、代数的重複度を m a (l )とする。このとき、
次の式が成り立つ。
m g (l ) £ ma (l )
証明略
この式より、幾何的重複度を、固有値全てに対
して総和をとっても、 n にならないことがあると
いうことがわかる。（なお、代数的重複度を固有値
全てに対して総和をとれば n である。）
66
対角化の判定法
（対角化可能性）
n 次の正方行列を A とし、A の相異なる固有
値を l 1, l 2, L , l r とする。このとき、A が対角化
可能であるための必要十分条件は、次式を満たす
ことである。
m g (l i ) = ma (l i )
i = 1,2, L , r
証明略
67
対角化手順(重要）
これまでの議論より、 n 次の正方行列 A の対角
化手順が構成できる。
（１） A の固有多項式 j A (l ) を求め、 n 次の固有多方程式
jを解く。これにより、すべての固有値
とその代数的重複度
li
A (l ) = 0
ma (l i )
を求める。もし、実数で対角化を行いたいにもかかわらず、固
有方程式の解に実数でなもの（複素数）が現れたら、実数では
対角化できないことがわかる。
（２）各固有値l i 毎に、同次連立一次方程式 (A - l i I )x i = 0
を解いて、 l i の固有空間 V l iの基底と次元を求める。この次
元が幾何的重複度 m g (l i ) であり、この値と代数的重複度が
異なれば対角化できないことがわかる。
（３）（２）で求めた V l i の全ての固有ベクトル xi を順番に並
é
ù
P
=
x
L
x
べて行列
n ú を作る。このとき、P は正則
êë 1
û
行列である。この行列 P で相似な行列 P - 1AP を求める
と対角行列となる。（なお、対角成分は、各固有ベクトルが重
68
複度に応じて現れる。）
例
2 1
A 

1
2


の固有値は、 l 1 = 1, l 2 = 3 である。
（各固有値の代数重複度はそれぞれ１）
また、l 1
= 1 に対する固有空間 V l は、
1
ìï é 1 ù
ü
ïï
ï
dim
V
V l 1 = í k êê ú
| k Î Rý
l1
ú
ïï ê- 1ú
ïï
ï
îï ë û
þ
また、l 2 = 3 に対する固有空間V l 2 は、
ìï é1ù
ü
ï
ïý
V l 2 = ïí k êê ú
|
k
Î
R
ú
ïï ê1ú
ï
ï
ïþ
îï ë û
=1
dimV l 2 = 1
69
よって、全ての固有値で、代数的重複度と幾何的重複度が等しい。
よって、対角化可能。
固有ベクトルをならべて正則行列P を作る。
ここでは、
é 1 1ù
ú
P º êê
-ê 1 1ú
ú
ë
û
とする。このとき、P - 1は
P-1
ù
1 éê1 - 1ú
= ê
2 êë1 1 ú
ú
û
70
ここで、
2 1
A 
と相似な行列 P1 AP

1 2
を求める。
1 1 1 2 1  1 1
P AP  
2 1 1  1 2 1 1
1 1 1  1 3
 
2 1 1  1 3
1
1  2 0
 
2 0 6
1 0


0
3


71
練習
次の行列を対角化せよ。
（１）
é2 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 2 1ú
ê
ú
ê1 1 2ú
êë
úû
（２）
é0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê- 1 0 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
êë
úû
72
対角行列の累乗
D を n 次の対角行列とする。すなわち、
éd1 0 L 0 ù
ê
ú
ê0 d
ú
M
2
ê
ú
D= ê
ú
êM
O 0ú
ê
ú
ê0 L 0 d ú
nú
êë
û
とする。また、 k を自然数とする。このとき、行列 D
の k 乗 D k は次式で与えられる。
éd1k 0 L 0 ù
ê
ú
ê
ú
k
0
d
M
ê
ú
2
k
ú
D = ê
êM
ú
O
0
ê
ú
ê
kú
êê0 L 0 dn úú
ë
û
73
同値な行列の累乗
（１）
（２）
 P AP   P A P
 PAP   PA P
k
1
1 k
1
k
k
1
証明 1
k
P AP    P 1 AP  P 1 AP   P 1 AP 

（１）
 P 1 A  PP 1  A  PP 1  AP P 1 AP
 P 1 AIAIA
AP
 P 1 AP
（２） も同様。
QED
74
行列の累乗
これまでの議論より、対角化可能な行列では以下の
手順で累乗を求めることができる。
（１）行列A を対角化して、対角行列
éd1 0 L 0 ù
ê
ú
ê0 d
Múú
2
ê
P - 1A P = D = ê
ú
êM
O 0ú
ê
ú
ê0 L 0 d ú
nú
êë
û
を求める。
（２）両辺の
k 乗を求める。
k
P - 1A k P = (P - 1A P )
éd1k 0 L 0 ù
ê
ú
ê
ú
k
0
d
M
ê
ú
1
k
ê
ú
=D =
êM
O 0ú
ê
ú
ê
ú
êê0 L 0 dnk ú
ú
ë
û
75
（3）両辺の左から P
を右から
P - 1 を掛ける。
P P - 1A k P P - 1 = P D k P - 1
éd1k 0 L 0 ù
ê
ú
ê
ú
k
0
d
M
ê
ú -1
1
k
úP
\ A =Pê
êM
ú
O
0
ê
ú
ê
kú
êê0 L 0 dn ú
ú
ë
û
76
例
2 1
A 
とし、 Ak を求めてみる。

1 2
é 1 1ù
ú
P = êê
ú とする。
êë- 1 1ú
û
このとき、
よって、
P
-1
ù
1 éê1 - 1ú
= ê
2 êë1 1 ú
ú
û
1 0
P AP  

0
3


1
k
1 0
1
 P AP   0 3


1 0 
1 k
P A P  
k
0
3


k
77
1 0  1
A  P 
P
k
0 3 
 1 1 1 0   1 1 1 

 0 3k   2 1 1  

1
1


 

1  1 1  1 1
 
2 1 1 3k 3k 
k
1 3k  1 3k 1
  k

2 3 1 3k  1
 3k  1 3k 1
 2

2

 k
k
 3  1 3  1
 2
2 
78
練習
次の行列を求めよ。
é2 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 2 1ú
ê
ú
ê1 1 2ú
êë
úû
k
（１）
é0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê- 1 0 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
êë
ú
û
n
（２）
79