Transcript 微分方程式の演習（非斉次方程式の解法）

2006. 10.17
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
今週は微分方程式の
演習を行います。
今週の内容
これから微分方程式の問題を３題出しま
す。これらの問題を解いて、レポート用紙
に書いて提出して下さい。
本日の課題
次の微分方程式を与えられた初期条件
の下で解きなさい。
(1)
dy (t )
 5 y (t )  3e ,
t
y (0)  2
dt
2
(2)
d y (t )
dt
2

dy (t )
 2 y (t )  2t  3,
2
dt
dt
2
(3)
d y (t )
dt
2
y (0)  1,
 4 y (t )  sin 2t ,
dy
y (0)  0,
dy
dt
(0)  1
(0)  3
今日の内容
これから微分方程式の問題のうち(1), (2)
について、プリントの方式に従って解いて
いきます。
(1)について
(1)
dy (t )
 5 y (t )  3e ,
t
y (0)  2
dt
まず g (t ) を(9)式を用いて求めます。
特性方程式は
 5  0
  5
これを(9)式に当てはめます。
   1  e 1(1)  e
g (t )  e
t
0 1
5t
よって g (t ) は
g (t )  e
5t
5t
(1)について
(1)
dy (t )
 5 y (t )  3e ,
t
y (0)  2
dt
次に f (t ;2)を(8)式を用いて求めます。
先ほどと同様に(8)式に値を代入していきます。
   2  e 1(2)  2e
f (t;2)  e
t
0 1
5t
よって f (t ;2)は
f (t;2)  2e
5t
5 t
(1)について
f (t ;2) と g (t ) から(6)式に代入すると。
t
y (t )  f (t ;2)   g (t  s )u ( s ) ds
0
 2e
5t
t
 e
5 ( t  s )
s
3e ds
0
 2e
5t
t
 3 e
5t  5 s
e ds  2e
s
0
 2e

3
2
e
5t
t
 3 e
5t  6 s

1 t
 1 5t  6 s 
5t
5t
 3 e

2
e

e

e

6
2

0

1
2
e
t
ds
0
t
5t
5t

(2)について
2
(2)
d y (t )
dt
2

dy (t )
 2 y (t )  2t  3,
y (0)  1,
2
dt
dy
dt
まず g (t ) を(9)式を用いて求めます。
特性方程式は
2
  2  0
(  2)(  1)  0
  2,1
これを(9)式に当てはめます。

1t

2t
g (t )  e
 e
e
e
2 t
1t


 1
 1


0
1
 

1 
2 
0
2
1
 1

1  2   2
1
 0
2t
   e
1

 1 0 
 
1  1 
e
1t
1

2

1 

 1
1
 0
 
1
(0)  3
(2)について
よって g (t ) は
g (t ) 
1
3
e
e
2t
t

次に f (t ;1,3) を(8)式を用いて求めます。

f (t ;1,3)  e

 e
2t
1t
e
e
1t

2 t


 1
 1

0
1
 

1 
2 
0
2
 1

1  2   2
1
1
1
2t
   e
 3

 1 1 
 
1  3 
よって f (t ;1,3)は
f (t ;1,3) 
1
3
4e
2t
e
t

e
1t
1

2

1 

 1
1
1
 
 3
(2)について
f (t ;1,3) と g (t ) から(6)式に代入すると。
t
y (t )  f (t ;1,3)   g (t  s )u ( s )ds
0

1
3
4e
2t
e
   e
3
1
t
0
・
・
・
 e t t
2t
t
2
2(t  s )
e
(t  s )
2s
2
 3ds
本日の課題
次の微分方程式を与えられた初期条件
の下で解きなさい。
(1)
dy (t )
 5 y (t )  3e ,
t
y (0)  2
dt
2
(2)
d y (t )
dt
2

dy (t )
 2 y (t )  2t  3,
2
dt
dt
2
(3)
d y (t )
dt
2
y (0)  1,
 4 y (t )  sin 2t ,
dy
y (0)  0,
dy
dt
(0)  1
(0)  3